还原Word_第一章几何规律探究.docx
第二弦与全等有关的模型本章综述初中三角形全等的证明在中考中是必考内容，或单独考查,或在其他综合题目中而全等的模型较多，本节重点讲解几个经常考直的全等模型及其辅助线的添加方法2.1常见的几种全等模型本节内容主要讲解勾法“一线三等角“全等模型、倍角半角模型、对角互补模型等常见的证明全等的辅助线模型.模型一一埃三等角“全等模型场景：如图，点D,C,E在同一条直线上I同一平面），1.D=1.ACB=1.E=90。（三等角jAC=BC连接AB,可以得到力BC是等原百角三角形.应用：如下图，遨目中有45。角时，我们先构造亘角等股三角形，然后进一步构造“一线三等角,百角全等模型来解决问题.=Oa拓展：如下图，三个角相等，在同一条亘线上，且有一蛆对应边相等，则图中的两个三角形全等，我们都称拓展应用：如果有等腰三角形，琳何以围绕顶点作一线三等角“全等模型.精选例Sg例（2019广州）如图.正方形ABCD的边长为“点E在边AB上运动I不与点A.B由合）,DAM=45点F在射线AM上.且AF=&BRCF与AD相交于点G、连接EC.EF.EG,则下列结论:/ECFF5。；AEG的周长为（1+y）;BEHDG2=区内2XEAI的面积的最大值为:，产.其中正确的结论是_填写所有正确结论的序号）.答图2解析一:由/DAM=45。,AF=2bE,可围绕BE构造等腰百角三角形，通过全等三角形得到AEFC是等股百角三角形，可得到/ECF75。，满足后面接下来讲的“正方形的倍角半角模型、根据该模型的解答方法不难判定结论的正误.解析二:由NDAM=45。.AF=&BE.可构造三等角“全等模型，得到AAHF是等搜直角三角形，可得到/ECF45o,满足后面接下来讲的“正方形的倍角半角模型”，根据该模型不难判定结论的正误.解-如答图1.在BC上截取BH=BE.连接EII.VBE=BH.ZEBH=90o,EH=2BE.F=2BE,F=EH.,.ZDAM=ZEHB=45o,ZBAD=9()u,AZFAE=ZEHC=135°.VBa=BCBE=BII.AE=HC.FAEEHC(SAS).EF=EC.ZAEF=ZECH.'：ZECH+ZCEB=90o,二/AEF+/CEB=90。.：.NFEC=9()。."./ECF=/EFC=45。.故正瑜如答图2.延长AD到H.使得DH=BEJHUCBE5CDH(SAS).ZECB=ZDCH.NECh=NBCD=W./ECG=/GCH=45".VCG=CG1CE=CH,GCE1GCH(SAS).EG=GH.GH=DG*DH,DH=BE,.EG=BE+DG.故错误：二ZSAEG的周长=AE+EG+AG=AE+AG+GH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a,故错误:设BE=x.则.AE=a-x,AF-2x.5xr=(-x)X=-x2+x=(2ei+：M-12)=一；(XV+1.a2.-<0,X="时，AAEF的面积的最大值为)2.故正确.故答案为，.解法二如答图3.作FHJ_AB交AB的延长线于点H.HU坎'：/DAM=45o,ZHAF=45o,A/7Y?,ZiAHF是等腰直角三角形/AF=2HF=2AH=2BE.AHF=AH=BE.AEH=AB=BC.BcEHFCBE(H1.).3.EF=EC,ZAEF=ZECB.VZECB+ZCEB=9(r,.ZAEF+ZCEB=QO0.ZFEC=900.二NECF=NEH>45。.故正确：由此，可得“正方形的倍角半角模型”"艮据该模型可得BE+DG=EG.故以错误；,AEG的周长-AE+EG+AG=AG+<3D+BE+AE=AB+AD=2a,故错误；设AH=HF=BE=X则AE=ax,Seur=(a-x)-X=-x2+ax=-(x2-ax+a2-a2)=-(x-a)2+Ja2<0.X=时，AEF的面积的最大值为”,故正确.故答案为.精选练习I.如图，将正方形OEFG放在平面百角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2r3),则点F的坐标为2 .如ISQEF分别为ABC边ACAB.BC上的点,/A=NI=NCDE=DE下列结论中，一定成立的是).A.AE=FCB.AE=DEC.AE+FC=ACD.AD+FC=AB3 .如图JE方形ABCD的边长为4.点EffiiiAB上.BE=1.NDAM=45。点F在射线AM上且AF=或过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H,CF与AD相交于点G,连接ECEG.EE下列结论:ZSECF的面积为三缸AEG的周长为8；(EGZ=dg2+3炉.其中正确的是1).A.B.C.(J>2)D.额)模型二正方形的倍角半角模型场景:如图.在正方形ABcD中点E是BC边上的动点.点卜在在CD边上.NEAF=BAD=45”.在正方形ABCD中隐含着AB=AD,也就是倍角的两边相等.作辅助线:如下图.延长CD至G.使得DG=BE.i三(1.)BE+DFEF;(2)以BE+ADF=SaeF；(3)NAEB=NAERNAFD=NAFE是AE平分NFEB.AF平分NEH).如下图过点A作AHEF交EF于点II.结论:(4)AB=AHqABESHE,ADFqAAHF;=2AB.如下阿弟仑(6)AANMSADNFsaBEMsAAEFsaBNAsaDAM,(由AO:AH=AO:AB-1:夜,可得AANM和AAEF的相似比为1.1.图形见后面)；(7)Smv=SrtnButr如下图.连接AC.结论：（8）AOMADFqAONABE.如下图,连接EN.结论:（9）AEN为等腰直角三角形.NAEN=45。,NEAF=45,AE:AN=1:1同理.连接41.AFM为等腰直角三角形，"!FM=45。.ADADAD场景:如下图.在等腰直角三角形ABD中.AB=AD.NBAD=9俨.NMAN=45。.过点D作PD1.BD.并被取PD=BM.连接NP.AP.思考：（1延长AE交DC的延长线于点P,延长AF交BC的延长线于点Q,你还能得到什么结论呢。（2）如果点E在CB的延长线上,点F在射线DC上，你又能得到什么结论呢？精选你JSfi例如图.在正方形ABCD中.E是BC边上的一点.BE=4.EC=8,将正方形边AB沿AE折展fJAF.延长EE交DC于G.连接AG.现在有如下四个结论:/EAG=45。;FG=FeFCAG:SAGFC=I4.其中正确结论的个数由边AB沿AE折0到AR则.AF1EG目AE平分.乙BEF,.那么你能想到正方形的倍角半角模型”中的结论吗”如果满足“正方形的倍角半角模型”，则,EG=BE+DG,其他的结论就比较容易判断了.解易知AD=AB=AF.则）RtDGZRtAFG（,H1.）.GD=GF.ZDAG=ZGAE又；/FAE=/EAB,：YEAG=/.GAF+/.FAE=(BAF+WAD)=gBAD=45,所以，正确；设GF=X则GD=GF=X.又,：BE=4,CE=8,DC=BC=12,EF=BE=4.CG=1.2-x,EG=4+x.在RSECG中.由勾股定理可得82+(12-x)z=(4+K)?,解得x=6.TD.FG=DG=CG=6.又.FGG60o.ys>J.FGC不是等边三角形，所以错误；1如图，连接DF,由可知AAFG和乙A1.K；是对称型全等三角形，则.FO1AG.1.XVFG=DG=GC.BE.DFC为百角三角形./.FD1CF1AFCHAG,成立；EC=8.SBCG=ECCG=24,XSFCCFG3c,3c.72.=M=W'SFCC=WSEG=W错误.故正确结论为。瀚，选B选项.精选练习I.如图I,已知四边形ABCD是正方形.将DAEqOCF分别沿DE,DF向内折叠得到图2毗时DA与X'击合(A.C部落在G点)若(GF=4,EG=6,G=G则DG的长为.DnICV：E'EMIB图1图22.如图JH方形ABCD的边长为a.E为CD边上一点（不与端点重合）.将A沿AE对折至AAFE延长FH交边BC于点G.连接AGCF.给出下列判断:EAG=45。若DE=%则AGCF;若E为CD的中点则.AG”的面积为>2；若CF=FG.则DE=（1.>a;BGDE+AFGE=成其中正确的是（写出所有正确判断的序号）.模型三对角互补模型模型3-1全等型90°场景：如图，UOB=乙DCE=90%对角互补）；OC平分NAOB1.一条对角线平分一个内角）.结论.（I）CT）一（EM2""）+OE-/（JC（3）S-"t-S.""+Sr,H-g（X"作辅助线方法：如图，过点C分别作CM,CN垂百于。A,BO,证明CDMCEN（角平分线垂两边）；如图.过点C作CF_1.Oe.证明ODCgAFEC拓展：其他条件不变，NDCE的一边交AO的延长线于点Dii>CD=CE（不变）;（2）。E-OD=20C;（3）St-Sr=OC2.模型3-2全等型任意角«场景一：如图.ZA0B=2,ZDCE=1.SOfaQC平分NAOB.结论:(1)CD=CEX2)OX)E=2OCcosa3)S四边形OOCE=SxD+SCE=OC-Cosasino.场景二：如图，其他条件不变，NDCE的一边交AO的延长线于点D.磁:CD=CEOEQD-2OCcosa同SAaE-SaD-OC3cosasita.证明的方法同上.探究：当<尸60。时,你能得到什么结论？如果a=120。呢？探究一下吧！精选胡谶例如图.NEOF的顶点O是边长为2的等边AABC的垂心.NEOF的两边与AABe的边交于EFNEoF=I2©则NEoF与AABC的边所围成的阴影部分的面积是）.A若吟A若DA/解析ABC是等边三角形.ZB=60。点。是军心.即点。在NB的角平分线上.NEOF=12()。,NB+ZEOF=180.满足对角呈隈型.解如答图I连接OBQe过点O作ONj_Bc垂足为点N.ABC为等边三角形，NABC=NACB=60。.点。为AABC的亚心,由等边三角形的性质C三线合一”)可知，点O也是内心，.1.OBC=OBA=1.ABC,1.OCB=2C3.二NoBA=NoBC=ZOCB=YT.OB=OC.ZBOC=120°.'.ON±BC.BC=2.BN=NC=I.ON=Ian乙OBCBN=当X1.=?.33SOBC=泗ON=*.NEOF=/AOB=I20°.二ZEOF-/BOF=ZBoC-/BoE即/EOB=/FOeOBE=ZOCF=30在4EOB和AFOC中，OB=OC.1.eob=乙FoaEOBFOC(ASA).c_c_曰,'>BI=5OBC=邂
