二次函数图像和性质总结（附答案）.docx

二次函数的图像与性质一、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：.y-的性质:。的符号开11方向顶点坐标对称轴性质«>0向上().0),轴x>0M,）侬X的增大而增尢XVO时，）例X的增大而域小；x=（）Hf,y有最小伯0.«<0向下(00)轴x>0时，）,郎*的增大而减小：人<0时，jy1.¾X的增大而增大：X=O时，yWJffiO.a的绝对值越大，抛物战的开口越，'。2. .V=+c的性即上加下减.”的符号开口方向顶点坐标对称轴性质«>0向上(0,C)y轴*>0时，随月的增大而增大：x<0时，F随工的增大而减小，*=0时y有最小值c.11<0向下（。，C）y轴x>OR.yfi1.ix的增大而减小：x<0时.y随X的增大而增大：X=O时，y有最大值c.3. y=(x-)"fttt,:左加右a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上（力，0）X=hx>时,y1.½x的增大而增大：x<A时,y«1X的增大而减小：x=t时，y有最小<ft<0向下即0)X=hx>时，y1.¾X的增大而减小：XV力时，y的*的增大而埴大：K=力时，y有班大值04.y“（X-力+«的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质>0向上(*)X=hx>时,y1.x的增大而增大：XVA时，y«1X的增大而减小：x=t时，y有最小伯h<0向下(*)X=hx>时，yW1.X的增大而减小：XV1时，y的、的增大而埴大：K=力时，y有破大伯h二、二次函数图象的平移1 .平移步骤:方法一：（1）将抛物线解析式转化成顶点式y（-G）'+J1.,确定其顶点坐标伊，外；保持抛物城y的形状不变，将其顶点平移到（八上）处，具体平移方法如下：2 .平移规律在原有函数的根基上“力色正右移，负左移：位正上移.负下移".概括成八个字“左加右减,上加下诚.方法二；），=+u+c沿,轴平移:向上（下）平移，”个单位，.v=+以+<：变成y=ax2+bx+c+m（或y=ax'+hx+c-n），=«+方*+。沿轴平移：向左（右）平移切个单位，），=a./+方x+c变成y=（+i）2+Z>（x+m）+c（¾y=a（x-tn）2+1.>x-m）+c）三、二次函数y“（X）'+Jt与+fer+<的比照从解析式上看，y=”（x-+A与尸标+限+（是两种不同的表达形式，后者通过圮方可以得到前者,即J,=。1+：+与也.其中/,=-2,Jt=Wit.四、二次函数y=+fev+c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次的IftFri+二+<化为顶点式>"（x-Q,+,确定其开口方向、对称轴及原点坐标，然后在对称轴两侧,左右对称地描点域图.一般我们选取的五点为：原点、与y轴的交点（0,<）、以及（0,C）关于对称轴对称的点（24,e）.马、轴的交点（3，0）,（再，0）（假设与X轴没有交点，则取两组关于对称相对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与X轴的交点，与）轴的交点.五、二次函数ya+bx+C的性质1 .当a>0时，物物战开口向上，对称轴为x=-2,顶点坐标为处±'.2aI2a4a）当<-1.时，、,随X的增大而减小；当x>-且时，）班X的增大而增大；x-2a'2a2a时，）,有最小伯丝二汇.4a2 .当a<O时，岫物线开门向下，对称轴为=-3,顶点坐标为当亘.当2ak2*,4a）x<-=时，）1.x的增大而增大：当x>-乡时,>1.x的增大而减小：当X=-当时，）2（i1.aIa有豉大值噬1.六、二次函数解析式的表示方法1 .一般式：yIax2+Zu,+c（a,h.C为常数.o0）:2 .顶点式：>=（-f+A（«.It,为常'数，0）；3 .两盘式：尸mxf）（x-x2）（w0.X1,七是拊物线与X轴两交点的横坐标）.注意：任何:次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的：次函数都可以写成交点式只有枪物线与X轴行交点,即'-4“'七0时,抛物线的解析式才可以用交点式衣示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1 .二次项系数Q二次函数y=+W+<中，。作为：次项系数，显然“HO.当a>0时，抛物线开口向上，。的伯越大，开11越小，反之”的值越小，开11越大：当“<0时，拗物战开口向下，。的伯越小，开越小，反之。的值越大，开口越大.总结起来，"决定了拊物线开口的大小和方向，”的正负决定开口方向，同的大小决定开口的大小.2 .一次项系数占在二次项系数”确定的前提K.b决定了抛物线的对林釉.（I）在>0的前提下.当人>0时，-A<o,即拗物线的对称轴在y轴左侧：2a当=O时,当b<0时，2a在v的前提K当人>0时，-2a=O,即抛物线的对称轴就是.v轴：>0,即拗物线对称轴在y轴的彳制.结论刚好与上述相反，即>0.即抛物处的对称轴在y轴右叫=0,即抛物线的对称轴就是y轴：当>v时，-上<0,即妫物税对称轴在F轴的左侧.2a总结起来，在“确定的前提下，b决定了她物戏对称轴的位汉.ab的符号的判定：时称轴X=-2在V轴左边则ah>Q,在y轴的右例则ab<O,2a'概括的说就是“左向右异"总结：3.常数项C当c>0时,抛物线与y轴的交点在X轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正：当C=O时,她物税与）,轴的交点为坐标原点，即他物线与.丫轴交点的纵坐标为（）：当<<0时，拗物线与）,轴的交点在X轴下方，即拗物战与）轴交点的纵坐标为负.总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之.只要4.，都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式确实定：根据条件确定：次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如卜几种情况：1 .枪物线上:点的坐标,一般选用一般式：2 .他物纹顶点或对称轴或城大(小)依，般选用顶点式：3,楸物戏与X粕的两个交点的横坐标，一股选用两根式；4 .他物线上纵坐标一样的两点,常选用顶点式.八、二次函数图象的对称,次函数图象的对称-般有五种情况，可以用履式或顶点式表达1 .关于X轴对林yad+Zuc关于工轴对称后，得到的解析式是1二-'-hxc；y=a(x-h)1+k关于X轴对称后，得到的解析式是y=-(-力广-«：2 .关于)，轴对称y=r'+Z>+c关于y轴对称后，得熨I的科析式是y=ax'-bx+cty=a(.x-h)2+k关于，相对称后，得到的解析式是y="+h3 .关于原点对称y=v2+to+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-r+x-c三y='(x-)'+无关于原点对称后，得到的耨析式是y，-(+r)':4 .关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)产加+W+c关于顶点时称后，得到的解析式是v=-a1-bx+c-:2ay="(x-切?+£关于顶点对称后，褥到的解析式毡y=-a(x-4+A.5 .关于点(丁,“)对称y=(x-)2+*关于点(，”,")对称后，得到的解析式是y=-(x+A-2“f+2”-&根据对称的性时显然无论作何种时称变换，微物践的形状一定不会发生变化，因此同永远不变.求她物观的对称他物线的衣达式时，可以依据即意或方便运算的原则,选择适宜的形式，习惯上是先确定酰她物战(或表达式的拗物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称微物战的顶点坐标及开口方向，然后再有出其时林抛物线的表达式.二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图北的法【例1】求作函数),=:2+4+6的图象【解】y=-J-i+4x+6=-Cr+8+12)'22以x=-4为中间值,取X的.些值.列支如下:X-7-6-5-4-3-2-1y5202-2205【例2】求作函数y=-4x+3的图象.【解】y=-x2-4+3=-(,r+4,v-3)先国出图角在对林轴A=-2的右边局部，列表X-2-101:：y76543【点评】百:次函数图象步骤:配方：列表；(3)描点成图；也可利用图象的对称性，先亘出函数的左(右)边局部图象，再利用对称性描出右(左)局部一可.二、一元二次函数性朋例3求函数y=/+6x+9的最小值及图象的对称轴和顶点坐标,并求它的单调区间.【解】y=.V2+61r+2=+6.v+9-7=(A+3)2-7由配方结果可知：顶点坐标为(-3-7).对称轴为X=-3：1>0二当*=-3时,y“皿=-7函数在区间(-8,-3J上是减演数.在区间-3+8)上是增函数.【例4】求函数)，=-5/+3x+1图象的顶点坐标、对称轴、._b_334qc_4Q5)>32_29*-2-2×(-5)U),4a4×(-5)30429z)o函数图四的顶点坐标为(亍,生).对称轴为X=M102020V-5<0：.当*=奈时,函数取得呆大值ynt=函数在区间(->,±上是增区数.在区间-3,+8)上是减函数，【点评】要研咒二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时.方法有两个:(1)配方法：如例3(2)公式法:适用于不容易配方跑目(二次项系数为负数或分数)如例4,可防止出M1.任何一个函数祐可配方成如下形式：y=a(x+)2+%£”.(“0)2a4a【二次函数题型总结】1 .关于二次函数的概念例1如果函数)，=(，"-3)-MA+tr+1.是二次函数，那么m的俗为.例2枪物线.V=X?+2x-4的开口方向是：时称轴足：顶点为。2 .关于二次函数的性质及图象TVk例3函数，=Q2+九+仪“工0)的图您如以以下列图，4Wa.b»c,(+b+c,“一方+c的符号,/10例4ab+c=O9a+3b+D,则二次函数y=ax'+bx+c的图像的顶点可能在(（八）第一或第二象限(B)第三或第四象限(C)第一或第四象限(D)第二或第三象限3 .碉定二次函数的解析式例5：函数.f=o+版+c的图象如图：那么函数解析式为()（八）y=-x1+2x+3(B)y=xi-2x-3/(C)y=-X2-2x+3(D)y=-x2-2x-3/4 .一次函数图像与二次函数图像标合考察例6一次函数y-ax+c二次函数y=a1.bx+c(aW0),它们在同一坐标系中的大致图象是().例7如图：ABC是边长为4的等边三角形，RB在X轴上，点C在第一象限，AC与Y轴交于点D,点A的坐标为(1,0)(I)求B、C、D三点的坐标：(2)弛物线y