离散型随机变量的均值与方差(详解教师版).docx

离散型随机变量的均值与方差一、考点、热点回忆【学习目标】I.理解取有限个值的离散型的机变量的均Ift或期望的慨念,会根据恐放型随机变I1.t的分布列求出均值或期望，并能解决一"实际问造：2.理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问时：【要点樵理】要点一、育敛型机变量的期直1.定义：一般地.假设黑敌型班机变盘岁的概率分布为X2七PPPP那么称E=X1.p1.+X2P2+.+xnPu+.为J的均值或数学期引，简称期轨要点诠的(1)均值(期里)是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平.(2) 一般地，在有限取值离敌型随机变量S的概率分布中，令四=0=P"，那么有p1=p,=.,=pn=1.tE=(x1.+.v,+.+x)×1,所以S的数学期望又称为平均数、均值.”I1.(3) 1.机变敏的均佗与随机变出本身具有相同的冷位.2.性质，£(>)=%+/：畦设=喈+Ha、b是常数)，是随机变状，那么也是IoI变版，有E(*+b)=aE+b;+Z)=。与+Z>的推导过程如下：，7的分布列为xIX2X、Haxt+b3+b*ax1.+bPp,P2Pt于是EtJ=(ax1.+b)p1.+(OxI+b)p2+.+Utv1+b)pi+.=(x1pi+X2P2+.+xpi+.)+b(p1.+p2+p卢=aE+b'.E(a+)=aE+b，要点二：敛黄机知的方差与标准差1 .一IMc据的方差的概念，殂数据司，X2X“，它们的平均值为F,那么各数据与f的差的平方的平均数S2=匕-工)2+(工一二产+叫做这组数据的方差。n2 .高能堂.机变量的方差，一般地,假设肉敢型随机变量4的概率分布为再X2X、PPiPiP1那么称D=(Ai-E)2-P1.+(x2-E)2-P2+.+(xa-E)i-Pi+称为随机变O的方差,式中的E是随机变附4的期望.Of的算术平方根«万三叫做随机变里岁的标准差，记作bS要点诠狎，的机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的：随机变埴的方差、标准差也是随机变价的特征数，它们都反映了随机变履取值的例定与波动、集中与国放的程度：方差(标准差)越小,班机变量的取值就越稳定(越战近平均值).标准差与时机变质本身有相同的唯位，所以在实际问即中应用更广泛.3 .期望和方差的关Ih4 .方差的性质，假设，7=。+口、1是行数)，S是随机变吊，那么也是的机变崎，D=CXa+b)=a2D.要点三，常见分布的期与方差1、二点分布I锻设离散型阻机变玳服从多数为P的：点分布，加么期望E=P方差ZV=P(I证明：'P=0)=q.P(=1)=p.Q<p<.p+q=I：.E=OX4+1XP=P2、二项分布，假设离散型的机变量S服从参数为,的二项分布,W-B(n.P).那么期里瑟="P方差"="P(I-P)期不公式证明：'：P(<=)=C>t(1.-P)I=C：p%.：.庭=OXOV+1XCdG'+2×C>3qai+.+×C*pt*+.+×C>V-£!(一幻！(-1)(m-I)-(-I)!E=叩(C,pV-+C1.PzT+U*7F+Cq。)=wXp+<)n1.=n).3、几何分布：独立至复试5金中,假设事件4在每一次试验中发生的概率都为.事件A第一次发生时所做的试验次数自是曲机变埴.f,=)=(i-p-1p.Jt=0.1.2.3.n,称离散型随机变量服从几何分布.记作：-1.=k)g(k.P).技设离散型随机变而匕服从几何分布，且4-PK=幻=g(hP),那么期望玷=1.P方差。3=上2P-安点诠！力随机变玳毡否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个用僮去验证.4、超几何分布I假设离散型随机变fitf服从参数为MMji的超几何分布.那么期望Ed)=萼N要点四，育欣型随机交量的期与方差的求法及应用1、求育敛型机如二的期、方差、标值差的根本步理解的意义，写出。可能取的全部位:求4取各个值的概率，写出分布列：X1.X2X，PPxPzPi根据分布列,中期望、方差的定义求出£§、D,1.*=庭注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，H接用公式计算即可.1.M故型机交量的期望与方差的实际意义及应用联散型随机变玳的期里，反映了随机受m取伯的平均水平；随机变用的方差与标准差都反映了随机变埴取值的柩定与波动、集中与禹放的程度。方差越大数据波动越大，对于两个随机变量钧和幺.当需要了解他的的平均水平时,可比拟E&和E的大小.£0和£相等或很接近，当需要进一步了解他们的稔定性或者集中程度时，比拟°当和。么，fj差值大时，那么说明g比拟离散，反之，那么说明比拟集中.品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数(数学期望、方差)有关.二、典型例题类型一、离相S1.K机变量的期望Mi.随机变量X的分布列为:X-2-I012P4235in120试求：(I)E(X)：(2)假设y=2X-3,求E(Y).【思路点拨】分布列中含有字母m,应先根据分布列的性质，求出m的侑，再利用均值的定义求解:对于(2),可直接黄用公式，也可以先写出丫的分布列,再求E(Y).【解析】(I)由随机变盘分布列的性质,得II1I,I435206.*.E(X)=(-2)×-+(-1.)×-+0×-+1.×-+2×-=-。43362030(2)解法一：由公式E(aX+b)=aE(X)+b,祖62I5E(r)=£(2X-3)=2£(X)-3=2x好法二：由于Y=2X3,所以y的分布如下:X-7-5-3-I1P4_356120：.f(X)=(-7)×-+(-5)×-+(-3)×-+(-1.)×-+1.×-=-.43562015【总结升华】求期望的关谜是求出分布列，只要1机变址的分布列求出，就可以套用期望的公式求解，对于aX+b型随机变业的期里，可以利用期里的性质求解，当然也可以求出aX-b的分布列，再用定义求解.举一反三，【变式1】某时手射击所得环数的分布列如I'：456789IO0.020.040.060.090.280.290.22求仁.【答案】=8.32。【变式2】随机变吊送的分布列为-2-I0I23P112mI1.112_6112其中m.n0,1.),I1.E代)=!，那么m,n的值分别为6【答案】:34由p+ps+ps=1得m+n=j由E()=I,得m=?,626【变式3】随机变武彳的分布列为:那么E(5g+4)等于0024P0.40.30.3D.2.3A.I3B.I1.C.2.2【答案】A!1.ift)E()=0×0.4+2×0.3+4x0,3=1.8.E(5+4)=5E()+4=5×1.8+4=1.3.【变式4】设离散型随机变量J的可能取色为I,2,3,4,HP(=k)=ak+b(=1.,2,3,4),Eu=3.那么a+/，=：【答案】0.1：由分布列的概率和为I,W+W+(2a+)+(3a+Z>)+(4a+)=1.又£=3,即1.(a+Z>)+2(2a+)+3(3+Z0+4(4"+,)=3.解得a=0.1.,b=0,故a+b=0.1.例2.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，好取到一个纵球记0分，好取到一个白球记1分,每取到一个红球记2分,用岁表示得分数.求:6的慨率分布列:6的数学期里。【思路点拨】此题求岁收各个值的概率.其类型显然是古典概型.【解析】依翘意4的取值为0、1、2,3、4C14=0时,取褥2黑球，。佰=0)=二一C；6C'-C11=IM.4=2时,J=3时,取得1黑球I白球，.P(=D=三券=取2白球或1红球1黑理，.P%=2)=皂+Gf=U,QQ36取1日球1红球，.PR=3)=Sa=Q6C2I取2红球，.PC=4)=涓=立，.4分布列为0I234_211_1Y6336636期望E<=0×+1.×+2×+3×+4×=.【总结升华】求宓散型随机变玳均值的关键在于列出概率分布表.举一反三，【变式1】随机的抛掷一个骰子.求所得般于的点数&的数学期望.答案拈一嵌于所得点数M的概率分布为I23456P666666所以=I×+2×+3×-+4×-+5×-+6×-=(1.+2+3+4+5+6)×-=3.5.6666666抛掷骰子所得点数4的数学期里,就是的所有可能取值的平均值.【变式2】甲、乙、丙、J独立地破谛一个密码，其中甲的成功率是1,乙、丙、丁的成功率都是1.23(I)假设玻洋密码成功的人数为X,求X的概率分布；(2)求破谛率码成功人数的数学期型.【答案】(I)破译密码成功的人数X的可能取值为0，I.2.3,4.P(X=O)=Ix(I)=A,P(X=2)=：XcXH)+c；x；)<18P(X=3)=1.Cj××+(1)1.75454P(X=4)=1×=那么X的概率分布表为X0I234P85420541854754154Q,O1R7121由知E(X)=OX3+'+2上+3,+4-!-=I=I.5,545454545454即破译密码成功的人数的数学期里为1.5.【变式3】交5元钱，可以参加一次抽奖，袋中有同样大小的球10个，其中有8个标布1元钱，2个标有5元钱，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和.求抽奖者获利的故学期里.【答案】抽到的2个球上的钱数之和是个随机变量，其中自取每一个俏时所代表的随机事件的概率是容易获得的.此题的目标是求参加抽奖的人获利的数学期望,由4与，7的关系为=-5.利用公式E()=E代)-5可狭解答.设为抽到