第六章最大似然估计.docx

第六章数理统计的根本概念一、根本教学要求与主要内容（一）教学要求1 .理解总体,个体、简单随机样本和统计量的概念，掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算。2 ,了解工分布、t分布和F分布的定义和性质，了解分位数的概念并会查表计尊。3 .掌握正态总体的某些常用统计量的分布。4 .r解最大次序统计址和最小次序统计量的分布。本章重点：统计量的概念及其分布。（二）主要内容I.总体、个体我们把研究对象的全体称为总体（或母体），把组成总体的每个成员称为个体.在实际问题中，通常研究对象的某个或某几个数值指标，因而常把总体的数值指标称为总体。设X为总体的某个数值指标，常称这个总体为总体XoX的分布函数称为总体分布函数。当X为离散里随机变量时，称X的概率函数为总体概率函数。当X为连续型随机变量时，称X的密度函数为总体密度函数.当X服从正态分布N（Ma2）时，称总体X为正态总体,正态总体有以下三种类型：未知，但。，（2）/未知,但；（3）和/均未知。2.简单随机样本数理统计方法实质上是由局部来推断整体的方法，即通过一些个体的特征来推断总体的特征。要作统计推断.首先要依照定的规那么抽取n个个体，然后对这些个体进行测试或观察得到一组数据AM4,这一过程称为抽样。由于抽样前无法知道得到的数据值，因而站在抽样前的立场上，设有可能得到的值为&&一名，n维随机向量（Xi*"。）称为样本.n称为样本容量（x1.-x三）称为样本观测值.如果样本（4苟"Z）满足（1）苟Z相互独立:2 2）Xi"'服从相同的分布，即总体分布：那么称Z）为简单随机样本。筒称样本。设总体X的概率函数（密度函数）为/（X），那么样本%）的联合概率函数（联合密度函数为）*/（.）=11（）73 .统计员完全由样本确定的垃，是样本的函数.即：设国,Y2，K是来自总体X的一个样本，g(再，再，YJ是一个n元函数，如果g中不含任何总体的未知参数，那么称，»)为个统计员，经过抽样后得到组样本观测值Xi，”，、%,那么称gki，r，、)为统计量:观测值或统计量值。4 .常用统计量样本均值:样本方差:(3)6符样本标准差：它们的观察值分别为:-(¾-x)j-¾3,勿M>4这些观察值仍分别称为样本均值、样本方差和样本标准差。(4)样本中位数:ned=W)当n为奇数£2当n为偶数其中：&勺)£“'飞是数据4，勺尸、4由小到大的重排。(5)样本的极差：人4广4(6)样本的四分位间距：Re-Q1.其中OvQz分别为数据的上、下四分位数。-iXn-y)比十坨3J”益;»护&丹样本相关系数：V«Vm5 .三个重要分布(1) /分布设©/兀为独立标准正态变量，称随机变量照+X；的分布为自由度为n的/分布，记为U/W。称满足：曲/4公(")1的点公卜)为/分布的。分位点。(2) t分布设随机变量X与Y独立，xN(oj)yG),那么称的分布为自由度n的t分布，记为TT卜)。称满足：prKW)-。的点"为t分布的分位点。(3) F分布设随机变量U与V相互独立，U(")V*W),那么称入业V1.m的分布为自由度(儿加)的F分布，记为尸尸况切)。称满足：MF4曰乩w>)"的点>,m)为F分布的4分位点,口有k-7i6 .正态总体的抽样分布统计量的分布称为抽样分布，设再了小是来自正态总体的个简单随机样本，T与S?分别为样本的均值和样本方差，那么有(2)丫与,七/H相互独立;A(T)学习要点统计学的核心问题是由样本推断总体，因此理解统计量的概念非常重要。它是样本的函数，统计量的选择和运用在统计推断中占据核心地位。样本均值、样本方差以及其他样本矩都是一些常用的统计量，必须熟悉它们的计算方法及其有关性质。统计量的分布称为抽样分布，其中/分布、I分布、F分布即是本章的重点，必须熟悉它们的定义、性版及其上分位点的查表方法：正态总体抽样分布是统计学中最重要的一个理论结果，必须弄清它的条件及结论，并能运用判断一些常用统计量的分布。习题解答1 .设屁,玛.,氏是来自服从参数为2的泊松分布网人)的样本，试写出样本的联合分布律。声二产47'XM2,4=0J.2'2 .设周匕工6是来自(。6)上的均匀分布的样本，。>0未知(1)写出样本的联合密度函数：(2)指出以下样本函数中哪些是统计垃，哪些不是？为什么？-处+为：+MZ.,仇&.-1.);.mx(X1,X2,.X)O(3)设样本的一组观察是：05107.061,写出样本均值、样本方差和标准差。(1) /(.x2.)三k0<r1,r2,x6<O其他(2) “和4是，弓和弓不是.因为彳和中不含总体中的唯一未知参数S,而4和石中含有未知参数8。J-1.yx.-fx.-1(05÷1+07+O6+1+1)-O8(3)样本均值"NSz6"K尸如-E先(XT)'样本方差6Z-1.(-03)j÷(02)a+(-0I)3+(-02/(02+(02)1)-004336样本标准差sTF-0.0433-02082。3 .查表求Z%"2),Xwi(12)t4却(12),m(12)解(12)-26.217,C2)-3571t(12)-2.6810,包1.(12)=268Q4 .设TT(I。)，求常数¢,使巾>>095.筹由I分布美卜纵轴时称，所以MT")095即为MT>)D05.由附表5.6可查得-c-I81,所以181。5 .设工，再，“，冗是来自正态总体M0，4)的样本，试证：前台)HD证明：f独立同分布于NoJ),由炉分布的定义，士曰"，即Eir"助,X苟¾4()JQ-w(.3)gJ1.1.N(QJ)5(2)易见，«',即1.d,由/分布的定义，I),即静)4()nam4/。6 .设用21.是独立且服从相同分布的随机变成，且每一个4V=1.2,5)都服从(1)试给出常数c,使得c,;+x"服从炉分布，并指出它的自由度：/X+X)(2)试给出常数d使得同服从t分布，并指出它的自由度。解(I)易见，+即为二个独立的服从N(Oj)的随机变量平方和，服从/(2)分布，BPc-1；自由度为2。由于再+%>U2),那么警F叫乂照+附+X"(3),ST与照+照+尼相互独立，那么XX)冠性14口心)即2用+小驾.46即一f,自由度为3。7 .设氏Xz冗)是取自总体X的个样本，在以下三种情况下，分别求4r)*1.(I)x限”(2)斤凤矶x2),其中"0.解帅ME(X)三p,B(Xa)=p,D(X)=p(1-P)F(*)=H部E(%)=PM/nM。俄讣好O(Q吟也1-1/1-1XEF)T博.项)小传*H)胞E(M)Mr)+(&(X)>”0因+孙')=1P)了一工)&仅).宓)?'伊1.强)(WM业协阚X,消8 .某市有100(MX)个年满18岁的居民，他们中10%年收入超过1万,20%受过高等教自。今从中抽取1600人的随机样本，求：(1)样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率：(2)样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率.解(1)引入新变量：I,第7个样本居民年收入超过I万0.第J个样本居民年收入没超过1万其中f=1.Z,K再=1600易见：P=穴"=I)=OIXISM-UOO100000,故可以近似看成有放回抽样,X*2玛相互独立。"MX)-01.-阿幻-0109-0.3样本中年收入超过I万的比例即为丫，由于力1600较大，可以使用渐近分布求解，即YN"I人所求概率即为1.1.%)-1.-J(jO11)-1-彳回P)4吗!产1-09082-00918同(1)解法引入新变量：苞-I,第I个样本居民受过高等教白0.第J个样本居民未受过高等教育其中11.Z,上1600啕1.)0.2以-O2。V2X0.8-0.4加3"%)P若以空泣毁网=¢(1)-4(-1.)=2<t(1.)-1-2x8413-!«06826答：(1)样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率为0.0918：(2)样本中19%和21%之间的人受过富等教育的概率为0.6826。课外练习1设总体XM4S),(1)抽取容量为36的样本，求网384了443)；(2)抽取容量为64的样本，求HirTOk1)：取样本容量n多大时，才能使农叫<加°95。2设总体XnGa),M?皆未知，样本容量m16,样本均值亍12.5,修正样本方差s,a-5.333,求H1.r.小3设是无,扁,Y”.Yz,Z加来自正态总体N(O.，)，容员为4+应的样本，求以下统计量的抽样分布：为4假设TTM),那么尸服从什么分布?5设再M尤是来自泊松分布R力的一个样本，与£2分别为样本均值与样本方差,试求件)打必市).6某区有25000户家庭，10%的家庭没有汽车，今有1600户家庭的随机样本，试求：9%”之间的样本家庭没有汽车的概率。答案和提示9.10.9916,0.8904,96»920.5o93（Mg屈）：÷）;网乩刖）。9.4网方）1.9S2,5,9.60.8164,第七章参数估计一、教学根本要求与主要内容（一）教学根本要求1 .理解点估计的概念.2 .掌握矩估计法（一阶、二阶）和极大似然估计法。3 ,了解估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性）。4 .理解区间估计的概念。5 .会求单个正态总体的均值和方差的置信区间。6 .会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.本章重点：未知参数的矩估计，极大似然估计及正态总体未知参数的区间估计.（二）主要内容1点估计方法.设（再，.、玛）是来自总体X的样本，。是总体的未知参数,假设用个统计量04%，尸2尤）来估计6,那么称0为参数S的估计量，在抽样后，称©为参数8的估计值。这种估计称为点估计。矩估计和最大似然估计是两种常用的点估计法。（I）矩估计法用样本的各阶原点矩去估计对应的各阶总体的原点矩，这就是矩估计的根本方法。记样本的7阶原点矩为：:记总体你阶原点矩为：必那么自叫。假设总体的未知参数«&（如丹.Mh1.2用，其中g】Y,为欠个多元的函数，那么鸟的矩估计量为G-&啊。其中用样本均值估计总体均值,用样本方差估计总体方差最为常用。（2）最大似然估计法设总体X的密度函数k4%a）（其中为未知参数）.XXax,为总体X的样本（Y1.，4，及）的观察值，那么求4的最大似然估计值&G-125）的步骤如下：写出似然函数1.-"凡.Xj,x,.<,3.）-11ftxt.6.%）.称迪足关