线材下料问题-线性规划.docx

一、问题陈述（下料同跑）某工厂要做150套钢架,每套钢架分别需要长度为2.5米、2.6米和1.9米的圆钢各一套。原料好根长10米，问应如何下料，可使所用原料最省？二、问题分析该问鹿是运筹学在实际运用中比拟经典的“战材下料问题”，从第一局部问题陈述中可以若出，该问题的一般提法是，要做N套产品，需要用规格不同的1种战材，各种规格的长度分别为1”1.,b,.,In,每一套产品衢要不同规格的原料分别为M,m：,m,.,Ik根，原材料的长度为一定的长度，问应该如何下料,从而使原材料的耗用呆省,因此.在解决此类问遨时应分两步考虑：I、确定可行的切割模式：即按照客户需要在原材料钢材上安排切割的种祖合；2、确定合理的切割模式：合理的切割模式的预料不应该大于或等于客户需要的钢材的朵小尺寸，对于如上第一分部提出的线材下料问遨，可以用运筹学中线性规划的方法求解，通过建立线性规划模型来具体分析。三、模型建立建立线性规划模型时，对于约束条件这里为切割要海足客户对钢材数崎的地低要求，此烟将时标准钢材的切割（2.5米、2.6米、1.9米），从而现合成一套钢架，要求为150套等因素建立约束条件.但是，对于目标函数而言，会有这样两种情况：1、求的钢材原材料总根数M少：2、求的钢材原材料余料班少。在本文的分析中，我们选择前者，即：求解使用的钢材质材料总根数G少.为了建立模型方便.我们把下料后余下的小于最短用料的例材称为废弃制材.把下料得到的长为2.5m,26m.1.9m的钢材称为规格钢材，把10米长的原材料制材称为原钢.因此，所用的原钢可以分解成三局部：1、成台利用的规格钢材：2,列余的规格钢材：3、废弃钢材，通过分析计算.可以得到原纲的11种下料方式如下：表1.一条原料钢材的11种切法2.6«001020132101.9b01121321235Sua109.49.58.89.68.28.99.798.39.5Reaain00.60.51.20.41.81.10.3I1.70.5我们设决策变量：采取第i种卜科方式的有X,根原铜，i=1.,2,311.另外设置辅助变量:轲余2.5米的现格钢材为1根.利余的2.6米规格钢材为y：根，划余的1.9米规格钢材为为根.因此得到模型一：模型一：利余约较盛一材作废弃一材的情况M1.nZ=«*x106x2*0.5x>1.2x4*0.4x5M.8xAM.1*x7H).3x8+1x1.7c1(H0.5<11+2.5<y1+2.62+1.9*y3(1)4*x1+Mx2+2*x3+2%gt5+x夕x7-y1=150s.t.x>2c57+J*2+x10-y2=150：x2÷x3+Xx4*x5*3xQ2*x7+x*2*x9+30+gd1-y3三150.>三0,yX),J1.为柴敷i=1,2f3.11,j三1,2,3(2)MinZ=Yx1.r-I1.1.(1)、(2)组成的是求废弃钢材最少的整数线性规划模型.同时,很容易联想到另一个模型,是由(2)、(3)组成的求所用原料钢材般少的整数戏性规划模型.模型二：啊余4MU"材可网原一择可以再利用，不务柞及弄M材的情况MinZ=O<1K>.6*x24O.5*x>1.2c4*0.4*x5*1.8*x6÷1.1x7*0.3*x81x9*1.7<10H).511(4)4*x1+3x2+2xS2*x¼x5*x6+x7>=150at.xA2*x5+x73*x*2*x9*x10>三150(5)x2+3+24*x5+3*x6+27+x*2*x9+31(H5*x11>150X>=0,151,2,3.11Ih(4)x(5)殂成的是求废弃钢材最少的整数线性规划模型具有一定的实际意义，特别是当最短的规格钢材长度较长时，剩余的规格网材就可以再次被利用.在此，我们应该注意到，由(3)、(5)组成的整数线性规划模型就是模型一.由于在建立模型一和模型：的时候，考虑了剩余规格钢材的不同处理情况，使这个何明变得消晰r,所得到的模型也比拟全面根本没有漏洞和玦陷,并且比拟容易在这些根底上修改或添加一些其它的约束条件(比方：各种规格钢材下料成套时的不同比例等等)，所以，我们建立的践材下料问题的模型是可行的.基于以上的分析，我们选择(3),(5)组合而成的模型和(4),(5)组合而成的模型进行具体求解，从而求出组合出150套B1.刖所需要的最少原料钢材。求解模型：I1.MinZ=Vxim4x1+32+2*x>2c4÷x5c6+x7>三150at×3+21*x5*x7+3A<2x10>=150x2+x3*2t4+x5+3*x6*27+x8+29+3<10x11>=150Xai=1,2,3.11此模型是议定疑小使用原料钢材的条数为目标值进行术,解，inZ=0x1*0.6x2+0.5x3+1.2x4*0.4x5H.8x6H.1*x7-K).3x+1*x9+1,71(M).5(11(4)，4*x1+32+2c3+24*x5+x6*x7>=150,.如x3+25+x7+3x8+2x9+x10>=150(5)x2+x3÷2<4*x5*3*x6*2c7+x*23*x10*5*x11>=150x>三0,i1,2,3.11此模型时设定最小废弃纲材为n标值送行求解.四、方法选择指导思路：线性规划求解思路选择方法：Exce1.规划求解使用工具：Exce1.工具五、求解过程1、框架建立2、模式调整3、计钵原料钢材使用及剩余钢材4、设置目标函数及变量I、以模型（3）、（5）殂合而成的求解模型设定的目标值,说明：目标函数单元恪的即为我们所求的最少使用原料纲材第数。其具体在exce1.中的操作为D9=C12+D12+E12+F12H512+H12+I12+J12+K12+1.12+M12.II、以模型、(5)组合而成的求解模型设定的目标值。说明：目标函数单元格的即为我们所求见少剩余的废弃纲材，其具体在CXCe1.中的操作为:I)9=C7*B12+1.)7*C12+E7*D12÷F7*112-G7*F1.2+H7*G1.2+17*H12*J7*1.12+K7*112+1.7K12÷M7*1.125,设置约束条件求的最少使用条数。其中：C15=C12*4+D123*E122*F12*2HJ12+1.1.i2+112:C16=E12+G12*2÷I12*J12*3+K12*2+1.12:C17=D12+E12+F122÷G12÷H12*3+I12*2+J12+K122÷1.12*3+M12*5：6、利用规划求解工具Exce1.:工具-规划求解-依次输入11标单元格、可变单元格、约束条件进行求解其中，点击规划求解参数选项枢右边的选项按忸.在伸出的选项枢中选中采用线性模型和恒定非负.39fMv.i双电咯单助的C3翻出互*F7111.咖皿tit便IHr加：J1.t皿yBJ5i求解结果如卜列图：1、以模型(3).(5)组合而成的求解钱型求解结果.从上表可以直接得出：用小原料钢材使用条数为108条,但实际的使用情况为107.5条,多切割出来的0.5条（152-150）*2.5）米）.IU以模型、组合而成的求解/?8设定的目标值.从上表可以直接看得,最小剁余废弃钢材为25米.但实际的剩余废弃捌材为30米（U52T50）2.5+25）.六、答案分析由上图可知，按照模式1切38条原料剂材，按照模式8切原料剂材50条，按照模式11切原料钢材20条,从而可以得到：2.6米规格削材152(38*4)条,2.5米规格饰材150(503)条.1.9米规格钢材150(50*1+20*20)条，问时，可以从解出来的数据口出制余的废弃钢材为30米，其中包含多切割出的2条2.5米规格钢材共5米,按照模式8切割的婀余废弃钢材15米(0.3*50)以及按照模式11切割的剩余废弃钢材10米(0.5*20).通过分别设巴目标俏为及小使用原料钢材的使用条数和以小菊余废弃钢材的计算，我们得出相同的结果，即切割2.5米规格钢材152条，2.6米规格钢材150条以及1.9米规格钢材150条，同时剥余废弃钢材为30米,使用原料钢材108条.但是，对不同目标值设定就,定是会得出相同的结果吗？在这里，我们引出另种情况来诳行比照分析.如卷：某工厂要做100套纲架.每套纲架高委长度分别为2.9米，2.1米和1.5米的IB钢各一根。原料每机长7.4米,何应该如何下科,可以使所用原料我省？在这我们利用之前的分析,分别设定最小便用原料条数和鼓小利余材料为目标值进H媒燮建立.如下：X1X2X3X4X52.9A1201021米002211.6卓31203余林00.10.20.30.8设定最小使用原料条数为目标伍模型：MinZ=x1+x2+x3+×4+x5xx1+2*x2+x4>=1002x3*2*x4*x5>=1003”1÷×2+2*x3÷3<x5>=100tai>=0(i=1.2.5)设定最小余升为目标值理型：MinZ=0*×1*0.1*x2+0.2*x3+0.3*x4+0.8*×5,x1+2*x2+x4>=1002x3+2*x4+x5>=1003×1+x2+2*x3÷3x5>=1001.xi>=0(i=1.2.5)时这两个模型追疔求解，有:最小余科为目标值模型今:放小股料使用能数为目标伍横型解:由以上两种模型翁卷可知：在以最小余科为目标值进行求解的时候，得出的原料住用条数为150条,而以最小原料使用条数为目标伍逸行求解的时候,得出的原料使用的条敦为90条。综合两道双目的比拟,可知，两种类型的模型设定是会得到不同的解答.因此.在不保证未来多余规格材料是否有用的时候，这就可能会造成原料更大的浪费，所以，时此类向阳的求解，应多采用以薮小原料使用条数为目标值的程型进行求解.七、总结通过上面的分析推导，对于城材下科的戏性规划模型，目标函数就可以简化为两种明确的情况来考虑，当我们的下料何超是一次行为时，直接求原料钢材总根数最少，而当我们下料问巴是陵次行为，每次的问魄需求各种规格钢材的长度是不变的，并且下科模式中没有余料为零的怡况下，才可能考Iij使用设汽余料AH、的模型进行求解因此，熔于对题I1.所要求余料以少的使用条件的要求,我们一般用原料总根数最少作为目标函数来解决线材下料问题.