资料-奥本海姆信号与系统2版下册知识点.docx
一、用信号样本表示连续时间信号：采样定理1.冲激串采样(1)冲激串采样的定义冲激串采样是指用一个周期冲激串P去乘待采样的连续时间信号x(t),该周期冲激串p(t)称为采样函数，周期T称为采样周期，而P的基波频率3=2T称为采样频率。(2)采样过程(图7-1)在时域中有Xf)=Xa)PS其中Mi)=Z(f-nT)即xr(r)Vx(nT)6(r-nT)XLMPO(3-。)此由相乘性质有2r8POS)=下6(0-9)因为信号与一个单位冲激函数的卷积就是该信号的移位，于是有I*Xplj3-X(j(-kf)'Av.c即Xp(j)是频率3的周期函数，它由一组移位的X(j)的叠加组成，但在幅度上标以1"的变化。冲激串采样(3)采样定理设x(l)是某一个带限信号，在3>om时，X(j)=0°如果s>2w,其中s=2T,那么X唯一地由其样本x(nT),n=0,±1,±2,所确定。己知这些样本值，重建x(t)的办法：产生一个周期冲激串，其冲激幅度就是这些依次而来的样本值；然后将该冲激串通过一个增益为T,截止频率大于3M而小于、一M的理想低通滤波器，该滤波器的输出就是x(l)。频率2om称为奈奎斯特率。2.零阶保持采样(1)零阶保持的含义(图72)在一个给定的瞬时对x(t)采样并保持这一样本值，直到下一个样本被采到为止。)零阶保持图7-2利用零阶保持采样零阶保持采样的过程零阶保持的输出XO在原理上可以用冲激串采样，再紧跟着一个线性时不变系统(该系统具有矩形的单位冲激响应)来得到。用一个单位冲激响应为hr(t),频率响应为HrO3)的线性时不变系统来处理X(t)o给出一个Hr(j),以使r(t)=x(t)ouz.、r212snT2)M)(J3)eW这就要求Hr(j)=*77(W)2sin®772)若H的截止频率等于2,则紧跟在一个零阶保持系统后面的重建滤波器的理想模和相位特性如图7-4所示。零阶保持输出本身就被认为是一种对原始信号的充分近似，用不着附加任何低通滤波。图7-3作为冲激串采样，再紧跟一个具有矩形单位冲激响应的线性时不变系统的零阶保持二、利用内插由样本重建信号内插是指用一连续信号对一组样本值的拟合。1 .零阶保持2 .线性内插(一阶保持)(1)线性内插是将相邻的样本点用直线直接连起来。(2)利用理想低通滤波器的单位冲激响应的内插(即带限内插)：输出xo(t)为。=孙")*(0时Xr(t)=Zx(nT)h(t-nT)上式体现了在样本点x(nT)之间如何拟合成一条连续曲线，因此代表了一种内插公式。对于理想低通滤波器H(j),h(t)为W)=丝吗M所以有小/Tsin(t(r-n)xt)=>x(n)五一“MK%"一仃)按照上式在c=s2时的重建过程如图7-5所示。图7-5利用sine函数的理想带限内插(a)带限信号x(t)：(b)X的样本冲激串；(c)用Xr的SinC函数的叠加取代冲激串的理想带限内插。3.高阶保持三、欠采样的效果：混叠现象混叠是指采样后信号的频谱发生重叠导致失真的现象。即当sV2M时,x(t)的频谱X(j)不在XO(J3)中重复,因此利用低通滤波不能把X(t)从采样信号中恢复出来，这时单项发生重叠，被重建的信号Xr不等于x(t).四、连续时间信号的离散时间处理L对连续时间信号的处理方法(图7-6)枷十I连线时间到w离散时间系统.U"I离敝时间到it续时间的利换II-1»1.（/）I图76连续时间信号的离散时间处理(1)连续时间信号Xc(t)可以完全用一串瞬时样本值Xc(nT)来表示：xdn=xc(nT)把从连续时间到离散时间的变换表示成一个周期采样的过程，再紧跟着一个把冲激串映射为一个序列的环节。c>H*<n冲微用剑序列的丹铁I» <.4"l (n()r=2图7-7用一个周期冲激串采样，再跟着一个到离散时间序列的转换。(a)整个系统；(b)两种采样率的xp(t),虚线包络代表xc(t);<c)两种不同采样率的输出序列。第一步代表一个采样过程，冲激串Xp(t)是一个冲激序列，各冲激的幅度与Xc(t)的样本值相对应，而在时间间隔上等于采样周期To在从冲激串到离散时间序列的转换中，得到xdn;这是以XC的样本值为序列值的同一序列，但是其单位间隔采用新的自变量no实际上从样本的冲激串到样本的离散时间序列的转换可认为是一个时间的归一化过程。离散时间到连续时间的转换，即恢复过程。连续时间的频率变量用表示，将离散时间的频率变量用。表示。2Xc(j)Xp(j)和Xd(即)的关系XC(I)和yc(i)的连续时间傅里叶变换分别用xc(j)和Yc(j)表示；而Xdn和ydn的离散时间傅里叶变换分别用XKeG)和匕()表示。(1)用Xc(t)的样本值来表示XP的连续时间傅里叶变换Xp(j)xz()=nT)(t-nT)”3T-又6(t-nT)的傅里叶变换是e>n,所以Xz,(j)=3Z(")eM*现在考虑Xdln的离散时间傅里叶变换，即W)=VXJHe3”因为Xdn=xc(nT)%(一。)=2z(4)e-JC"从而可得Xd(ei)和Xp(j3)的关系Xt(ej)=×r(jT)又因为IMXr(j)=工X<(j(s-kj)因此得到1+*X<(ej°)isff×H-2kVT)k-1»Xc(j)>Xp(j)和Xd(声)三者之间的关系Xd(ej)是Xp(j)的重复，唯频率坐标有一个尺度变换。Xdn和Xr(t)之间的频谱关系，是通过先把xc(t)的频谱Xc(j)按1苫.Xr(j)=-5X<(j(-痴、)k-X进行周期重复，然后再跟着一个按XMem)=XKjCm的线性频率尺度变换联系起来的。AXjA,c(j)Op(j)11Tf次.202 T1T1E(ei0久-2 O 2 _Op(j)1 I T=T2 = 2T WV2O2T2 不Xc(j)Xp(j)和Xd30)之间的关系图7-8在两种不同采样率下,3.利用离散时间滤波器过滤连续时间信号的系统图7-9利用离散时间滤波器过滤连续时间信号的系统小>v0e>(a)W)木-W；/0ft>vW.MHlAi.V4j<'>)XY. ZVCoq一伙-O>v - i y 2“ 伙(e)(b)V,t<0,O0MytT<，)J= 2X Q图7-10图7-9所示系统的频域说明。®连续时间信号的频谱Xc0);(b)冲激串采样以后的谱；0离散时间序列Xdn的谱；(d) H«e巧和Xd(ejn)相乘后得到的Yd®。)；(e) Hp(j)和Xp(j3)相乘后得到的Yp(j);(f) Hc(j)和XCtj)相乘后得到的Yc(j)o图7-10左边是某一代表性的频谱XCO3)、Xp(j3)和Xo(Cift),其中假定M<s2,所以没有混叠发生。相应于时间淀波器输出的谱yd®。)是Xd®。)和Hd®。)相乘，如图7-10(d)所示。变换到Yc(j)就相应于进行频率尺度的变换，然后进行低通滤波，所得到的频谱分别如图7-10(e)和图7-10(f)所示。 因为丫，城1)是两个互为重叠的频谱积，如图7-10(d)所示，所以对两者都应施加频率尺度的变换和滤波。 将图7-10(a)和(f)讲行比较，可得K(j<)=在输入是充分带限的，并满足采样定理的条件下，图7-10的整个系统事实上就等效于一个相应为Hc(j)的连续时间系统，而Hc(j)与离散时间频率响应Hd(ejC)的关系为H=IH*eM),同VJ2t'I0,<>,2等效的连续时间滤波器的频率响应是该离散时间滤波器在一个周期内的特性，只是频率轴有线性尺度变化。4 .数字微分器(1)连续时间微分滤波器的频率响应M(W)=j0>(2)截止频率为3C的带限微分器的频率响应H(m=血IMV5jom>(3) s=23c时相应的离散时间的频率响应Hd(ein)%(ejn)=<因此只要Xc(t)的采样中没有混叠产生，yc(t)一定是Xc(t)的导数。图7-11连续时间理想带限微分器的频率响应HcG)=j,<c<c*z>图7-12用于实现一个连续时间带限微分器的离散时间滤波器的频率响应5 .半采样间隔延时在输入Xc(t)是带限的，且采样率足够高以避免混叠的条件下，整个系统的输入、输出是用下列关系联系起来的：其中代表延时时间。根据时移性质，频率响应为K(j)Cf(W截止频率为3°的带限微分器的频率响应(图7-13(a)。要被实现的等效连续时间系统必须是带限的，因此选取I其他c是该连续时间滤波器的截止频率。即H<j)对于带限内的信号就相应于-A)的一个时间移位，而对于比c高的频率则全部滤除。(4)若取采样频率s=2,则相应的离散时间频率响应(图7-13(b)为：%(eA)=eJ05,IQVTr(a)连续时间延时系统频率响应的模和相位特性；(b)相应的离散时间延时系统频率响应的模和相位特性。半采样间隔延时当MXeM)=针叫10<N，即输入的延时，若T是一个整数，序列y<n是Xdn的延时,即五、离散时间信号采样1 .脉冲串采样(1)采样过程由采样过程形成的新序列xpn在采样周期N的整倍数点上就等于原来的序列xn,而在采样点之间都是零,>h)= xn,若为N的鞋倍数0.其他×)pn=AV2 2)X(e'")，Xr(eH和X"(e*)的关系+8xffn=(n)pnJ=YxkNn-kN4=-8在频域内有Xp(eN)=±尸化吗丫(/3-6)*，J2采样序列pn的傅里叶变换是2.8P(e,w)=Z(tt-左3JV-式中采样频率以=2WN.于是有NlX>(e)=ZXN%)NAOA(Cm)2k-2-«,vO ft>w2e>,)In0(b)2Aw)A人Z人Z人Z-O叫/«)、2n(C)(t-1,)禺叱)Ow42(d)图7/4一个离散时间信号经脉冲串采样后的频域效果(a)原始信号的频谱；(b)采样序列的频谱；(O在叫>23”时己采样信号的频谱；(d)在®,<2侬”时己采样信号的频谱，这时发生了混叠。信号的恢复(图7-15)在3,2/“没有频谱重叠的情况下，X(*)
