《測圓海鏡》之已知底勾求圓徑題之3.docx

测!海之已知底勾求题之3上傅WW名：梆熊112XiSoXinGuan112何世强HoSaiKcung提要：以下源自C国圃海a卷四，所冏者皆典“阿城圄式”有踹，主要涉及勾股形之斜谖成内接IH之切嫄而求之冏题。又在“圆城园式”中，已知底勾及另一像件，例如已知明弦或更弦，而求回之冏题。底勾明弦明勾史弦本文取自测B1.海镜卷四之底勾一卜七冏笔者已有文章及“求回之题”名悬测圄海筑）之已知底勾求到很期之I及2，本文乃其延苑。以下1.a城之一般BI:夕艮泉北汨烟海皆涉及“圆城圈式”。代城"有束、南、西、北四n甲典乙优此四f11出，遂形成各林之冏。第一冏至第十冏见前文。第十一周或冏：甲乙二人同出北FE向束行，至束北十字道口分路，乙折南行一百五十步而立，甲又向荣行，甲前接通行了：百步，退望乙恰奥城相直。冏：城何？以下篇其圜：CN-ED题意指甲、乙二人同出北11E向束行，至农北十字道口M各自分路，乙例南行150步而立於G甲缀绩向荣行，甲前接共行200步而止於C，弱望乙恰舆城相直即CRGH篇直源求圜。今延房OA至R，今RA悬X焉辅助未知数剧半筏r悬未知数。t½ffi1.可知AGRA、GCM*ORH皆悬相似三角形，封鹰谖成比例，可得：X=200-r_1.(xr)2-r2150-rISOr-因;ISO-r150200-r(20Oe(QSQe_.一?SOr+30000vISOISO接式得11三=叵尹即r？=(x+"1.r2=F+2w(Mv代人M-40"3+4or2_rz-350r÷30000pf2r(r2-350r÷3(X>00)22500IISOJISOt-400?+40000r2=/+122500r+90000-700r3+60000r2-2100OOOOr+300/105000r+9000000r400Oo1.=122500rT90000+60000r-21OO(X)OOr-105000r2+9000000r0=37500I2+900000000120000r375/120000r900000()=0r2-320r+24000=0-分解因式得:(-120)(-200)=0，取r=120(步)。答：城半径悬120步，即城240步。汛IniI海疏法：法日：以二行步相乘於上(150×200=30000，又以南行步乘之悬软;30000×150=450001，二行步相乘於上(30000:，又以乙南行:减於甲柬行得数200150=50)假以乙南行乘之(50X150=7500，加上位共J法30000+7500=37500)，得半径(4500000÷37500=120)。故所形成之方程式篇:37500r=4500000r=120。草日：立天元一，焉半城径，副之上位，加甲行步得，+200焉大勾也。下位减於甲行步，除-r+200悬小勾也。其乙折南行即小股也。置大勾以小股乘之，得150(r+200)=-150r+30000，内寄小勾+200熟母，便以扁大股也。再直天元以母乘之得r(r+200)=-r+200r减於大股踪r2-50r+30000篇半个矮梯底於上【内寄小勾焉母)再置乙折行步内减天元得-，+150急半个矮梯，以乘上位得：(-r+150)(r2-50r+30000)三-rj+50r2-30000r+150r2-7500r+4500000=-?+200r-37500r4500000篇半筏籁寄左。乃以小勾分母乘天元幕得下式2+200/扁同数典左相消得r,+200r2=尸+200,37500r+450000037500r=4500000r=120。上法下置I，如法而一得一百二十步，即城之半也，合冏。答：城半120步即城筏240步。又法法日：二行步相乘篇UTI150×200=30000)倍甲柬行内减乙南行检法12X2OO-I5O=25O三即得30000+250=120。草曰：立天元一r悬半副之上位，加甲束行得，+200寓大勾。下位减甲柬行得-r+200热小勾，此小勾便是勾画差也。其乙南行即小股也，宜大勾以小股乘之得下式150(r+200)=150r+30000，内寄小勾-r+200悬母,便以篇大股也。即大股DB=200-r200-r1511>(2(>O+r)_3M)DD+150r再置天元以二之(2r)，又以分母乘之得-2rs+400r悬全，以减於大股绘得：(I5r+30000)-(-2r+400r)=Ir-250r+30000扁股网差也，合以勾网差乘之,绿内已有小勾分母故不浪再乘，便以此悬雨段之半罄也,更瓶分母寄左。再置天元以白之，又二之得2尸;同数舆左相消得：It2=Ir-250r+300000=-250r+30000250r=300r=120。上法下UT一百二十步，即半城也，合冏。以上之算法如下：已知GM=I50CM=200-rCD=200+r，又可知HB=FB，CH=又因2AGMC典ABDC相似，所以m=未='大股'CB=HB+CH=大股-2°0；依勾股定理可知：HS2+cd2=cb2大股2+(200+大=(大股-r+200)2大股2+400+400+r=大股2+r+40000-2r大股+400大股一400r800r=-2r大股+400大股800r=2><H5(200-r)400，=150(20(Hr)400”30000+150/-250，30000r=120。答：城半120步，即城筏240步。第十二冏或冏：见底勾二百步，明弦一百五十三步C冏答同前。“底勾”指下曲之CE北地级Y测回海卷一日：日之北焉底股，北之地悬底勾。又日：日之月悬明弦，日之南悬股，南之月悬勾。多看以下雨圄即可知：KE悬底股EC热底勾KN热明弦，KQ热明股，QN卷明勾。解：若果以园空未知数，即求法敕悬困辘，透改用其他未知数'本题即悬一例，本SI以南月NQ.热明勾B未知数，而非间半。夕艮及北<底勾200CNEP今以南月NQ热明勾悬X。优圈可知：KH=KN+NH=KN+NQ=x+153，CH=CE=200CK=CH+KH，KQ=(1532-X2)»/XKQN典AKEC相似，所以封鹰遏成比例，即爱二洋可列出以下比例方程式：NKCK2001532OO+X+15330600=353X+F+353X-30600=0，分解因式得：(x-72)(x+425)=0取X焉72，即明勾篇72步。以下21算阑法。KQ=(1532-)=(153272=418225=13572ZOO135×ZOO因悬KE=m+KQ所以BI程=375-135=240(步)。测圆海线算法:法日：半底勾乘明弦悬平Isr，伊二云敦而半之悬拢，五分常法，得明勾半底勾乘明弦符平1:即100X153=15300悬常数»伊二云数而半之焉(即½(200+153)=176.5扁X之(系数。“五分常法”，即以0.5F之保敢。故其方程式篇：O.5x2+176.5x-15300=0X2+353X-30600=0，分解困式得:(x-72Xx+425)=0。取*=72,得明勾。草日：立天元一X葛明勾加明弦得x+153舄高股也。又以天元减底勾而华之得下式½(+200)=-0.5x+100悬平勾也。勾股相乘得(0.5X+100)(.V+153)=0.5.V2+23.5X+15300Z¾半fS募寄左'然接以天元乘底勾得下式200悬同数，典左相消得200X=-O.5x2+23.5.v+15300400X=-X2+47x+30600X2+353X-30600=0，分解因式得:(x-72×x+425)=0取X瑞72，即明勾悬72步。平方得七十二步，即明弦也。以明弦秉底勾2¾平方，即72*200=14400，如法冏之得一百二十步，倍之，即城筏也,合冏>即(72x200)=144(X)=120此算法见上画1。答：城半径悬120步，即城径240步。第十三冏或冏：见底勾二百步，更弦三十四步，冏答同前。首先了解“史弦”莪。(测§1海J卷一)S:山之川J，山之束悬股，束之川热勾。解：t½圃城阉可知“山川”是悬“史弦”，即下IaI之GR今言殳史股山束GA葛X，是悬情助未知数'未知数JB1半r.可参咫上题捌及下圈。依勾股定理可知RA=(3i-.r)=(1156-A-)优Iff1.可知GRAGCMKiOHR相似相似三角形豺鹰遂成比例：即W=饕=瞿，可列出以下比例方程式：X_x+r_.34-ZOO-X-r+34j2优套=募；得200vv2=34x+34,166x-.r=34r166x-x21=IO34又可知上/乂JK1.34r+34z*34r=.vr+x(1.1.56-.r)1661.v.r=166,+x(1156-)以r代入66-x=若兰+(H56-)55644-34x=166v-.r+341.(1.156-x2)X2-200.V+5644=34(1.1.56-)+40000+31854736-400.v'+H28&r-2257600.v=1336336-I1.561.v2x4-40ttrj+52444a-2257600.v+3051X400=O，分解因式得：(x-30)(,-37O+41344-IOI7280)=0取X=30，即史股山束GAM30步。有了X即可算出回半，：166x-Kz166×30-3Oz4980-9004080,r=F-=11=F-=-=,2°4答：城半径焉120步，即城径240步。另法：又优直角三角形GMC可知(X+货+(200-r)2=(200-.v)2展得：x2+2+2xr440000-40Or+r2=40000-400X+2r2+Ixr-40Or=-40().vr2+xr-200r+200x=0(竺等+M竺等2()0(若产)+200X=0(以上文之r之值代人)27556-332-+x4I166x2-x33320Dx-200x2IC+200.V=0115634342755命332x3+x4+5644a234，1128800.V+6800+231200x=0366?+40()00/89760(r=0X3366x2+40000.v897600=0，分解因式得:(X30)(336x+29920)=0取.t=30，即史股山束GA禹30步。测圜海箱算法日：法日：底勾吏弦相减(200-34=166)-6余倍之(332)-内减去底勾(332-200=132)1-按倍史弦减底勾亦同)，Ig以底勾秉之於上(20OX132=26400)。又以更弦舞乘上位熟三乘方Ir，即342×26400=30518400悬常数。倍底勾以更弦幕秉之i½'即2×200X34462400是x之保数二云数相减绘以自之第一施即(200-34)2=1662=27556是四x2之佛殿二云数相与滁又倍之;第二益廉