5.4数系的扩充与复数的引入.docx

知识T加法（柒法）实3。*分别利等U*i)±(c*),(±r)*U±<i(a,6,c.dWR)复数的概念复数的运算-I黍法(小从)(C$)aa3r&/)i(.b,c.dWR)除法i(c*<O)察方fraa(<H6i)(c-<)miacM.bead"：.II.'I?d<，虚数伶位i乘方的M1.明性GreN）IJTi4o=-i5.4数系的扩充与复数的引入课标要求精细考点素养达成1 .通过方程的解,认识及数:理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个更数相等的含义2 .掌握复数代数表示式的四则运算,了解复数!川战运算的几何意义3 .通过复数的几何遨义，了解史数的三角表示，了解发数的代数衣示与三角表示之间的关系，J解女数乘除运算的三角友示及其几何意义包数的概念通过对复数概念的理解,培养学生数学抽软的核心素养发数的代数运算通过复数的几何意义,培养学生直观想象的核心索养更数的几何意义通过复数的代数运算,培养学生数学运算的核心索养，知F:赢而行）复数的几何意义TmiM儿何Je晨I_If打四边影住则；Mftr/a<0N鬲涮对应的MRT三:t8FZ-G=笈所对应的箕0IT&fI-1:，在复IFIii内对应的西点之何的盥岗一U减法的儿何敲"|-T线段的*“平分找卜TIfaI=IhNI1.-MI-g-i11r-Pk¾三2a(2>rrr)Is1rj三k1.1.a1.复致的性质wfo*°,Ik-k*夯实1.（概念辨析）关于复数z.卜列叙述正确的有（）.若zi=1.,则z=i;任何两个里数都不能比较大小;实数没有共轨里数;复数32i的实部是3,废部是2.A.1个B.2个C.3个D.4个2.（对接教材）计算皆（）.aHic-0Hi3 .（对接教材）在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的攵数分别是1.+2i,2+i,0,则第4个顶点对应的复数为（）.H2iB.1.*3iC.3iD.3i4 .（易错自纠）已知复数z=（2sin1.）+i（i为虚数单位）,则“z为纯虚数”是“=”的（）.A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件5 .（真即演练）（2023新课标I卷已知z,则ZZ=（）.A. iB.iC.0D.1考点能'二模型丽=口数的概念典例I（D（多选）（2024江苏扬州期初模拟）已知复数z=12i,则下列说法正确的是（）.丸更数Z的实部是1,虚部是2B.更数Z的模为代C.¾zz=5iD.更数z是方程2x+5=0的一个根（2）（多选）（2023湖南长郡中学调研）设z“乙是更数,则下列命题中为其命牌是（）.A.若IZ1Z,i=O1WZ1=2B.若Z,=Z2,则京1=Z：C.若IZ1.=IZj,则4吞=z：逅D.若izj=z,则Zj=Zj¾解决更数概念问世的方法及注意事项（D或数的分类及对应点的位置问题都可以转化为发数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把更数化为代数形式,列出实部和虚部湎足的方程（不等式）组即可.（2）解题时一定要先看知数是否为a+bi（a,bR）的形式，以确定实部和虚部.训练1（1）（多选）下列四个命题中正确的是（）.R.若x,yCC,则x+yi=1.+i"的充要条件是x=y=B. （a'+Di（aR是纯虚数C.若zj+z<.z=z2=OD.当m=4时，发数1.g（m:2m7）+（m;+5«+6）i是纯虚数（2）（多选）（2023江苏赣榆中学月考下列命题中，其命题有（）.A.若复数Z=三2,则ZZ,GRB.若复敷Z”ZZ满足=1.2,WZ1=ZjZ=2考点C.若复数Zi-为,则ZJHZ：|D.若发数z,.zj黄足Z,+%WR,则z,R且ZfR发数的几何效义典例2（D（2024福建第一次质量检测）已知更数Z满足（Wi）z2i=3,则z对应的点位于（）.A.第一柒限B.第二象限C.第三象限【）.第四望限（2023江苏通州中学质检）已知红数Z满足z+izi则z+1.+2iI的最小值为（）.A.1B.2C.3D.5由于宏数、点、向做之间建立了一一对应的关系,因此可把发数、向俄与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.训练2(D已知向盘应对应的匆数是54i,向累砺对应的匆数是5÷4i,则应应2对应的发数是().A.1.(K8iB.108iC.0I).1.(K8i考点(2)已知更数z满足Iz+iI+ziI=2,那么Iz3的取值范用为发数的代数运算典例3已知第数z,=(ia)z.=43i,其中a是实数.若a=iz2,求实数a的值:(2)若浮纯虚数,a是正实数,求合作¥'管)>+偿)也；发数的乘法:"数的乘法运算类似于多项式的乘法运算.及数的除法:除法的关键是分子和分母同乘以分母的共匏受数.训练3已知复数z4叱：(i)(i是虚数单位).(D求复数Z的模Iz1.;(2)若z'az+b=1.+i(a,bR),求a+b的值.拓展点%)素养能力提齐)实系数方程在复数中的运用实系数一元二次方程在攵数%C中解的情况：设一元二次方程ax;+bx+c=O(a,b,cR且aO).当A=bMac>O时，方程有两个不相等的实数根,i±、尸;(2)当-b=4ac=O时，方程有两个相等的实数柢X言；2a(3)当=b14ac<0时，方程有两个不相等的虚数根,>±、'严注意：(D实系数一元二次方程ax：+bx+c：O(aWO)在复数集中恒有斛；(2)若实系数一元二次方程ax气bx+c-O(aWO)在发数集中有虚根，则虚根成对出现(互为共能虚数)；(3)根与系数的关系依然适用，即不论的正负,恒有x1.+xAxr;(4)对于任意二次三项式都白ax：+bx+c=a(xxj(XX：)(aW0),其中x1.,x：是方程axbx+c=O的两个身数根：(5)两个虚数共轨的充要条件是两个虚数的和、积都是实数：(6)发系数一元二次方程根与系数的关系依然适用,但不能根据判别式判断好的情况J1.虑根通常也不是成对出现(非共辄).通常利用复数相等的方法来求解.典例已知方程x'+x+p=Q(pWR)的两个根是x1,X”若IX+Ix1=3,求pftiJ(ft.求解复数集上的方程的方法(D设z=x+yi(x.yWR),化归为实数方程来解决(化归思想).(2)把Z看成一个未知数(而不是实部和虚部两个未知数)，用纪数的性质来变形求解(整体思想).(3)对二次方程，江接用一元二次方程的求根公式(求解公式法).训练若1,i是关于X的实系数方程XM1.X+cH的一个更数根.则C-CSO一、单选题1.若更数(a+i)(1.ai)-2,aGR,则a=().A.2B.1C.1D.22. 在更平面内,0+3i)(3i)对应的点位于().A.第一象眼B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. (2024江苏海安期初质此检测)设ZW,则Z的共桅发数为().,3iB.3+iC.13iD.1.+3i4. (2023江苏淮安中学质检)下列命题正确的是().若更数Z满足iR,则zR;若复数Z湎足:R.则Z是纯虚数:若更数z“z：满足z,TzJ,则z=±z,;若复数z1.,Z1.满足Za=IZ1.产且z0,则Z1.I=Iz3I.A.(1.Xg)B.<gXS)C(D(三)d.(D®二、多选题5. (2023山东德州一中质检)设i为虚数单位,发数z=(a+i)(1.+2i),则下列命时正确的是().A.若z为纯虚数,则实效a的值为2B.若Z在更平面内对应的点在第三您限.则实数a的取值范用是(*,2)C.实数a=½Z与反为Z的共恢狂数)的充要条件D若z+1zI=x+5i(xeR),则实数a的值为26 .(2024江苏南通期初质量检测)任何一个复数z-a+bi(其中n.bR)都可以表示成:z=r(cos«+isinD)的形式.法国数学家榇英弗发现:zn=r(cos0+isin0)n=r,(cosn0+isinnD)(nV),我们称这个结论为株英弗定理.根据以上信息,下列说法正确的是().AK1.=IZrB.当r=1.,Oq时，z'=1.C.当r=1.,时记苧iD.当E,。4且n为偶数时，史数/为纯虚数三、填空题7 .(2023广东梅州检测写出一个同时满足下列条件的笈数:Z=.IzI=5;发数z在复平面内对应的点在第四象限.8 .如果复数Z满足z+i1.+zi1.=2,那么z+4+2i的最大值是.四、解答题9 .已知复数ZEi,z=4+6i,i为虚数单位.求去(2)若复数z=1+bi(beR)满足z+z1为实数.求IzI.10 .已知复数z=a+i,Zi=Iai(aR,i是虚数单位).(D若z4在更平面内对应的点落在第一象限,求实数a的取值范用:(2)若Z1是实系数一元二次方程xi2x20的根.求实数a的值.11 .欧拉公式e"=cosx+isinx由瑞士著名数学家欧拉创立,该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论里面占有非常审要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式,下列选项不正确的是().A.发救小对应的点位于第二象限B.e不为纯虚数C.复数;募的模长等于BD.6的共翅复数为Ii12.(多选)意大利数学家卡尔达诺发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤：第一步,把方程x3*a.x2+a1x>¾-0中的X用X去来替换，得到方程x"px+qR;第二步，利用公式,+y,+za3xyz=(x+y+z)(x+y+1z)(x+*y+z)x,+px+q因式分解：第三步,求得y,z的一组值,得到方程"pyF的三个根:yz.3y323、3z(其中3二竽,i为虚数单位)；第四步.写出方程x,+a.x1+a,x+a,=O的根:x：哼yz.=yz.x,-z.某同学利用上述方法解方程8x'1242x÷55=0,得到y的一个值为1.+i,则下列说法正确的是().A,电弓B.yz=2C,x.=+T3D,x1.=13