(完整版)实变函数(复习资料-带答案).docx

二填空题（3分X5=15分）1、（CADC,8）C（ATA-B）=2、设£是0上有理点全体，则E=_IE=,E-3、设E是川中点集，如果对任一点中了都.则称E是1.可测的4、/*）可测的条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设/"）为“回上的有限函数，如果对于”.句的一切分划,使,则称/（x）为a.以上的有界变差函数。三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.（5分X4=20分）1、设Eu*,若少是稠密集，则CE是无处稠密集。2、若mE=O,则E一定是可数集.实变函数试卷一一、单项选择题(3分X5=15分)1、下列各式正确的是()（八）IinIAM=UCA；(B)Ii1.iIA.=c<jA；-*jc*-1.kNrrt-1.t-(C)Iinv,=cjA;(D)IiuJA"=cc4；1.>上£J1.Q+C<-1.三2、设P为CantOr集，则下列各式不成立的是()<A)P=c(B)wP=()(C)P=P(D)P=P3、下列说法不正确的是()（八）凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何了集都可测(C)开集和闭集都是波宙耳集(D)波雷耳集都可测4、设/；(#是E上的有限的可测函数列，则下面不成立的是()（八）若r(x)=>"x),则Z1.(K)->/CO(B)sup/*)是可测函数(C)inf是可测函数；(D)若nn，.6=/*),则/*)可测5、设f(x)是”力上有界变差函数，则下面不成立的是()()在向上有界/“)在m,加上几乎处处存在导数(C)/(X)在上1.可积Cfx)dx=f(b)-f（八）J«12',8分求呼则普叫必五、证明题（6分X4+1O=34分）.1、（6分）证明0,1上的全体无理数作成的集其势为C3、若(*)是可测函数，则必是可测函数4.设/5)在可测集E上可积分，若VXWEj()>0,则Jj(K)>0四、解答题(8分X2=16分).1、(8分)设/*)=已，；：；数，则X)在0上是否R-*rir*vA可枳，是否1.-11J积，若可积，求出积分值。4、(6分)设史<8j(x)在E上可积，G=E(I则1.im，WW=0.5、(10分)设f()是上上ae有限的函数，若对任意b>0,存在闭子集FttuE,使f(x)在方上连续，且巩E-5)<,证明：/(X)是E上的可测函数.(鲁津定理的逆定理2、(6分)设/是(>,÷=c)上的实值连续函数，则对于任意常数4.E=xf(x)a是闭集。3、(6分)在4句上的任一有界变差函数/都可以表示为两个增函数之差.连续,即不连续点为正测度集.3分因为是有界可测函数，/(X)在0上是1.-可积的6分因为/(r)与Y相等，进一步，./(.v)dv='.=1.8IJ，分2.解：设，(X)=幽辿e-c0sr,则易知当fs时，n，(X)2分又因(牛卜土券<0,(r3),所以当“23,工之。时，1.n(x+11)"+Tn(x+")_”+X1.n3n3、，八=(1+)4TTnnx+nn33从而使爵Z,WI母(+x)e-*6分*但是不等式右边的函数，在()、”)上是1.可积的，故有Iiin1(>Zt=I1.in(.t)dv=08分五、1.设E=K)J.A=EcQ.8=E(EcQ).8是无限集.三可数子集MUB2分.3A是可数集AjMM.分试卷一(参考答案及评分标准)一、1.C2D3.B4.5.D二、1.02、0,1；0:0,13、m'T=m(Tr,E)+m'(TryCE)1、充要5、£|八Kj-5)|1成一有界数集。MJ1.错误2分例如：设E是()内上有理点全体，则E和CE都在0中稠密5分2 .错误2分例如：设E是。7川”集，O1.iJwf=O,但彳=C,故其为不可数集5分3 .错误例如：设上.是上的不可测集，.V,'E-,r.1-.V,.VG«./?-£：则I/（八）I是a可上的可测函数，但/（八）不是M句上的可测函数4 .错误，E=OHt对E上任意的实函数/")都有J(M=O四、1./(K)在0上不是?-可积的，因为/*)仅在X=I处所以V()S1,从而V()Sm,因此，/(X)是“向上的有界变差函数.6分4、f(x)在E上可积n1.imzzE(fR)=mE(f=+0>)=02分据积分的绝对连续性，f>0,3>()yecE,me<,有(,v)rfr<r.4分对上述>0,3.Vn>k,mE(fn)<,从而it-me<f(x)dv<f.即Iimrue=O6分n5.VnN,存在闭集FUEjn(E-F)<7,()在£连续2分令广=OC5，则VXGF=弘,XGE,=(x)在户连续4分又对任意k,w(E-FnAE-Fn)|=*u(£-A；)j-A,nk力/«(£-1；)<：.6分o-2.8分故“KE-F)=0.(-)在FUfi1连续-.-B=Mj(BM),E=A>B=A<uMkJ(BM),5J)且(AUM)C(8M)=e,MC(5f)=/：.EB.:.B=c.6分2.以wE',则存在£中的互异点列xj,使IimX(I=X2分VxnE./(xn)a3分/(x)点连续,，/(X)=Iimf(x)a.XGE5分；.£是闭集.6分3. 对£=1,3力0,使对任意互不相交的有限个(a；E)U(Qb)当名他一q)<5时，有f(b)1.-/(«()|<12分«=1将。的m等分，使tk,-&J<6，对I-ITzX,.i=,i<1.<-<k=X,有S(2j-(2,)<1.,所以»-1/(.V)在K-.xJ上是有界变差函数5分的(A) f(*)在0,bA-可积=I1.AX)I在0回1.-可积:(B) f(X)在,bR-可积Ufa)I在bR-可积(C) /(.r庶a,(-可积U/(刈在问犬-可积：(D) /(x)在(+)A-广义可积=/(.0在(a,收)1.-可积二.填空题(3分X5=15分)1、设AAI=P,2-口.=1,2.则瓯儿=。nn2、设户为CantOr集,则P=,mP=_方=_«3、设£是一列可测集，则，”&5,m514、一津定理:5、设尸(X)为4句上的有限函数，如果则称尸为M以上的绝对连续函数。三下列命题是否成立法成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分X4=20分)1、由于0.1-(0,1)=0,1,故不存在使(0,1)和0J之间IT对应的映射。又ME-F)=O,所以/(x)是E-户上的可测函数，从而是E上的可测函数.10分实变函数试卷二一.单项选择题(3分X5=I5分)1 .设M,N是两集合，则-(-)=()（八）M(B)N(C)MCN(D)02 .下列说法不正确的是()（八）凡的任一领域内都有E中无穷多个点，则a是E的聚点(B)尾的任一领域内至少有一个E中异于冷的点,则乙是E的聚点(C)存在E中点列匕,使”,%,则月是E的聚点(D)内点必是聚点3 .下列断言()是正确的。（八）任意个开集的交是开集：(B)任意个闭集的交是闭集：(C)任意个闭集的并是闭集；(D)以上都不对；4 .卜.列断言中()是错误的。<A)零测集是可测集：(B)可数个零测集的并是冬测集：(C)任意个零测集的并是零测集：(D)零测集的任意子集是可测集：5.若/(X)是可测函数，则下列断言()是正确五.证明JS（6分x3+8x2=34分）1 .（6分）1、设f（X）是（7O.+8）上的实值连续函数,则对任意常数c,E=（-v（.v）c是一开集.2 .（6分）设£0日开集GnE使"G-£）£,则E是可测集。2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。3、。£收敛的函数列必依测度收敛.1、连续函数一定是有界变差函数。四.解答题18分X2=16分)雷然：,则GM上是否人可积，是否1.-可积，若可积，求出积分值。2、求极限1.f,fix.1.Inn-sinztrav.J(q+V5.(8分)设f(x)在E=0以上可枳，则对任何£>0,必存在E上的连续函数vXv),使，I/(x)-dr)I山y£.3. <6分)在,力上的任一有界变差函数/(x)都可以表示为两个增函数之差.4. (8分)设函数列人(X)5=1,2,.)在有界集E上“基本上一致收敛于.r)，证明：Z1.(X)e.收敛于/()。“"(JE)=O因此，Ug是零测度集。5分r-1./-I3.错误。例如：取E=(O,+>),作函数列:IyOH“=0.vg(j.+)显然Zi(X)->I.当xg£。但当0<。<时,I-1.=(11,4)且?(",+<»)=+«>这说明£(.6不测度收敛到1.5分4.错误2分例如：/(X)=XCC啥,0<E,显然是的0w.v=0.连续函数。如果对0,1取分划7:0<上<一!r<<J<1.<1,则容易证22"Im1.32明次U(M-/(5)I=力!，从而得到Js=85分Z-II-I10四、I./(x)在0上不是/?一可枳的，因为/(x)仅在X=I处连续，即不连续点为正测度集3分因为/(K)是有界可测函数，所以/(X)在0.1上是1.-可积（答案及评分标准）X1.C2,C3,B4,C5.A二、1,(0.2)2,c；0；03,<4,设/(x)是E上有限的可测函数.则对任意6>0,存在闭子桀与uE,使得/(.6在Ea上是连续函数，且m(EEv)<3。5.对任意e>03S>0,使对,/中互不相交的任意有限个开区间(*),i=1.,2只要名(.-)<5,就有SIFS)-Rq)IVeI-I三、1.错误记(OJ)中有理数全体奴0>=CJ(I)=A'以G=%"=1.2一力=JGX为(OJ冲无理数,显然0是0,1到(0,1)上的I-I映射。5分2.正确设E,为零测度集，0S(jE,)sf加E=O,所以,r-1.m(G11-E)<-I分令G=CG“，则G是可测集3分o=1.又因W(G-E)W(G,-£)<1对一切正整数”成立，因而nW(G-E)=O,即M=G-E是一零测度集，所以也可测.5分由E=G-(G-E)知，E可测。6分3、易知g(x)=*()是力上的增函数2分令(.v)=g(x)-/(x),则对于阳<x2b有(x1)-(