7.6二面角与面面垂直答案.docx

7.6二面角与面面垂直读标要求精细考点素养达成1.理解二面角的概念:和面面垂直的定义2 .以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解平面与平面垂直的判定定理和性质定理3 .能运用平面与平面垂直的判定定理、性质定理和已经获得的培论证明一些空间图形中的垂直关系的陆单命题求二面角通过求二面角,培养学生的遗箱推理.直混想象、数学运算素养平面与平面垂直的判定与性质通过平面与平面垂直的判定与性质的应用,焙养学生的逻辑推理.直观想象索养平行、垂直关系的综合运用通过平行与垂直关系的综合应用,培界学生的遗楼推理、直观理®素界构植电厂定义T般地.如两个中制所成的.胤角是H4«角.惠久我总这何个平画互和««图形面面垂直ntf性质定理两个平面T1.如果介平面内有-条鱼线率Kr这科个平面的俎.C么这条“城个¥面唯在a1.a111.ABdaAB1.I一/卬夯实墓碉1.（2024江苏期初调研）设m.n.1.是三条不同的S姣.u.B,丫是三个不重合的平面,有下列命就中.真命题为（）.A.若m_1.n.nJJ,则mi1.B.若QJ.3,BJ.Y,则U±yC.n±0,nn,n/!_1.BD,若nu,n/,则na答案C解析对于A,若“一n,n1.I,则m1或m,1.相交或叫1畀面,A错误;对于B,若aJ1.,J1.,RJa丫或"，丫相交,B箱误；对于（.若r±ajn.M11±a,又nB,则Q_1.B.C正鹤；对于1）,若nn,m/Q1.MnUa或n/a,D错误.2 .（对接教材）如图,已知AB一平面HCD1BC1CD,则图中互相垂直的平面有对.答案3解析因为AB，平面BCD.ABU平面ABD.ABU平面ABC,所以平面ABDd.平面BCD.平面ABCJ_平面BCD.又ABMD,BCJ_CI）.ABnMB,AB,BCU平ISABC,所以CD1.平面ABC.又CDU平面ACD.所以平面ACDJ.平SiABC.3 .（对报教材）如图,在正方体ABa）A，B,CD,中：（1）二面角D'AB1.）的大小为.（2）二面角A'ABD的大小为.解析在正方体ABCDA'B'CD'中,AB1平面ADD'A',所以AB1AD,AB1AD.因it1.TD为二面角D'ABD的平面角.在Rt（）'AD中.ND'AD45,所以二面角IrABD的大小为，15°.（2）同理NA'AD为二面角A'RBU的平面角,因为NA'AD90"，所以二面角A'ABD的大小为90'4 .（易诺自纠X多送）如图,已知六楼世PABCDEI：的底面是正六边形下A_1.平面ABCFA=2ABJW结论正造的是（）.A.I,B±ADB.平面PAB平面1.,ICBC平面PAED.直段PD与平SiABC所成的角为45°解析因为六边形ABCDeF是正六边形商以NI）RB60'因为PA_1.平面ABC商以I,1AD.若PB1.m又PACPBP.则MU平BJPAB,故A1.）垂直于平面PAB内的任意一条直段,因虻AI1.1.RH,这与NDAB60"矛盾,故假设不成立.故A不正软因为PA_1.平面ABC,所以PA1.AB,在正六边形ABCDEF中,AB1.AE,PADAE=A,所以AB_1.平面PAE.又ABU平面PAB,所以平面PABJ.平面PAE澈B正确因为BCAADfADC3FBSPAE=A,所以BC与平面PAE不平行,故C不正确,在RtZXPAD中,PA=AI）=2AB,所以PDA=45",故1）正确.5 .(真就演妖)在正方体AHCDA1B1C1D中,EJ；分别为AB1BC的中点.则().A.平面B,EF<1.平面BDD1B.平面H：EF1.平面ABDC.平面H,EF平面A1ACD.平曲BEF平面A1C1D答案A解析如图,对于A.因为E1I-分别为AB1BC的中点,所以EFAC,又CIBD1ACIDD1,BI)DD1=D1fiBD,DRU平面1.().所以ACJ平面BDD11JWEF1.平面BDD11XEFU平面BJ：匕所以平面B1EF平面BDD“选项A正以对于氏由选项A可知,平面1.%EF.I平面BDO1B.而平面BDDRC平面ABD=BD,且BD与平面B,EF不IBiS,故平面B1EF不可能与平面1.BDSiiS,选项B错误：对于C.在平面ABBA上,易知AA与B1E必相交.故平BIB1EI-与平曲A1AC不平行,选项C错误；对于从易知平面ABe平面A1.D,而平面AHC与平面B1EI-有公共点B,故平面HIT与平面A1C1D不可能平行,选项D情误.)能,模型画求二面角典例1如图,在四桢堆1.'BCD中,已知FC_1.底面ABCD,AB，AD,ABCD,AB=2.AD=CD=1,BC=PC,E是PB的中点.求证:PB，平面EAC.(2)求二面角IMCE的大小.P解析由PC，平面ABa),ACU平面AKD,得AC1.PC.在RIAADC中,由RD=CD=I,得AC=2.设AB的中点为G.i1.ffiCG(三)BS),则四边形RDCG是边长为1的正方形.所以CG1.AB,且BC2.因为A热Bd=AB-,所以AsBC.又因为BCCPC=CBapCU平面PBC,所以Ae_1.平面PBC又PBU平面PBC,fff½1.AC1.PB.因为KpC.E是PB的中点.所以PB±EC.因为ACnEC=C,又AC,ECU平面AEC,所以PBj平面AEe由知AC.平面PBC,所以/PCE是二面角PACE的平面角.因为APBC是等腰直角三角形,且I：是PB的中点，所以NPCE=45'.所以二面角PACE的大小是15".寻缝点狡综合法求二面角的方法6 .定义法:步赛是“一作、二证、三求”.(1)一作:作出二面角的平面角.(2)二证:证明所作的平面角满足定义,即为所求二面角的平面角.(3)三求:将作出的角放在三角形中,计算出平面角的大小.注:作二面角的平面角的点拨.定义法:分别在两个半平面内向棱作垂城,垂足为同一点,求两城的夹角.爆面法:作18直于棱的一个度面.这个平面与两个半平面分别有一条交姣.求两条交姣所成的角.三重姣法:过一个半平面内的一点A作另一个半平面的一条垂姣.过IB足B作棱的JR姣,记猴足为C,连接C,则NACB或其补角即为二面角的平面角.7 .面积法:若二面角一个囿上的几何图形的面枳为S,其在另一个Ia上的投影的面枳为S',则二面角的余弦值cosa=¾客观题).调练1(2023全国乙卷理)已知AABC力等腰直角三角形.AB为斜边,*!)为等边三角形,若二面角CABD为150-,则iS姣CD与平面ABC所成角的正切值为().aIBW40答案C解析如图.取AH的中点E,连接CEIDE.因为CABC是等腰直角三角形.且AB为斜边,所以有CE1AB.又AABI)是等边三角形.则DE1.ABJAf1.SNCED为二面角CABD的平面角,即CEI>150'.显候CEnDE=E,CE,DEU平面CDE,于是AH平面CDE1XHC平面ABC1因此.平面C1.)EJ.平面ABC,显然平面O)Er1.平面ABC=CE,直线CDU平面CDE,则直然CD在平面ABC内的射影为直城CE1从而NDCE为直蝶CD与平面ABC所成的角,令AB2.则CEIj)E3.CIH中.由余弦定理知CD=CE2+DE2-ZCEDErosZ-CED=11+3-2x1.x5x(y)=7,由正弦正理F浜F三，即SInNDa-节-WS然/DCE是锐角,COSDCE=1-SiMKDCE=J1.-(品)-所以直线CD与平面AIK所成的角的正切值为?平面与平面垂直的判定与性质典例2如图,在三核柱ABCW中AC，平面BC,ZCB=90"证明:平面ACCA_1.平面BB1C1C;设AB=AH,AA,=2,求四棱锥A1BU1C1C的高.解析（1）证明:因为Ac，平面AK,BCU平面AHC,所以A,C1.BC,又因为NACB90',即AC1.BC,又ACACU平面ACCAACnAe=C,所以HCJ,平面ACCA,又因为BCU平面I5CC1B11所以平面ACC）AJ平面IJCC1B,.如图,过点儿作MUCC.垂足为0.因为平SHCCNJ.平面BeCM,平E1.ACCAr)翠IBBCC1BCeMQU平S1.ACC1A.所以AQJ.平面BCC1B1.t所以四梭债ARBCC的离为AQ.因为AC1.平面ABC,AC.BCU平面ABC,所以Ae1.BCAC_1.AC.又因为,U=.B,BC为公共边，所以aRBC与BC全等,所以,CAC.设A1C=AC=X1MA1C1=X1所以。为Cc的中点,0CTM=1.又因为A,C1.4C.所以AC+AC=AAj,即x'+'=2集得x=2,所以AQJAICbOCjJ()2U.所以四棱锥ABHCC的高为I.8 .面面垂潼判定的两种方法与一个找化(1)两种方法：面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角,把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问出.ISEj垂直的判定定理(ii_1.B.<>=><1IB).(2)一个转化：在已知两个平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.首先在一个平面内作交姣的垂城,转化为姣面垂直.然而进一步精化为我践垂直.*定tt9 .面面垂直性质的应用(1)证明线面垂直.运用时要注意“平面内的直线”，(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它行的交线也垂直于第三个平面.调练2已知三楼惟PABC(如图】)的展开图如图2.其中四边彩ABCD为边长等于近的正方形.AABE和ABCF均为正三角形.求证:平面PAe_1.平面ABC.Dg图I图2解析如图,取AC的中点0,连接H0.H).由用意可知PA=PB=1,C=2.I,0=AO=BO=CO=1,又AB=BC,所以BO±AC.因为在APAC,PA=PC1O为AC的中点,所以PO1.AC.所以/POB为二面角PACB的平面角.因为在ZiPOB中fPO=1.,OB=1.,PB=,考点所以PO1.OB'=PB,所以P0B=9<r,所以平面PAC_1.平面BC.平行、垂直关系的综合运用典例3(2023宿迁第二学期市统测)如图.在三棱台ABCABq中.便J面BBqC底面ABC,且BB,=BC=C,C1.,Bf=2,底面AABC为正三角形.(1)求三梭台AB(ABc的体枳.(2)过点B作平面H,DE平行于平面AAcC,分别交BC1ABjX1.B于点D,E.F.求证:BEJ平面A1BC.解析(I)在三楼台ABCABC中,因为底面UABC为正三角形，所以aRBC也为正三角形，因为BC=2,B1.C,=1.所以S*5tSAMBK岑因为BBB,C,C1CI1BC2.所以四边形CBB,C力等展梯形，作CM_1.CB交CB于点HJWC吗，所以梯彩CBBC高为CH孚由例面BB1C1C-KffiABC网面HB1.C1.CCiIKffiBC=CBCH1.CBCHU平面CHBC,.所以C1HJ平面ABC,所以GH为三校平A