贝叶斯统计复习.docx
贝叶斯统计习题L设O是一批产品的不合格率,从中抽取8个产品进行检验,发现3个不合格品,假设先验分布为（1）0:U（0,1）八一2（1-0）,0<0<l（叼0,其它求0的后验分布.解：o<e<X/检验E个产品自3个不仆格1i1.8、羽二皿鬣协乃汨=/1标（1”拊二林6831-8评9曲小）二庄/竺=50制U一行o<6<l它JI)兀(。即JIC_112。3(1 -0)<J0 = 00158兀QlP=跳*。¥的=84003(1-0)6,0<0<12.设1匕J,X嵬来备均匀分布U（0,0）的一个样本,又设0的先验分布为ParetO分布,其密度函数为.aaa+l,0>0儿O0(0)0,0<0二0其中参数Oo>O,a>O,证实：0的后验分布仍为Pareto分布.解：样本联合分布为:P(Ao)=-J-,0<x<0Qn0>000<00Iaoa0a*1,儿(0)=1.010,(OX)Xp(x0)兀(C)=aa/Oa+n+XI/Oa+,O>O1=maxO,x,L,x因此O的后验分布的核为1/Oa+”+1,仍表现为Pareto分布密度函数的核un-.,(a+n)Oa/Oa+rt+l,0>0即兀(OX)=O,OvO即得证.3.设RX2,L刈是来自指数分布的一个样本,指数分布的密度函数为P(XIA)=Ae*X>O,(1) 证实：伽玛分布Ga(a,p)是参数九的共枕先验分布.(2) 假设从先验信息得知,先验均值为0.0002,先验标准差为0.0001,确定其超参数a,P.解：(1)样本的似然函数：P(XI九)二九J/PPa、兀(A)()九3-1cP九参数九的后验分布兀(九X)XP(XlA)兀(A)GBa-1-P+-×>A服从伽马分布GaQ+,P+nx)P0OOO2na=4,p=20000.匕0.00012P24 .设-一批产品的不合格品率为O,检查是一个接一个的进行,直到发现第一个不合格品停止检查,假设设乃为发现第一个不q格品是已经检查的产品数,那么X服从几何分布,其分布列为Ppf=Xio)=0(I-O)X-,X=1,2L假设0只能以相同的概率取三个值1/4,2/4,3/4,现只获得一个观察值X=3,求。的最大后河1泌5肿：U刖冗应力件力在0给定的条件下,X=3的条件概率为联合概率为4*="=T,1=4亍11一：X=3的无条件概率为_548e的后验分布为123DfA'vq、F(Xn3"=i4)Pe="4X=3)=T5/v_”'91/42/43/4尸5=,4iX=3)9/208/203/209的最大后验估计幻口=14z,5 .设X是来自如下指数分布的一个观察值,pCr旧)=e-Oo)tx>0取柯西分布作为0的先验分布，即兀0)=/-Y-8<0<8KV1+02)求。的最大后验估计04解后验密度二而,-3<2为了寻找月的最大后验估计船.我们对后卷由度使用微分法,可得而内'一水力3牛华n十字产闭0)(1+俨、.由于近四外的非减性,考虑到.的取值不能超过工,故0的最大后验估计应为源口=36.设x=(xx2iL用)是来自均匀分布L(O,e)的一个样本,又设e服从Pareto分布,密度函数为3a0a+l>6兀(e)=v0<10,n求e的后验均值和后验方差.e>e0e<eIaeZO解：e的先验分布为：兀(e)=jox(e, X ,L , X ) n ) a+"/a+rr+1, 10,(a + 汽+a I令e=ne>ee<e可得后验分布为：兀C仅尸S那么e的后验期望估计为：E(ex)=后验方差为：MarCelX)=(a+?)e2(+a1)2(n+a2)'nnn1、7.设X服从伽玛分布G(-,),e的分布为倒伽玛分布/G(a,p),22enxi(1) 证实：在给定X的条件下,c的后验分布为倒伽玛分布/Gu(-+%-+P).(2) 求e的后验均值与后验方差.解：由x-G(2j),e-G(a,P)可以得出7t(e)=s-e-(a+i)er,e>0r(a)(De的后验分布为：人.一人一,"“、x+2兀(ex)×p(x|0)兀(e)e'he8tc即为倒伽玛分布/G叽.a,'P)的核.nx所以e的后验分布为IG(-+a,-+p)X(2)后验均值为E(eW:2px+2Pn!+2a-2+a17(2+P)2/S马佥方'AWz,IX)=-(2+a-1)2(g+a-2)8 .对正态分布MO,D作观察,获得三个观察值：2,3,5,假设0的先验分布为M3,1),求。的0.95可信区间.9 .设某电子元件的失效时间X服从指数分布,其密度函数为p(x10)=0-iexp-x0,x>0假设未知参数0的先验分布为倒伽玛分布/G(l,0.01).计算该种元件在时间200之前失效的边缘密度.解：解：依题意pX0)=leP-i>0兀(0)=0.010-2exp1-00-,Q>0(x)=fPGO)兀(Od0+sO.OIO3exp0.017V,x>0X+0.011该元件在时间200之前失效的概率：P=f20°m(x)dx产J-dx氏2000.99995UX+0,01110.设XJX2,LX相互独立,且Xj：P(O,)=LL假设OJO2,L,0”是来自伽玛分布P)Ga(a,的一个样本,找出对X=(xx2,L,n)的联合边缘密度.解：解:依题意PQ9)=a-4ax!兀(9.)二-)9a-i0-阻，9.mX)=JPA9)兀9,曲=J"-e-9-79a-ie-ffl.d9l()iHiiQX!3ii©J)r(a)(B+l)xcv+amxf=flm'x)=fpa)%Mx+a?j=i1-Jt-HO)JZi(T+lp11 .某厂准备一年后生产一种新产品，如今有三个方案供选择：改建本厂原有生产线(%),从国外引进一条自动化生产线(之)与兄弟厂协助组织“一条龙”生产线(J.厂长预计一年后市场对此产品的需求量大致可分为三种：较高(9J；一般(9J；较低(93).f700980400、假设其收益矩阵为1单位：万元)，Q=25050090-200-800-30；假设厂长根据自己对一年后市场需求量是高,中,低,给出的主观概率分别为0.6,0.3,0.1.求在悲观准那么，乐观准那么，和先验期望准那么下的最优行动.解：悲观准那么下：首先行动彳，g,G的最小收益分别为-200,-800,-30,.然后选出其中最大的收益为-30,从而最优行动为a3乐观准那么下：首先行动q,a2,。3的最大收益分别为700,980,400,.然后选出其中最大的收益为980,从而最优行动为G.先验期望准那么下：各行动的先验期望收益为0(小)=420+75-20475Qt-)=588-150-七0=353(为)=24.+27-3:264从而最优行动为a12 .某水果店准备购进一批苹果投放市场,市场需求量和采购量都在500至2000公斤之间,八0.89-0.3弘,500<0<0.9八其收益函数为Q0,）=I,假设0的先验分布为.34,0.9。<0<2000500,2000上的均匀分布,该店应购进多少苹果可使先验期望收益最大？解：先验期望收益为Kf加dor凶0°（10Q（a）-I8«-038）TTTT+0.34。-1500Jo.如IjOO=L-。324/+87Oa10000当a=1343时,先验期望到达最大,故应购进1343公斤苹果.以设某决策问题的收益函数为Ma18+200,0=6/ 假设 0 服从(0,1()上的-12+250,0 = 6/均匀分2布，（1）求该决策问题的损失函数.（2）在先验期望损失最小的原那么下寻求最优行动.解：18+ 200 =-12 + 250 no = 6当 0<6 时,Q 0,4) 2Q 0,L (0,a ) = 0L(0,)= 30-50当 0>6时,Q (OM <Q0,。),Lga i = 50-30L (0,a =00服从10,10 )上的均匀分布那幺耍阚IJla各刖狈大图那么期Ig处的损失函L£ )I 61010(50-303 d = 4L3）=f（30-50）JO=92010最优行动是0.14.一位卖花姑娘每晚购进鲜花第二天去卖,假设每束花的购进价格为1元,售价为6元，假设当天卖不掉,因枯萎而不能再卖.根据经验一天至少能卖5束鲜花,最多能卖10束鲜花.（1）写出状态集和行动集.（2）写出收益函数.(3)在折中准那么下,对乐观系数a的不同值,讨论卖花姑娘前一天应购进几束鲜花为好.解：(1)状态集=5,6,7,8,9,10,行动集八=5,6,789/O)(2)收益噂数2(0,a)=”,a<9<10收益矩阵aaaaaa123456"252423222120、0253029282726e_2530353433320°-25303540393802530354045440、253035404550,(3)按折中准060-a,5<9<a/(a)=amaxQ(e,a)+(l-a)minQ(9,a)oe©OeOH(oc)=25H(a)=24+6aH(a)=23+12aH(a)=22+18a"(a)=21+24aH(a)=20+30oc'0<aV,时,选择a,笄天摘5朵鲜花6当L<a<l时,选择，每天摘10朵鲜花.6615.在二行动决策问题中，收益函数为(仇.)：12+250,18+200,假设.：N(10,42),计算先”-/手用牛：U=1_1om-m219AA(Io,42),E(0)=10,m>相，最优行动为at=rn-m1=3,T=4.LX=1U,U=6,I2,0o=44=i(d)=L(1)=0.08332oNONEVPl=L(.)*=0.08332*5*4=1.6664NO1-12+25.,a=a16.在二行动决策问题中，收益函数为Q=7118+20.,a=a2假设.：N(IO,T2),对T=4,3,2/，分别计算先验EVPI.解：=3,EVPI=LN=2,EVPl=LN=1,EVPI=LN*t*=0.04270*5*3=0.6405*r*=0.008491*5*2=0.
