人教版高数必修四第7讲：平面向量基本定理及坐标运算(教师版).docx

华面对董基中定理苫龙标送点6大脑体掾)上作业完成情况金教学目标)*1 .笃取平面对量的正交分解及其坐标表示；2 .会用坐标表示平面对量的加、减与数乘运算.3 .会用坐标表示平面对量共线的条件，进而解决一些和关问题.4 .了解平面对量的异本定理及其意义.一、平面对立基本定31.1.平面对量基本定理，慢如，或兄JTM内的两个不共线不火线向量，那么对于达呼而内的I1.二-向量。.有且只行-内实数J使/='£+'£我们把不共线向iU、e；叫做表示这一平面内全部向址的一组班底；(2)荔底不惟一，关键是不共战；(3)由定理可将任一向fita在给出基底e；、c的条件下进行分解：(4)基底给定时,分解形式惟一.A1.入？是被G.唯一确定的数盘二、平面对的坐标表示I.如图.在直角坐标系内.我们分别收与X轴、y轴方向相同的两个一y,胞位向量i、j作为基底任作一个向成。，由平面对质基本定埋知，有0且只有一对实数X、y,使JHa=Xi+W.J，：我们把,y)叫做向量。的(直角坐标，记作_:o=(x,y)其中K叫做在轴上的坐标，y叫做在)，轴上的坐标，式叫做向的坐标表示与相等的向量的坐标也为(Ky).特殊地，=(I.O),y=(0.1.).0=(0,0).MdUit设况=x+W则向心苏的飞标(My)就是点A的坐标：反过来.点4的坐标(x.y)也：就是向量次的坐标因此，花平面点用坐标系内，姆一个平面时附都是可以用一对实效*一表示三、平面对量的坐标运算：(1)若a=(x,y),=(.q,yj,则“+坂=(3+.卬乂+外).a-b=(耳32.另一力)两个向Ift和与差的坐标分别等于这两个向依相应坐标的和与差.(2)若A(.r.y).仇生为)，则八公乂占一%,)、-)；)一个向Ift的坐标等于表示此向辰的有向跳段的终点坐标减去始点的坐标(3)若a=(x,y)和实数义,处"=(x.y)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标(4)向盘平行的充要条件的坐标表示：设口二(X“y.).b-<×.yJ其中6*。ab(b6)的充要条件是A1V2-x,y1=0逢典例讲练)类型一平面对量基本定理的应用【例I】(2012南京质检)如图所示，在AABC中，为3C上异于3,C的任一点，M为A的中点，若而=9+“流，WJ+=.I审飕视点I由RH,C三点共线可用向量，访，危来表示第/.解析由8,H,C三点共线，可令科=H+(I-K)而，又M是A”中点，所以崩;=AW=A+(Ix)4C.又麻+/.所以).+“=$+:(1a)=.答案I方法8制应用平面对量基本定理衣示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数装运算,共线向量定理的应用起着至关支委的作用.当私底确定后，任一向量的表示都是唯一的.【训练I】如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若疝=.以方+)，危，则X=.y=.解析以八8所在直线为X轴，以八为原点速立平面直角坐标系如图,令AB=2,则麴=(20),C=(0.2),过。作。入1.AB交AB的延长线干F,由巴知得DF=BF=,R'Jib=(2+3,3).'AD=xAB+yAC,(2+3,3)=(2x,2y).即有2尸”3=2v.=1.÷尸里IWU在.20AB中,反=J凉,而=1.丽M与比交于点Mi殳d="，OBb,ma.b42表示而MSB*I若4,互是一个平面内的两个不共线向亿则依据平面对址的基本定理.平面内的任何向JA都可用4.可线性表示.本例中向盘。.b可作基底,故可设。何ma>nb.为求实数附”,需利用向僦AM与AD共缥向心（7而与C7?共缥建立关于,n的两个方程.MFri戊OM=ma-nb，则AA1.=(，H-I)“+/，,AD=-a+-b2；点儿K。共线，/RH与4。共线,："=起EKffiCf=OM-OC=(n-)a+nb.CB=-i+b44,.4MB共戏.丽与丽共线,11-j4-=-.4Hzf1.13I3联立锵和冲F,：.OM=-a¥b协习：1.若已知“、啊是平面上的一组基底,则下列各祖向信中不能作为基底的一组是（）A.e与一ejB.3e与2e?C.4+°2与61。D.e与2巧答案：D2.在.，1中.已知加：的=I：3./1,V：AC=1:4.Zitv与QZ交于点P,且B=a.AC=,W用ZB发东八/；.裤：VAU-AB=1：3,f.V:AC=1：4,：.AM=-AB=-a,AN=-AC=-b,3344VM。三点共规,故可设MP=/MC.reR,于是，.A1.i=AM+MP=Ia+rMC=g+«)=(：-；)“+Ib同理可设设NP=SMB,sWR,AP=AN+NP=(-)h+sa.44他得(-.v)f1.+(r-+-)b=6.3344由此解汨s-1.,1.-.AP=-a+-b.HIi11I1.类型二平面对量的坐标运算【例2>(2011合肥模拟)已知A(-2.4),5(3,-1),C(-3,-4),且不=3*,的=2曲.求f,N的坐标和府”I审题视点I-CA,油的坐标,依据已知条件列方程组求M.N.解V4(-2,4),8(3,-1),0(-3,-4).,.C½=(1.8),CB=(63).GV=3CA=3(1,8)=(3.24),丽=2丽=2(6.3)=(12.6).设Ma,.y),则由=(x+3,y+4).fx+3=3,1.v=O,得i.M(020).Iy+4=24.Iy=20.同理可得A9.2),W=(9-0,2-20)=(9.-18).方法总第利用向量的坐标运算解题，主要就是依据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方穆(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要留意向量的方向，不更用错坐标.【训练2】在平行四边形ABC。中,AC为一条对角线,若丽=(2,4),At=(1.3),则丽=()A.(-2,-4)B.(-3.-5)C.(3.5)D.(2.4)解析由题意得而=R-而=尿'一通=(病一静)一而=庆-2,通=(1,3)-2(2,4)=(3.5).答案B3.1.f(0.1),B(1.,2),C(3,4)则丽-2而=答案：(-3,-3)解：AB-2BC<1.1)-2<2,2>=(-3,-3)4.若M(3,-2)N(-5,-1)且MP=BMN,求P点的坐标;解：设Pay)则-3.y÷2)=1.(-8,1)=H.1)a-3=-4(a=-14y+2=',j.v=-.P点坐标为(T,-y)2I2类型三平面对量共线的坐标运算【例3】已知=(1.,2),b=(-3.2),是否存在实数3使得与a-3b共线,且方向相反？I审题视点依据共线条件求k,然后推断方向.解若存在实数k,则fa+b=(1.,2)+(-3,2)=(-3,2k+2),-3fr=(1.,2)-3(-3,2)=(10.-4).若这两个向量共线，则必有(J1.-3)×(-4)-(2J1.+2)×10=0.解得&=一；.这时人a+b=(-,1，所以ka+b=1(a-3).即两个向量恰好方向相反，故题设的实数J1.存在.方法电第向量共线问速中,一般量依据其中的一些关系求解叁数值，侬如向量是用坐标表示的，就可以运用两个向量共级的充要条件的坐标表示列出方程，依据方程求解其中的参数位.【训练3】(2011西安质检)已知向量:a=(1.2),b=(2,-3),若向量C满意(c+a)"b,c±(a+).则c=().2一9;7-3,7一夕解析设C=(，”.)，R1J1+c=(1.+w,2+w),+b=(3,-1).(c+a)b,-3×(1.+m)=2×(2+w).又c1.(+b).，3，一=0,.解存J=答案D7-3=7一夕9.已知Z=(1,2),乙=(-3,2),当实数A取何值时，k1+2A与2%而平行？【解析】方法一：Y2)BHo,二存在唯一实数2使上£+2-五(2143)将Z、的坐标代入上式得(k6,2Jt+4)=(14,-4)对Jt-6=M%I1.2A+4=，"，解得h-1.方法二：问法一有&Z+2U=4<2(t-b>,UP(k-2)a+(2+1)A=O-fA:2=O.F与0不共战，,：.k=-12÷4A=O奇当堂检前一、选择题I.设为、史是平面内全部向知的一组基底则下面四组向量中,不能作为基底的是()A.e+兜和e-e：B.3ej-Zejf1.1.4e；64rC.e+%和妇+2曲D.e?和e+e:【答案IB解析1V4e2-6e1.=-2(3e-2e<).'.3e-2e1与4g一6七共度.工能作为基底.2.下面给出了三个命题：非向量0与b共线,则a与b所在的直线平行：向ht与共战的条件是当旦仅当存在实数、不，f史得小=4力：平面内的任一向量都可用其它两个向敬的线性组合表示.其中正除命卷的个数足()A.0B.IC.2D.3I答案IBI解析I命题两式线向量。与b所在的直线有可能更合:命题平面内的任一向量都可用其它两个不共线同*的线性组合表示.故都不正确.3.给出卜列结论：若"hb,则+“<a+非零向埴0、b共线，则Ia十”>0；对随怠向量a、b,-60;若非零向：ft。、b共线且反向，则|a-bY.其中正确的有()个.()A.IB.2C.3D.4I答案IB解析中有一个为零向量时不成立：中*b若是相反向量则不成苴：、正确，故选B.4.已知向IXe.力不共跳,实数x、Iy满意(x-)e)+(2x+y)e)=6e,+3e?.则xy的值等于()A.3B.-3C.6D.-6I答案ICI1.y=6'三''"共线，.由平面对量基本定理可得%+尸35.设始终线上三点A,H.PAP=PB(±),。为平面内的意一点，则说用OrORk示为()A.OP=OA-VXOBB.OP=OA+(+)-OA,OB-I-I-C.OP=t.D.OP=O+-7B1.+xX-答案IC解析I.OP=OA+PB=+(OB-OP)=OA+OB-.OP.OA+OH：.(1+)OP=OA+/.OH.：.()P=j7j.6. (20广东文,3)已如向40=(12)、b=(30),则br=()A.(-2.1)B.(2.-I)C.(2.0)D.(4.3)【答案IB解析IV=(1.2),6=(3.1),t-=(3-.1-2)=(2.-1).7 .若向St丽=(2,3)、CA=(4.7),则就=()A.(-2,-4)B.(2.4