二次函数与一元二次方程【六大题型】（人教版）（教师版）.docx

专题22.4二次函数与一元二次方程【六大题型】AWSft1.【典型1抛物雄与N轴的交点情况】1【即型2附物线与X轴交点上的四点问题】3【题型3由次函数解元:次方程】6即型4由二次函数的图般求一元二次方程的近似解】9【帔型5由二次函数的图象解不等式】I1.四型6由二次函数与一次函数交点个数求范围】13【知次点I二次函数图象与X轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】根的判别式二次函数的图象二次函数与X轮的交点坐标元;次方程根的情况>0a>0效物线y=ax2+bx+c(a0),jX轴交于U1.0).(j,0)(x1.<.0)两点，且生鱼二，Ia此时称她物戌与X轴相交一元二次方程ax2+bx+c=0(t0)有两个不相等的实数根-b±yb2-4ac心BS12aa<0fAt=0a>0*她物找y=<a*+bx+c(aWo)与X轴交切于(-/.o)这一点，此时称效物线与X轮相切一元二次方程ax'+Zu+c=0(0)有两个相等的实数根b二一五a<0皆<oa>0拗物线y=<a'+加r+&)与X轴无交点,此时称抛物线与X轴相离一元二次方程r2+Zu+c=O(O)在实数范附内无解(或称无实效根)(f1.三抛物战与、轴的交点情况】【例I】(2022春西湖区校欲期末>抛物线y=<x-x)(X-X2)+，”必”与X轴只有一个交点(x.0).下列式子中正确的是(>A.Xi-X2=mB.X2-Xi=ntC.m(X1.-X2)=nD.nt<x+x)-n【分析】由抛物线与*轴只有一个交点(1.0)可得抛物般顶点式.从而Ur得X“&与，”的关系.【解答】解：.抛物线经过(Xi.0).且抛物战与X轴只有一个交点，拊物线顶点坐标为(.v.0),y=(X-Xt)2.".X1-2xx÷x,=<x-Xi)(X-X2)+n.r+rt=x2-(x+xj-n>)x+xg+”.*.x+X2-n>=2x.即Xj-x=m,故选：B.【变武1-1<2022春渔县校级月考她物线y=-+Zv-3与坐标轴的交点个数有()A.0个B,1个C.2个D.3个【分析】由步-4<rt的大小可判断拊物线与轴交点个数，由c的大小可判断抛物饯与y轴的交点，退而求解.【解答】帽.y=f+2r-3,1.b=2.C=-3>.,.2r-4rtt=22+12=16>0.二帼物段与X轴有2个交点.Vc=-3,，拊物就与)轴交点为0.-3),，附物线与坐标他行3个交点，故选：D.【变式1-2(2022广阳区一模)已知抛物线y=-笈2+辰+c与X轴只有一个交点,且过点451.2.”).B(«r+4.n),则"的值为()A.-9B.-16C.-18D.-27【分析】根据点A、8的坐标易求该抛物线的对称粒是IIaU=，n+I.故设抛物线解析式为y=-3*-，"-I>2.直接将A(«-2,“)代入,通过解方程来求”的值.【解答】裤：；弛物税y=-t2+bx+c过点A(刖-2,)、R(w+4,n)f二对称轴是直线x=m+1.又V附物线y=xhv+c与X轴只有一个交点.顶点为(«r+1.0).设抛物线解析大为,V=-3(x-M-D%把A(m-2.)代入，得：“=-3(m-2-in-1>2=-27.即”="27.故选：D.【变式1-3(2022春汉滨区期中)已知抛物线y=F+E+c与X轴的两个交点之间的距离为6,对称轴为x=3,则他物线的顶点。关于X轴对称的点产的坐标是<>A.(3.9)B.<3.-9)C.(-3.9)D.(-3.-9)分析根据帔物段y-r+bx+c与X轴机外交点M的跑离为6.对称粕为衽线x=3,可以得到b、C的值，然后即UI得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点。的坐标,然后根据关于X轴时称的点的特点横坐标不受，纵坐标互为相反数,即可得到点夕关于K轴的对称戊的坐标.【解答】解：设抛物线y=V+",与K轴两个交点坐标为(x1.0),5,0).Y1物跳y=+fer+e与X轴两个交点间的矩离为6,对称轴为直线x=3,：<x-XI)2=(x*j>2-4xX1=36.-=3,*1：.<->)2-4×c=36.b=-6.解得：c=0.，衲物线的解析式为y=x2-6x=(x-3)2-9.；.顶点P的坐标为(3,-9),二点?关于X辕的对称点的坐标是<3,9>,故选：A.IKS2物线与'轴交点上的四点问题】【例2】(2022武汉模拟)二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问应有时可以转化为二次函数问跑.请你根据这句话所提供的网患方法解决如下问题：若s./(s<,)是关于X的方程1.+<x-m)(xn)=0的两根，.nt<n>则，”.小s.f的大小关系是()A.s<m<n<B.m<s<n<C.m<s<<nD.s<m<t<n【分析】由y=<-11)(,r-r>可得抛物戏与X轴交点坐标为("，0),(/,0>,开口向上，则地物线),=(-m)(x-n)与直线y=-I的交点坐标为<.-i>»(，-I).从而可得tn.n.s,t的大小关系.【解答】解：由1+(X-，")(X-H)=O可得(x-而(.v-n>=-1.Ihy=<x-wj)(x-h)可褥施物线),=(-n)<x-n)与X轴交点坐标为<»«.0).(”，0).抛物线开IJ向匕则帕物段y=(x-m)(x")与出我尸7的交点在X轴下方，坐标为(s,-1).5-I).,.m<s<t<n.故选：C.【变式2-1<2022定远县模拟)二次函数y=rt+E+c(0关0)的部分图象如图所示，图飘过点(-I.Q)，对林轴为直线x=2,方程(x+1.)(x-5)=-3的两极为乃和X2,1.1.xt<x2,则下列结论正确的是()A.Xi<-I<5<2B.x<-1<x2<5C.-1.<x1<5<.D.-IVx1.VMV5【分析】方程(*+”(X7)=-3的两极即为衲物线y=“(x+1.)<x-5)与直统,T=-3交点的横坐标.据此可判断选项.【解答】解：令y=(x+1.)<x-5).则抛物线产“Cr+1.)(x-5)与产+阮+<形状相同、开口方向相同,且与*轴的交点为(7.0)、<5.0).函数图象如图所示，由函数图«1可知方程“rd(x-5>=-3的两极即为她物税.v=(.r+1.)(x-5)与直境=-3交点的横坐标.x<-I<5<j11.故选：A.变式2-2(2022张店区期末)已知二次函数,v=(X-I)2-r(，是常数，B.,0>,方程(-1尸-P-I=O的两根分别为"(rn<n).方程Cr-I)？_p_3=O的两根分别为p.q(.p<q),判断，”.n,p.q的大小关系是<A.p<q<m<nB.p<m<n<qC.m<p<q<nD.m<n<p<q【分析】在平面直地坐标系中亘出二次的数y=（x-1.>2r2C是常数，RfO）的图象,再作出直喊,y=1.y=3,它们与它物与交于A,8和C,D,分别过交点作X轴的垂燃则垂足对应的数值为题干中方程的根,利用数形结合的方法即可得出站论.【解答】解：在平面直知坐标系中理出二次函数>=（X-”2-Fa是常数，且，o）的图象如下图:X=I作出线y=1.与她物线y=<-I）2-r（，是常效,且，Wo）交于A.B.分别经过A,。作.r轴的垂线,垂足对应的数值分别为，小小是力理<x-I）2-r-I=O的两根：作总规=3与拗物线y=<x-I）i-j（/是常数，且/W0）交于C.D,分别经过AC,“作X轴的垂线.垂足对应的数值分别为小q，：.p，g是方程（X-I）2_人3=。的两根.Ih图象可如/«.n.p,g的大小关系是：p<m<n<q.故选：B.【变式2-3】2022河东区期末）已如效初线y=f+加+。的图象与工轴的两交点的横坐标分别,（<>,而F+ftv<-2=0的两根为M、N（W<V>,W1.as,M、"的大小顺序为（）A.aV。VMVNB.W<a<<C.a<M<<,D.W<a<N<【分析】依SS也i出函数y=<x-a>（x-1.>和y=2的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解.【解答】解：依题意.施出的F=<x-a）（x->的图象.如图所示.*2函数图象为抛物线，开口向上,与X轴两个交点的横坐标分别为.（a<>.方程x2+bx+c-2=0的两根是拊物线>=（-a）（X-）与真雄>=2的两个交点.由MVM可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为M由图象可知,M<a<B<N,故选：B.【题型3由二次函数解一元二次方程】【例3】（2022登底一模）已知二次函数y=aF+阮+c的图象经过（7,0）与（3,0）两点，关于K的方程ar2+bx+c+,n=0（m>0）有两个根，其中一个根是S.则关于X'的方程arj+6+c+"=0（O<n<11）有两个整数根，这两个整数根是（）A.-2或4B.-2或OC.OijJ1.4D.-2或5【分析】根据二次函数y=a+M<的图望经过（-1.0）与<3,0>两点未对称轴，后面两个方程二次项、一次项系数没变.所以两根的和也不变还是2.【解答】解；二次函数y=G+hr+，的图象经过（3.0）与（-1.0）两点.：.当）=0时，O=a+fcx+c的两个根为3和-1.函数y=ar+fev+c的对称轴是自找X=1.又关于K的方程a1.+加+e+w=0（n>0）有两个根，其中一个根是5.二方程加+6+e+”,=0（m>0）的为一个根为-3,函数y=ad+版M的图象开口向下，如图.-m>-.关干X的方程a2+w+c+"=0<O<n<n）有两个拓数根.,虫段V="与y=ajr+bx+c的交点的根坐标为-2.4.'这关于X的方程r.v+c+"=O<O<n<n）有两个整数根,是-2或4.故选：A.【变式£1】（2022湘南区模拟）已知.次函数y=-2x+c（。关Q）的图象与X轴的一个交点为<-I,0）,则关于X的一元二次方程r-2ar+c=0的根是XI=-1.*?=3.【分析】利用二次函数y=ar-2ar+t的解析式求存他物纹的顶点坐标,利用抛物线的对称性求得附物线与X轴的另一个交点，再利用抛物线与轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系得出结论.【解答】解：F=aE-2av+c.拊物观的时称轴为出货A=-不=1.2a：二次函数y=af-2ax+c<a0>的图象与X釉的一个交点为（-1.0）.该瓶物线与K轴的另一个交点为（3.0）.二关于X的一元：次方程ar2-2t+c=O的根是：M=-I,刈=3.故答案为：x=-1.vj=3【变式3-2】2022成宇一模）已知二次函数y=ar2+u±（、'c为常数,且aH0）的F与X的部分对应值如下表:X-5-4-202y60-6-46则关于X的一元二次方程w2+v+c=O的根是XI=-4,.口=1.【分析】由购物线羟过点