《概率》导学案.docx

概率导学案知识梳理1、随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母等表示2 .离散型随机变量：随机变量。只能取有限个数值，勺,XX或可列无穷多个数值为，,，/，则称。为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量。取有限个数值的情形.3 .离散型随机变量的概率分布(1)分布列:设离散型随机变量可能取得值为R，X2,，X3,，J取每一个值刘(j=1.,2,.)的概率为尸(J=Xi)=Pj,则称表4XiX2Xi.PP1.PiR为随机变量。的概率分布，简称4的分布列(2)分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足;OP(A)1,并且不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：(1.)Pi>0,i=1.,2,；(2)P1+P2+.=1.对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即P(k)=P您=xk)+P=SG+4 .常见的离散型随机变量的分布(1)两点分布概率分布为(其中0<p<1.)01P1pP(2)二项分布在n次独立重复试验中，事件A发生的次数&是一个随机变量，其所有可能取的值为。1,2,3,n,并且P(=k)=Cpkq1.k(其中k=0,1,2,，n,q=1.-p)显然P(=k)K)(k=0,1.,2,，n),Spkqnk=1.称这样的随机变量服从参数n和P的二项分布，记为1B(n,p).(3)、超几何分布在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有"件次品，抽检件时所得次品数X=m贝IJP(X= m)=CM-m'H ".此时我们称随机变量X服从超几何分布1)超几何分布的模型是不放回抽样2)超几何分布中的参数是M,N,n5 .条件概率在A发生的条件下B发生的概率:呐A)=鬻6 .相互独立事件同时发生的概率P(AB)=P(A)P(B).7 .独立重复试验如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)=Ck(1.-p)nk,k=0J,2,.,n.8 .离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量的概率分布为X1.X2XnPPiP2Pn则称E()=Xipi+x2p2+XnPn为的均值或数学期望.D=U1-E)2p1+(x2-E)2.p2+.+(x-E)2称为随机变量J的均方差，简称为方差,9、正态分布1)我们称"()=(-8,+00)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.(式中的实数、b(b>O)是参数，分别表示总体的平均数与标准差)2) 一般地，如果对于任何实数。<。，随机变量X满足P(a<Xb)=J：(x)dx,则称X的分布为正态分布.正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作MM。?).如果随机变量X服从正态分布，则记为XN(,b2).3)正态曲线的性质：(1)曲线在X轴的上方，与X轴不相交在正态曲线下方和X轴上方范围内的区域面积为1.(2)曲线关于直线x=对称(3)当x=时，曲线位于最高点(4)当V时，曲线上升(增函数)；当x>时，曲线下降(减函数)并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以X轴为渐近线，向它无限靠近(5)一定时，曲线的形状由o确定。越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；。越小.曲线越“瘦高”.总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学【典型例题】题型一相互独立事件和独立重复试验23例1甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是郭吟假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击.则乙恰好射击5次后被中止射击的概率是多少？分析：(1)第(1)问先求其对立事件的概率.(2)第(2)问利用相互独立事件和独立重复试验的概率公式.(3)第(3)问中，甲恰好射击5次被中止，可分为前3次击中后两次未击中和前2次有一次未击中，第3次击中，后两次未击中两种情况.解：(1)甲至少一次未击中目标的概率P1.是Pi=P4(I)+P4(2)+P4(3)+P4(4)=1.-P4(0)=1.-gX)=,(2)甲射击4次恰击中2次的概率为P2=C3图身，乙射击4次恰击中3次的概率为P3=cg月=法由乘法公式，所求概率P=P2P3=枭符=/(3)乙恰好5次停止射击，则最后两次未击中，前三次或都击中或第一与第二次恰有一次击中，第三次必击中，故所求概率为P=CX9+需用)=悬探究提高(1)注意区分互斥事件和相互独立事件，互斥事件是在同一试验中不可能同时发生的情况，相互独立事件是指几个事件的发生与否互不影响，当然可以同时发生.(2)一个事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解.对于“至少”，“至多”等问题往往用这种方法求解.变式训练1某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂.质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格.已知某盒A产品中有2件次品.求：(1)该盒产品被检验合格的概率；(2)若对该盒产品分别进行两次检验，则两次检验得出的结果不一致的概率.解：(1)从该盒10件产品中任抽4件，有等可能的结果数为C%种，其中次品数不超过1件的有c+种，c÷c5cin被检验认为是合格的概率为Qo(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出该盒产13品合格的概率均为三，故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为C砥IT)=系题型二随机变量的概率分布、均值和方差例2甲，乙两名教师进行乒乓球比赛，采用七局四胜制(先胜四局者获胜),21若每一局比赛甲获胜的概率为“乙获胜的概率为:，现已赛完两局，乙暂时以2：0领先.(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；(2)设比赛结束时比赛的局数为随机变量,求随机变量的概率分布和数学期望E().解：(1)设甲获胜为事件A,则甲获胜包括甲以4：2获胜和甲以4：3获胜两种情况：设甲以4：2获胜为事件Ai,则P(AI)=停下=$.设甲以4：3获胜为事件A2,则P(A2)=CJ×x图3=瑞，P(A)=P(AI)+P(A2)=$+瑞=亲.(2)随机变量可能的取值为4,567,1214P(=5)=C1.×××=y.P(=6)=C昌X停层+钞=摄+枭磊P(=7)=×x侬嚼8!4882 13 88- 1 2-84×271-9的概率分布为：4567P194272881328?探究提高(1)求离散型随机变量的概率分布的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率.(2)求随机变量的期望和方差的关键是正确求出随机变量的概率分布，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解.变式训练2某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮.现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是提/两人投篮3次，且第一次由甲开始投篮，假设每人每次投篮命中与否均互不影响.(1)求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；(2)若投篮命中一次得1分，否则得。分，用表示甲的总得分，求的概率分布和数学期望.解：(1)记“3次投篮的人依次是甲、甲、乙”为事件A,122由题意，得P(A)=WXg=2答：3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是言(2)由题意的可能取值为0,123,212125则P(=O)=3x2+3x2x3=9,211121P(=D=3×2×3+3×3=3P(=2)=悬X1.=5P(=3)=××=所以的概率分布为0123P5932Z7127E()=O×÷1.×÷2×+3×y=y.例3某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的分布列.分析：对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.解依题意，随机变量X服从超几何分布,CC1-所以P(X=©=(2=0,1,2,3,4).pr-m-CgC1.-1.cfo-210,P(X=I)=Cj,C34Fr=药P(X=2)=CiC1.Cfo一P(X=3)=CC1.8P(X=4)=ccS1d7=立X的分布列为X01234P121043582?1U变式训练3在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于靠的是()A.P(X=2)B.P(X2)C.P(X=4)D.P(X<4)cc0解：X服从超几何分布P(X=女)='CIg,故女=4,故选C题型三随机变量及概率分布的综合应用例4图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图(I)求直方图中X的值；(II)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望.分析：以实际生活为背景，考查频率分布直方图的认识，进而考查分布列和期望等统计知识.频率分布直方图一矩形的面积表示频率反映概率；随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)是三个独立重复实验T计算概率时遵循贝努力概型.解：(1)依题意及频率分布直方图知，0.02+0.1.+x+0.37+0.39=1.,解得x=0.12.(2)由题意知，XB(3,0.1).因此P(x=O)=C03×0.93=0.729,P(X=1)=C,3×0.1×0.92=0.243,P(X=2)=C23×0.12×0.9=0.027,P(X=3)=C33×0.13=0.001.故随机变量X的分布列为X0123P0.7290.2430.0270.001X的数学期望为EX=3×0.1=0.3.【方法技巧】1、统计的常用图：条形图，径叶图；直方图，折线图等.要学会识图.2、概率问题的解题步骤：首先思考实验的个数、实验关系和实验结果，然后思考目标时间如何用基本事件表示出来，最后利用对立事件、对立事件和互斥事件进行运算.3、在求期望和方差时注意使用公式.注：（1）求复杂事件的概