二面角8种求法学生版.docx
二面角求法正方体是探讨立体几何概念的一个重要模型，中学立体儿何教学中，求平面及平面所成的二面角是转化为平而角来度量的，也可采纳一些特别的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角大小方法的典型几何体。笔者通过探求正方体中有关二面角，分析求二面角大小的八种方法：（I）平面角定义法：（2）三垂线定理法：（3）线面垂直法：（4）判定垂面法：（5）异面直线上两点间距离公式法；（6）平行移动法：（7）投影面积法：（8）棱锥体积法。一、平面角定义法/-7此法是依据二面角的平面角定义，干脆寻求二面角的大_q/以所求二面角极上随意一点为端点，在二面角两个平面内分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角，如图二面角Q-I-B中，在棱1上取一点0,分别在a、两个平面内作AO_1.1,B0±1.,NAOB即是所求二面角的平面角。例题1：已知正方体ABCD-ABCD中，0、0是上下底面正方形的中心，求二面角（VBe-O的大小。例题2t已知正方体ABCD-ABCD中,E、F为AD、C1.及底面ABCD所成的二面角。二、利用三垂线定理法此方法是在二面角的一个平面内过一点作另一个面的垂线，再由垂足（或仍是该点）作棱的垂线，连接该点和棱上的垂足（或连两垂足）两点线，即可得二面角的平面角。如图二面角QT-B中，在平面Q内取一点A,过A作AB，平面B,B是垂足，由B（或A）作BO（或AO）±1,连接Ao（或B0）即得AO是平面B的斜线，BO是Ao在平而B中的射影,依据三垂线定理（或逆定理）即得Ao_1.1,B0±1.,即NAOB是aT-8的平面角。例题3：已知正方体ABCD-ABCD中,求二面角B-AC-B1.的大小。例题4：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1及平面BDG所成的二面角。线面垂直法此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的匕4面角。方法是过所求二面角的棱上一点，作棱的垂面，及两个晋N线的所成角即是二面角的平面角.例题5：已知正方体ABCD-ABCD中，求二面角B-AC-D的大小。例题6：已知正方体ABCD-ABCD中，E、F分别是BBKDD1的中点，求平面BC1D及平面EC1F所成的二面角。四,判定垂面法此法依据平面垂直的定义：两个平面相交，假如所成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直，反之，若能判定两个平面垂直，则这两个平面所成的二面角是90°,无须寻作：面角的平面角。如图若已知或证得ac,a±10则二面角-1-8的大小即是90"。可见判定而面垂宜是求二面角的一种特别状况。例题7»已知正方体ABCD-ABCD中，求平面BDC1及平面ACC1A1所成的二面角。例题8：已知正方体ABCD-AECD中，Ch、0是上下底面正方形的中心，V是OO1的中点，求平面AVB及平面CVD所成的二面角。五、异面直线上两点间距离公式法此法按中学立体几何课本P45页例2证明的公式，求二面角大小，题意是已知两条异面直线a、b上分别取点E、3设AE=m,AF=n,求EFo如图公式是:EF=&，”,+，/±2"”心上（留意E、F在AA1.同侧时取“-"，EF在Ah异侧时取“+”号。）应用该公式是求异面直线上两点间的距离,若把所求二面角当作0角，即是异面宜线a、b和公垂线AA,确定的两个平面所成的二面角，用函数观念来理解公式中五个量，已知其中四个量即可求第五个量，若已知或易求知EF、d、m、n则求COS0,。即是所求二面角。例题9：已知正方体ABCD-ABe曲中，H是BC棱上一点且BH:BC=I:3,求二面角H-AArc1.的大小。例题10：已知正方体ABCD-A冏CD中,01.0是上下底面正方形的中心，E是AB棱上一点，f1.AE：EB=I:2,求二面角A1-O1O-E的大小。六、平行移动法若所求二面角的棱线隐含未知或难寻作棱时，可采纳将二面角中的一个'F面平行移动到适当位置，作得新的二面角大小及所求二面角相等，并可求得新的二面角大小。如图将所求平面11及平面所成的二面角中a平面平行移动到平面位置处,即求y及B所成的二面角即是所求二面角大小。ABCD-A1B1C1D1中，G、E、FEFG及平面ABCD所成的二面角。例JR12:已知正方体ABCD-ABCD中，0是上底面正方形的中心，EsF是AB、CD的中点,求平面AoJ）及平面EOF所成的二面角。七、投影面积法在二面角一个平面内若已知一个随意多边形的面积为S,该多边形在另一个平面内投影面积为S财，该二面角大小。可用>M=今来计第。如图所示，此结论证明本文略。中学课本P68页习题八中11题就是类似证明习题。此方法适合求二面角中易解得S、S9tHjff1.o例题13：已知正方体ABCD-ABcD中,E是BC的中点，F在AA1.上，且AF：FA=I:2,求平面BiEF及底面ABaD所成的二面角。例题14：已知正方体ABCD-ABeD中,E是CG的中点，求平面AED,及平面ABCD所成二面角。八、棱锥体积法&此方法把所求：面角看作为求棱锥的一个侧面及WAAi所成的二面角，在已知或易求棱锥底面面枳、侧面一个面面积和体积前提下，即可用锥体体积公式V=；s.»,来探求二面角大小。如图已知三棱锥V-ABC中,VO是高线,若已得底面面积是S,B=a,一个侧面/ABV面积是S”体积是V,求二面角C-ABT大小。现设所求C-AB-V平面角是如图中的NVD0,NABV面积S呼w>,SinNVDO=粽，/.VD=1.,VO=/VDO,利用极锥体积公式，0a.SinNVDO=3士，即求出了二面角C-AB-V的大小。2SS,例题15：已知正方体ABCD-ABCD中,求二面角A-A1C-D的大小。例题16：已知正方体ABCD-ABCD中，M、N是所在棱的中点，求平面MDN及底面ABCD所成二面角。
