线性代数超强的总结(不看你会后悔的).docx

线性代数超强总结IA1.=OoA不可逆r（八）<nAX=O有非零解0是4的特征值配IJ列(行)向量线性相关r(4)=nAt=O只有零解A的特征值全不为零IAI工。=M向列(行)向量线性无关A”是正定矩阵人与同阶单位阵等价A=P0亿.四是初等阵D/?wR”、Ar=/?总有唯一解向fit组等价相似矩阵!_>反身性、对称性、传递性矩阵令"同J关于ey,e“：称为1的标准基,J'中的自然基，单位坐标向量:4&en线性无关；k，%同=1：Ir(E)=：任意一个维向址都可以用.,线性表示.行列式的计算:假设A与8都是方阵（不必同阶），那么:就IJ飙I*=(-r上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘枳.关于副对角线:J逆矩阵的求法:AU=A-(八E)>(E.,)方阵的事的性质：A"A"=A"r(Aw)=(Aa=mx"+ib.1-'+.+a1.x+a0,对阶矩阵A规定：八=心犬+。Az+qA+q卢为A的一个多项式.设mx.Bn,t,A的列向量为q,%MII,3的列向量为回血.艮，AB的列向量为用A.B简单的一个提高运算速度则：I；=AgJ=1,2,品即AS,阳M）=S,A,ApJ若=（4也,.也）',则=b1.a1.+biai+.baa即：A的勺第i个列向量垠占那J列向量的线性组合.组合系数就是4的各分量:Af1.f向第i个行向量隹酬J行向量的线性组合,组合系数就是6的各分量.用对角矩阵A左乘一个矩阵,相当于用A的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量:用对角矩阵A右乘个矩阵,相当于用A的对角线匕的各元素依次乘此矩阵的列向盘.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似.即：A=A1.11。,r,rAB=.oAUBM矩阵方程的解法：设法化成(DAX=/?或(11)X4=当同0时,的解法：构造X)紫莱落则,(ID的解法：将等式两边转置化为A'X'=B1.用(I)的方法求出X，,再转置得XAr=。和8=。同解(AB列向租个数相RD,那么:它们的极大无关组相对应,从而秩相等：它们对应的局部组有样的线性相关性：它们有相同的内在线性关系.J判断7.%、,么是At=O的根底解系的条件：功.明线性无关：7.72.,亿是Ar=O的解：S=W-r（八）=每个解向量中自由变量的个数.零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.垠个零向量线性相关：单个非零向量线性无关.局部相关,整体必相关：整体无关,局部必无关.原向量组无关,接长向盘组无关：接长向量组相关,原向量组相关.两个向量线性相关。对应元素成比例：两两正交的非零向量组线性无关.向量组区,外,中任一向量1.WiW%都是此向量组的线性组合.向量组6.冬,.线性相关。向量组中至少有个向量可由其余-1个向量线性表示.向量组区,外,巴线性无关。向量组中每一个向量,都不能由其余-1个向量线性表示.m维列向殳组a1.az.an线性相关Or（八）<”：m维列向量组,七,”线性无关Or（八）=.NA)=OoA=o.假设%,02j,.线性无关,而6,外,线性相关,那么仅可由因、外,an线性表示,且表示法惟一.（三）矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秋.阶梯形矩阵的秩等于它的#零行的个数.矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.矩阵的列初等变换不改变矩阵的帙,且不改变行向量间的线性关系.向垃组等价IQ”和笈.区.凡可以相互线性表示.记作：4区,四忸阵等价IA经过有限次初等变换化为乩记作：A三矩阵八与8等价=r（八）=r(8)工>A8作为向星:组等价,即：秩相等的向量组不定等价.矩阵八与8作为向量组等价Or(%.ajJ=r(4MM)=r(.:r1.4M，ZO=>矩阵A与8等价.向量组ZM可由向量组,1.t线性表示Or(.:&r1.4M,.氏)=r(1.a,.,o)=>N%Q2.,0JWNaZa2.,a»向量组4门,可由向量组外,外,线性表示,且s>，那么片,4,女线性相关.向量组4A,/,线性无关，艮可由/.外,.,线性表示,那么S&.向量组4网,M可由向量组,外,M线性表示,且出血,)=r(%吗,),那么两向量级等价：任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价，且这两个组所含向量的个数相等.假设两个线性无关的向量组等价,那么它们包含的向量个数相等.假设A是IX"矩阵,那么r（八）min，.”,假设，YA)=，”.4的行向量线性无关：假设rM)=，A的列向量线性无关,即:%.:.线性无关.战性方程组的矩阵式IAv=/?向1式Aia1.+.x2a2+xg=Aa=M非零解i仰忆A=()/o阻=£有无穷多解(二n.%,.,凡线性相关夕可由.?,.q线性表示<=>AX=#有解=r（八）=r(Af1.)=Ax=夕有唯一组解At=。只有写解“，冶用向*On=>%.%.“线性无关3型T克莱姆法则or(4)r(4)不可由.4，.“线性表示=Ax=乃无解or(A)r(A/)Or（八）+1.=r(A)矩阵转置的性质：(.,)=A(B)'=BrAr(k)r=kr田=IA1.(A+J)r=r+r矩阵可逆的性质:(AT)T=八(八8)T=STAT(k)-,=k-'-'IATI=RrGry=(Ar)T(1.)*=(At)'=-*伴随矩阵的性质：（八）=IAr1.(4)=,A'(WTA，=c,(41)=(A)-,=(Ar)=()r(A)a=(4)*AA'=XA=Er(A)=n若r（八）=nI若KA)=-1O若r(A><“-1.IAB1.=I胭MI=KpIt=4线性方程组解的性质:(1)%.力是AA=OfKJ解.+7也是它的解(2)是Ar=O的解,对任意太制也是它的解7.11(3)如生,迎是At=O的解.对任意人个常数广人J"4,4，.即4%+4%+4z也是它的解(4)½Av=用向解.是其导出组At=(帕解/+是AX=/?的解/,小是Av=阴勺两个解,7-%是其导出A1.Av=0tJ解(6)生是AX=娜J解.则叫也是它的解O小是其导H也1.Ax=Of向解“是Ar=郁J解,则Arf1.+,+4丸也是/U=向解o%+4+4=14%+4,是Ar=OfyJ解04+4+4=。J设A为mx矩阵,假设ZA)=切,那么八4)=(44)，从而小=用一定有解.当时,一定不是唯一解.=竺普<堂默”,那么该向量组线性相关.向量维数向量个数，”是"A)和NA7?)的上限.J矩阵的秩的性质：r(4)=r(r)=r(4,4)r(A±B)r（八）+d)r(AB)minr（八）.r()r(k)=r（八）若Wo0若*=0Aor=r（八）+r()oB若A0,则“A)N1若AE，B.,.且r(AB)=OMIr（八）+r(B)n若尸.0可逆，则r(¼)=r(AQ)=r（八）若A可逆,则r(A3)=r(8)若B可逆.则NAB)=MA)若"八)=",则O=(阴,且A在矩阵乘法中有左消去律:/AB=O=B=OAB=AC=>B=C标准正交基I”个“维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.与/正交(a.)=0.Ia是单位向兔I1.aI1.=J(,)=1.J内积的性质：正定性：(,)20,且(,)=0u>=o对称性：g)=9,)双线性：(a.4+&)=(4)+(ZM(a1.+a2,)=(a1.,)(,a,)g.fi)=(ea.)=(a,c)施密特I%,%,火线性无关，ZfI=%正交化卜F-畿./?,=a,-2y_(7M)小(ZWg制单位化:71=i¾三J犷备正交矩阵AA'=E.A是正交矩阵的充要条件：A的个行(列)向量构成丁的一组标准正交基.J正交矩阵的性质：4r=A1.;AAr=A1A=EiA是正交阵,那么Ar(或AT)也是正交阵：两个正交阵之积仍是正交阵：正交阵的行列式等于1或-1.A的特征矩阵IAE-A.A的特征多项刘E-=().A的特征方程IE-4=0.Ax=.rAt与性相关J上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的件元素.J假设IA1.=O,那么尤=0为人的特征值,旦Ar=O的根底解系即为属于之=0的线性无关的特征向JIAI=U4Ai=trJ假设M)=1,那么A一定可分解为A=1.,b2,，11»'=(aib1.+aj>2+q>nM,从IA而A的特征值为：i1=tr=ath1.+a2b+a1.hn,i=1=n=0.J假设A的全部特征值，f(x)是多项式,那么:/(4)的全部特征值为/(4),/(&).,/(儿)：当A可逆时，川的全部特征值为土,或,A.的全部特征值为乩乩月.kAk<A+bEa-bJ2是NKJ特征值,则:A-A:分别有特征值(.AmmA'ykAkaA+bEa+bJX是A关丁渊特征向量,则X也是关于(的特征向量.Anrt,/VHA与8相似B=PIAP(P为可逆阵)记为：AB的矩阵，PzP为对角阵,主对角线上的元素为4的特征值.JA可对角化的充要条件：”-r(4E-t)=&仁为4的重数.J假设”阶矩阵八有个互异的特征值,那么人与对角阵相似.A与8正交相研B=UAP(P为正交矩阵)J相似矩阵的性质：A"'B1假设48均可逆ArB1AABi(A为整数)©ME-AI=以七-，从而A8有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即：X是A关于,的特征向量，PTX是3关于4的特征向量.4=从而A8同时可逆或不可逆(§)r(<4)=r()tr()=tr(B)J数员矩阵只与自己相似.J对称矩阵的性质：特征值全是实数,特征向量是实向量；与对角矩阵合同：不同特征值的特征向员必定正交：