1.2空间向量基本定理5题型分类（讲+练）（原卷版）.docx

VS1.xHKtS<RM0r1.2空间向量基本定理5题型分类«15>NM空西W*W京昆育、夷角SRt1.*W5三«f2：利用底霰孝生网肉包*94«13：刎用型网用量成冬定理木彩先酒定库一、空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共而，邨么对任：一个空间向量p,存在*一的有年实数1.(x,y,z),使得p=xa+f>*zc.我们杷%,c叫做空冏的一个息底，f1.b,C都叫做息向量.二、空网向量的正交分解1 .单位正文基底如果空间的一个基底中的三个县向量两两至在，且长度都是I,师么这个县底叫做单位正殳基底.常用H.J,A)表示.如果三个向量.b.c不共面，坏么对任你一个空间向量存4唯一的有序实效姐(x.%)使得p=.w+2我们把,b,c叫做空间的一个基底，.,C都叫做向量.2 .向芝的正殳分解由空间向量基本定理可知.对空网任一向量a均可以分解为三个向量此0.球使得4=W+.炉T1.像这样把一个空间向骨分解为三个两两至五的向量,叫做把空同向骨进忏正义分解.三、空间向量北本定理的应用I.求异而直投的失角：cos<a,b>=I>1.f,2,证明共线(平行)、共而、垂直同匙：(1)对于空间任两个向量a、b(bO),aHb的充要条件是存在实效兀tta=zh.2)加果两个向a.b不共找.那么向量P与向量a.b具面的充要条件是存在唯一的有年实效对(x.>).使P=Xa+yb.(3)若a、b是非零向量，i'a1b<»ah=0.3,求距禹(长度)问机aI=a7a(4=yABAB).彩空间向基底的判断U)空间任意三个不共面的向业都可构成空间的个基底,班底选定后，空间的所有向法均可由范底唯去示：不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同：(2)一个基底是一个向量级，一个基向埴是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念：(3)田于零向量与任亚一个非零向St共线.与任意两个不共线的非零向St共面.所以若三个向量不共面,就说明它们相不是零向量.(4)基底的选择一般有两个条件：(1)基底必须是不共面的非零向量；(2)在进行基底选择时要尽量选择1.1.知夹角和长度的向W，这样会让后续计算比较方便.M1：空间向量基底的科斯1-1.(2024高三全国对口而考己知。力、可为空间的一个狭岐，则下列各选项能构成基底的是()A.a.a-2b.a+bB.a+b.a-bcC.2a+2b.a+A2cO,o+c6+d+%+2d1-2.(2024高二下江西南吕期中)卜.从寸为空间的一组基底，则卜列各项中能构成基底的TI向量是>A.1»G-bB.h+G-bC.ca+b、/>0.422>，a+ba-b1-3.2024裔一下湖南,期末给出下列命题:若0,Z>,c可以作为空间的-祖基，dc共线，a0,则。，氏力也可作为窗间的一组明：已知向量J9,则，J与任何向量都不能构成空间的一组基:AB.M,N是空间四点,若B,BM.BN不能构成空间的一组基，那么AB.M.N共面：已知"Ar是空间的一组基.若="+乙则也，“也是空间的一组基.其中真命题的个数是().A.1B.2C.3D.414,（2024高一下湖南期末）已知。氏力是空间的一个基底.若p"b=<+c,则下列与P4构成一组空间基底的是（）A.r2b-3cB,fa->÷2ciC.r=+2>-D.r2a+b+C彩售题淞相利用基度表示空间向:Ix用法底去示向IK时，着艇底确定，要利用向格加法、减法的三角形法和平行四边形法则，以及向价数乘的运算律进行化简：若没给基底,首先要选出基底再求解.2.用基底表示向量的步骤：（I）定票底：由已知条件，确定三个不共面的向盘构成空间的一个班底.（2）寻目标：由确定的基底表示目标向麻.潴要根据.角形法则及平行四边形法则，结合相等向屈的代换、向立的运算进行变形化简.（3）下结论：利用空间的一个基底S.b.c可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有.b.c,不能含有其他形式的向量.««2：利用鼻底衰示空间的量2-1.（2024:下江苏械州期中）如图，在平行六面体ABa）-A8£。中，P是CA的中点，点Q在CA上,且CQ：QA=4:1,设a8=“，Db-A41.=3,则（）.-1_1.O.QP=ci+b+c1010102-2.（2024i二下江苏盐城期中）在四面体O-AeC中,PA-2P。是SC的中点,且M为PQ的中点,，OA=aOB=bOC=c则Of=（）2D.1-C423.(2024高二上浙江丽水期末)在平行六面体V8-A4GA中，AC,8。相交于0M为OC的中点，设八8=，AD=bAA=C,则CM=<A.-11+-fe-c44224(2024高二上福建泉州期末)己知四面体。一八HC,3是NHC的Hi心，G是OGf上，点,且OG=3GG/.若OG=AoA+vOB+2C,则（My,外为（）444J1.H）B.0.4,4,471.1113、3司（三）空间向置基本定理在几何中的应用用空间向盘基本定珅斛决几何问题时需注意(I)若证明线线平行，只需证明两向吊共线.(2)若证明线战垂口，只需证明两向僦的数积为0.(3)若求#面H我所成的角，则转化为求两向此的夹角.(4)若求两点间的距离，则转化为求向量的模.*熨3：利用空间的本JtJK求泰效3工(2024高二卜云南阶段练习如图，在正方体ABCD-A禺GR中,E.尸分别为ARDp的中点,若EF=XDA+yDC+DDi,则x+W=.3-2.（2024尚:下江苏常州期中己知矩形ABeAP为平面A&7）外点，片口平面八成7）,点M,N满足PM=；PC,PN=-PD.11MN=xAB+yADZAP,则x+）'+z=（）23A.-B.-C.-D.12 263-3.（2024高三上安徽宣城,期末四极锥P-ABeT）中，底面ABeD是平行四边形，点E为梭尸C1的中点,若AE=XA8+）AO+AP,则X+y+2等于3 5A.-B.1C.-D.22234（2024,陕西一模）空间四边形ABcC中，八C与8。是四边形的两条对角线,M.N分别为线段八8.。上的两点，旦满足AM=W八BDN=-DC.若点G在线段MNjt,且满足MG=外可，若向从人匕满34足AG=xAB+yAC+2AD.则x+v+s=.MS4：利用空间向量率本定现证明位J1.关系4-1.（2024高二江苏课后作业已知空间四边形。WC中，ZOHZBOCZAOC,且（M=OS=OC.W.N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点，求证：OGSBC.4-2.（2024高二江苏课后作业）如图，在平行六面体ABaX4,8CD中，八B=AD=A=1.,A1AB=ZA1AD=,RAD=6Q',求证；II线4C3平面B/）彷胡.4-3.(湖南省长沙市四校联考20232024学年高二上学期9月阶段考试数学试题)如图所示，三棱柱BC-,B,C1.CdCBh.CC1=c.CA=CB=CC1=I.(d.fc)=(d.r)=-y.=N是A8中点.用0,6,c我示向JfiiAN:在线段C圈上是否存在点M.使A"1.A'?若存在，求出M的位置.若不存在，说明理由.44(2024高二上全国专即练习已知四面体中三组相对校的中点间的距离掷相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直.己知：如图，四面体ABCO,E,F,G,H,K,Af分别为板A®BC,CD,D,BD,Ae的中点，且|用=|卜|照必求证AB1.CD,C1.BID1.BC.<«5：利用型间向量鼻本走取率把白、夹角51.(2024高二上天滓髀海阶段练习如图所示，已知空间四边形A8CD的条边和对角线长都等于1.I点RF.G分别是A8.AD,CC的中点.设八8：“，CbD-<求证EGiABi求异面H践AG和CE所成角的余弦位.5-2.(2024岛二上上海期中如图,三枝柱A8C-AG中，M,S分别是用周二上的点,口IM=2AyM.C1.N=2fN.设A8=&,AC=b>AAi=C.(1)试用我示向fitMN:(2)ZfiAC=9Z4A,=ZCA,=6(J.AB=AC=A,=1.求MN的长.5-3.(2024高二上浙江杭卅期末如图.平行六面体ABCD-At冰汨中,CB1.BD.ZC1CD=45o,ZCC1.=60°.CC1-CB-B1.)-.求对角践CA的长度：求弁面出线CA1.jD4所成角的余弦值.回阪习与是升一、单选,1.(2024高二下安徵开学考试)已知四ftt¢)-WC.G½VAfiC的重心,P是线段OG上的点,且OP=2巾.若CP=XcA+yOB+IOC.则(x,y,z)为()2. (2024高二上JX宁期末己知“».<是空间的一个基底,则可以与向玳ZMd+2,"=构成空间另一个基底的向量是()A.2a2b-CB0÷4fr÷cC.h-cD.d-2b-2r3. (2024高二上山东荷泽阶段练习对于空间任感一点。和不共战的三点A8C有如下关系：OP=-O+-OB-OC.贝I()632."A8C四点必共面C. QP.BC四点必共面B.AABC四点必共面D. OA8,C五点必共面4. 12024高二上全国.课后作业）已知8ABU84为三条不共面的境段，若AG=XA8+2yBC+3zGC,加么x+y+z=（）A.1B.2C.工D.H6665. （2024ft二上广东揭阳,阶段缥习）如图，M是四面体CMBC的梭8。的中点,点N在线段QA，上，点，在规段AN上，旦MV=J。"，AP=-AN,用向fQAOB，OC我示。P，则OP=（）24A.-OA+-OB+-OC444C.O-OBOC.-OA-OB-OC444D.-OA+-OBOC4446. （2024高.：全国课后作业）已知直观AB,BC,/珥不共面，若四边形88Ce的对角线互相平分，且AC1=AB+2）BC+32CCi,则K+）'+Z的伯为（）A.1B.IC.ID.H6367 .（2024福建福州三模）在三棱锥。川8（?中，点。为AABC的空心,点、D,£,户分别为恻梭"A.PB,PC的中点，若“=AFh=CE-¢=8/）,则。P（）8 .（2024高二,全国课后作业）已知”，人；,是不共面的三个向瓜，则能构成空间的一个基底的一组向JItA.34a-ba+2hBIbb-2ah+2uCa，2hbcDc9acc-c9 .（2024高：下河两开封期末）柠4.构成空间的一个基底.则下列向量可以构成空间基底的是（）A.a+b.a-b,aB.a+ba-b