专题07 空间向量与立体几何（解答）（解析版）.docx
nBE=O,nPC-O.设Ii线ACjT：1：IBEF所成的也为0.则“土卜鼎因为EFfiPC，设平面砌'的法向/为”=(工乂)则行设E(2O),则S£=(/-220).乂PC=(O2-2),所以“；：二j'=°令x=2,Wy=z=2故平面跳尸的个法向N>ji=(22.2).当且仅当$=-3，=1时取,=乂0°4。490°.所以伊6460°.综上所述，直线ACUT1.h:BEF所成角的最大值为600.2.(2024,浙江宁波模拟预测,在空间四边形A8CD中,AB=BC=BD=AC=2,AD=DC=2.(I)求证:平面A。CJ.平面ABC;(2)对地线8。上是否存在一点£,使得白城与平面ACE所成角为30。,若存在求出点的值，若不存在说明理由.【答案】(1)证明见解析存在，器3t分析】3)取AC的中心。，连可证明D1.CRR1.AC,DO1.OB,根据戏面粘1与曲面垂直的判定定理即可证明:：2)以。为。点,8.8.8为在宜坦分别为x.y.z轴建立空间直角生标系,求出A。与平面ACE的法向h；i的坐标,即可求解.所嗜3.(2024.浙江三模)已如四面体A-8CCM8=AC=8C=e=2.AC=1.(2)若8。，26，求直践八8与平面4C。所成角的正弦的.【答案】(1)证明见解析噂【分析】'1>根据题.Q."J'力8D1.A,8D1.CM,结合线面垂Ji的判定定理分析:正明:<2)方法1：根据题息可知：平面BCD1.平面Aaf.作辅助线,可知AH，平而BCzX利用等体积法求B到平IfiiACD的距离为.”台线I=U夹角的定义分析求解:力法2：根据,也意可知：丫：向BCD，平面CM.作州助纹，可知AH1-zf118CD.建系，利用空间向砥求线面火角.连AM,CM,iAR=AD=BC=B1.).'WBD±AM.BD±CM,又因为AwCeW-W.AV/.CMTi1.1.ACM.因为CU¥ItiiACM,所以AC1BD则Aj,-g,*j,8(6,),C(,1.,)Q(-6,),可行AC=1J-gm=(6叫.八8=g.-gj.设平面AeD的一个法向班为万=(Ky,z),则0M=T-4'=°,(mX=3+v=0令KI.则门赤.二一3.可得力；«.6-3).设r：线AB号平面八CO所成角为O.WWdMB4扁=孺=*所以底践AB1J平面ACD取成/面用的正弦成为噜.4.(2Q24浙江杭州三模如图，己知三梭台ABC-AIBC，八=BC=CA=AA1=BB1=2,A4=4,点。为线段A国的中戊，点D为线段OA的中点.B(1)证明：电线AO平面"C：(2)若平面BCC1B11平面ACC1A1,求直线AA与平面BCC1B1所成城面向的大小.【答案】(1)证明见解析；【分析】取A8也点W,利用平行四边形的性附证明A。0的,从而利用戕向*行的判定定理壮明即可:<2法I(浮系)：利用楮形性侦证匚A"1."W,建立空间H角公标系，设C(>(1-C5),jsina),利用平面CG4J平面ACGA求行C停。制,再利用线面角的向«公式求解即可;法2期合法）：连接CA,送，取AG中点Mii½C,C,.8/交点明根据面面矢口的性侦定N!.结合我面角的定义得/AVC即为所求,在直角：角形中求解即小法3（:余弦定理:延长GUAA，8”交于点.匕根据三余弦定理求解即叽【详解】（1）取Ab中点.M,连接CMwe,则cwc。，故c.r共面,I1.I-AAf'-JOD平行且相等得，OZMM为平行四边形,AD/OM.囚为AD<z平面"S，OMUT1.fHOCC1,所以ADTtfiiOCG.<2）法1（建系）：连接0A,因为雨8。.UZM=用。2.所以BAOB1为甲行四边形,故OBB12.乂点.D为线段0A,的中点，所以A。J.A。,中AD/OMf：Ao1OM.枚以。为原点，OM-OAy为X,丫轴正方向，乖自T1.f1.BB,Ai向上为二壮正方向,建立空间直角坐标系工则(3.1.o),A(0.X0).,(0.2.0).(3.1,0),因为八8=BC=GA=2,八8的"I点M,所以B1CM.ZAB1.OM,CMOM=M,CM.OMU平面CWO,所以A1.i±平面CWd又ABu平而A88,A,所以平面CAQI平小A88,A,设NCMO=.CW3.WiC(3(1.-cos),0.sin).设平面ACGA的法向於为，4=(牛人2,).AC=(-/CoSa.T,/sina),Ae=(O(I-CotSa).-2,7JSina),J-Ir,cos<z-y1.+3z1sin«=0R1.+cos则't,、/r,取号=1.则X*.Z3-：.yfixi(1-cos6r)-2y1.+3z1Sindf=O*n则平面ACGA的法向价为，%=(|,6/巴：设平面8CC4的法向枇为A=(x2,y,z2).-/cos.1./Sina).8C=(G(I-CoJia).2,干Sina).->3A>costt+y23z2sina二OXr2(1.-s)÷2>+>3z2Sina=O取勺=1,则门=一#.31.+cosaSina小HfMCCS的法向Q为巧(.？4)因为Tf1.i-BCC1B11Tid：ACC1A1.所以n1n0.!x1.+3x(-3)÷1.1.1.1.=O.,sinasina卬3coa+2cosa-1=O,肝R；COSa=gukcosa=-1.(勺去).放q平,().平%=("卜记方线M与平面8CG5所成线面向为仇AA=(61.0)，m"°=刍二季ijg即在线人儿3平面HCGQ所成纹面加£.法2(堞合法i1.C.eg,取AG中点M则CN=AAI=I=A4=C,AiG41ICC1,由平面BCC1B11.平面ACeA.CC1=平面BCCtB1.平面ACC1A1,CAiU平面ACC1A1,故CAJ.-fBCC1Bi.H1CaIU1BCC1B,.B1CA.A1.C.Z1.I1.fi1CA,C,分i1.C=A1.C=Ji.延长GaAA.58交于点匕则所求线而角即ZAyc,而SinZAVC；处叵.所以SinNAyC-A1V24枚点线AA与平例8CG8,渐成纹面地的大小为法3（三余弦定理）：先证三余弦定理：设A为平面E点，过点A的H戏八。在平面上的射影为AB,Ac.为平而内的条1线，令NQAC=8,ZOAR=1.,BAC=z,则这：个加存在个余弦关系；COSe=C8苗8$仅其中。,和4只能是钱知,称为三余弦定卉，又称用小张角定M1.证明:如上图，自修。作OBiABJF也过BqBC1Aere,连接0C,囚为ORITifi)«.ACu'；'冏,所以08_1.AC,ZBC±AC.BCCQB=B.BC.OBc'111.CBO.月以ACJ.'冏CHO.乂OCUT-f1.；CHO,所以AC_1.OC,则cosZOAC=-,cosZOA8=/,cos/8AC=%.所以c>sZOACcosNQA8cosZBC.第cos。=COSaCOS%.延长CC,AA.8,8交)点忆则/8VA=NavG=NSVG.I1.1.T1.I1.iBCC,Bt1平面ACCA.用：余弦定河价COSNBAa=COSNGMCOSZC1Vfi1.所以cos,zc1vA=：,所以coszc1VA=号1.f<,>rtA1'jTh8CC罔所成线面向为/05=jN5.(2024浙江金华三模如图,四棱椎。-八灰7)中，四边形八8(7)是菱形，ZBCj,AfiP是正三角形.G是48CO的JR心，点F满足AP=3FP求证：柘平面BCP：若CP=B,求直线SG与平面Ab所成角的正弦曲.【答案】证明见解析【分析】(I)粮抿求心的性做可得尸G2C，即可根据线线平行求证,<2)限如线线.H可得殴血乖忆进而可烟VyC()P1.yBP.根据余弦定理以及勾股定理求解反吱.即可利用等体积法求解长度,利用线面知的几何法来解，或者建立空间出角坐标系.利用法向法与直线方向向量的夹用求解即可.【佯解D如图，遥接AcBD.交点为”,则M虺BD的中点.因为G於ABCD的用心，所以CG=2GM.乂M是AC的”'点.所以AC=3GC.IhAP=3FP知F在设段八。匕IIAP=3FP.所以FG"PC.而打；«T1.fKBCP，PCU平面BCP.所以柘平面BCP.A.+o=o-坐%+0+；%=02-幸所以.cos<m,BG从而':我I7.而BCP所成用的弦值冬6.（23-24高三下,浙江金华阶段练习如图,在三棱柱A8C人8£中.ZA8C是边长为2的正三角形.侧面8用GC是矩形，AA=A8.（I）求证：三极锥A-ABC是正三极锥：（2）若；.梭柱48C-4“C；的体枳为20，求力践AG与平面AA"/所成角的正弦伯.【答案】（1）证明见解析立3【分析】（）>根据组面垂直的判定定理及性防定埋，证明A。，平面ASC即可:<2）建立空间百角坐标系,利用向量法求线面角正弦即可.【详解】（1分别取八8,Be中点D.E,连接8,AE交于点O,则点。为正：角形A8C的中心.面为夹角他因和图形即可求解.【详解】如图.取AG中点，连接8,Q"OQ,OO,.则由到意B1.BHAAyI1.Oo八I.Ba=AAI=OO1,故四边形BiBoOi是行四边形,所以R1.O1.fRO|：B1O1=BO,故R1O1HOD.B1O1=OD1所以四边形禺QOO是平行四边形,It1.B1.OffO1.D,又K,01.AtDCt,Q。U平面AB.所以乌。平而Ag.(2)由题息叮如AeBD,OB1阚柄，门，故可建立如图所示的宽间直角坐标系。一冷2.则i1.题©：4(0,-2.0),D(I,O,O),C(O,2,O),(-I.O,O),B,(.O.23.乂M=CG=明=(,o.2j),所以因-OC+CG"484(0.2.0)+(1.0.2J)(1.2.2#).O1.O+½O+8B1.=(0.2,O)+(1.O.2)-(1.-2.2?).即4(1.-2.24)(1.2.26).所以4G=(20).(C1=(1.0.23).图=(0,-22母DC,=(.2.2i).设TifijAOG的一个小向4为，"=(%»").m1B1C1m1CC1mH1C1=x2K=OmCC=x1.+2小入=0取芭=26，则Iit=(2百.M,-1).设平面RCC1B1的一个法向盘为rt=(.t2.y,.,),妞M1.DOin!Z>A-io-22.(2024浙江密兴模在如图所示的几何体中,四边形A8C。为平行四边形，¾_1.平面A8CQ姑QD,BC=2A1.i=2PA=ZZABC=M).(I)证
