《測圓海鏡》之已知大股求圓徑題之二(6).docx

测HI海之已知大股求之二上傅WW名：梆熊112XiSoXinGuan112何世强HoSaiKcung提要：以下源自C国圃海a卷五，所冏者皆典“阿城圄式”有踹，主要涉及勾股形之三谖成内接Ia之切嫄而求之冏题。本文之冏在“ta城BI式”中已知大股1即展大直角三角形之股及另一脩件，求回城之，单位卷步。乾隅大股艮隅天乾以下之冏取材自渊圄海卷五之大股一卜八冏笔者已有文章及“求回之题”名悬测圄海筑）之已知大股求到很期之一（5），本文乃其延缜。以下1.a城之一般BI:夕艮泉北汨啊海冏皆涉及“圆城圈式”。（汨海i）提供“园城”丽®像件，算圜城之半。天乾乃卷大股，涉及大股者共一十八冏前五冏见前文。第六冏或周：乙t½艮隅束行八十步而立,甲t½乾隅南行六百步望见乙:黑何？超意指乙t½艮隅M束行80步至C而立，甲优乾隅D南行600步至B回豆真望见乙BGC成一直操求之房。今AGb辅助未知数B1.半筏舄rGMC典大三角形BDC相似所以需=鼠得式：竺=旦=理(1)808O+2r4(1.÷r因CE=CH，CE=80+CH=Q(802÷(>+r)2+b：XO+r=8()2+(b+r)2J+h(2)拢得24000=40+历+40r+r2400040rr2=M4()+r)-(3),24001.)-40r-r2b40+rt½(2)式得80+r=802+(+r)26400+r+h2+60r-2rb-16Ob=6400+r+1.r+2rb1.60r-2r-60=2rft1601606=4440r-406=rh40/-40(24000-4OrT240÷r)=，.(24000240+r)招力含之值式代入)1600/+40,-960000+1600/+40,=24000r-40r-?/+120/20800r960000=O，分解因式得：(r-120)(/+240r÷80000)=O答圜半20步，以下熟另法，以d=2r玛圆直B1.y+DC2=BC2BD=600DC=80+<1>BC=BH+CH=600-3+80+g=680，6OO2+(80+4=6803360000+6400+16(W+#=462400<2÷I6(k-960=0，分解困式得：S-240)0+400)=0。取d篇240即S径悬240步。以此法悬曾捷。冽BI海绘之算法日：法曰：二行步相乘，又倍之悬Iff二之乙束行检优，一步常法，得全筏。“二行步相乘，又倍之悬rr指方程式之常数热80×600×2三96000，“二之乙束行四t指之保数检80×2=160“一步”指d?之保数悬1。“常法”乃指一般之优法方。故所形成之方程式悬-c1.-+16(W-96000=0-分解困式得：(d-240)(4+400)=O三M240'即圆240步。草日：别得乙束行八十步，即小差也C立天元一"热城径'减於甲南行步得600-d居大差，以乙束行步乘之，得80(600-G=48000-X(k又倍之得96000160J2城fg暮，寄左，然彳要以天元籁#典左相消得：理=96000-160"心+16(W-96000=0分解因式得：(<-240Xd+4OO)=O。或曰平方得二百四卜步，即城彳第也合冏。第七冏或冏：南FfJ柬不知逡近有拗，甲i½乾隅南行六百步望树，典城祭相直，IS就榭，斜行四百八步至树。冏答同前。期意指南FIP之柬不知逮近有梅H，甲优乾隅D南行600步至B黠，回望树舆城祭相直即BHG成一直嫄Ig就向树斜行408步至树，求剧今Hp热.V卷辅助未知数，HP=HG=X，网半r，优圈可知：BFO典ABGO全等所以BF=BG，BF=600-rBG=BH+HG=BH+HP=408+.V'所以：408+X=60()-r(1)在直角三角形BHQ中依勾股定理得BQ2+QH2=BH2-即：(600-2r)2+(x+r)2=4O82(2)徙(I)得X=192-r(3)以代人得：(600-2r)j+(192r+rf4082(600-2r)2+1922=4082(6002/-)2+36864=166464(600Ir)2=129600(6002r)2=360260()2r=360300r=180，=120。即城半曝悬120步。Z配合C即S海之算法，今言殳"悬直偎，而d=2,，以上之(600-2r)2+1922=4082可嘉成：(6004+1922=4()823600001200d+1户+36864=166464/-12004+230400=0。(J240)(J960)=0取=240=即城240步。C国园海算法日：法日：南行步幕内减雨段雨行相乘数热er,二之南行步四优，一步益隅，得城“南行步幕内减雨段雨行相乘数J1”指方程式常数22(6OO2-600X408)=2×112500=230400“二之南行悬拢"指"之保敦玛600×2=1200“一步益隅”指小之保敦玛1。故所形成之方程式悬：/-1200J-230400=0。此式兄上。草日：别得南行步内减城:箜，即小股也其斜行步即小弦也。又二行相减即大差悬股之勾也。立天元一d热IgI径'以减南行步得600悬股®!差也(合篇小股，即BQ置南行步以斜行步乘之得408X600=244800合以小股600-"除之，不受除，便以此悬大弦(内带小股分母。再置南行步，以小股秉之，得：6(6-)-360000-60(W卷大股亦带小股分母以大股减大弦得244800(600J+360000)=60Od115200热小差也热，合以大差乘之'缘於内带大差分母悬'更不演乘，便以悬半段黄方柒更焦分母，又二之得2(60(H-II5200)=1200J-230400篇一段英方幕，寄左，然彼以天元塞悬同数舆左相消得：/=120OJ230400/-I200J-230400=0，分解因式得：(</240Xd960)=0取"=240或日平方得.百四十步，即城也，合周。以上算法可卷以下(第八冏。第八邮依前冏假令乙出南束行不知步数而立,甲优乾南行六百步望乙典城相直“良就乙，斜行四百八步(按此即前周以明又法。本题典上期完全相同唯提周之法有巽。仍用以下之IffiI:言殳囤半网直d,即d=2r。期意指乙出南FIP向荣行不知步数而立於H，甲徙乾南D行600步至B望乙舆城相直'即BHG成直绿，便行向乙,斜行408步至H求USJ徙上题可知：408+x=600-r得X=192-r即X=192以下另法：大三角形BDC依幻股定理可知BDj÷DC2=CB2，又依相似三角形或比例中率可知CE=CG=5，又优圈可知CB=BH+HG+GC»可得：600-+(+)2=(408+x+/A360000+-+-+-=(408+192-+-)244X16X2'24X360000+7+7=(600T+2360000+-+-+=360000+”+4-60<k+出”-44X16X2416X2X4*d3za.上30MZ=-60OJ+2xXd-=1200-+6002d2=1200x+600d2=1200(192-g)+600dd-=-230400-60Od+60(W12004+230400=0一240)(d-960)=0取d=240，即期240步。又若4=2;，代人/1200J+230400=0得：4r-2400r+2304=0/600r+57600=0，分解因式得：(r120)(r480)=0。明平方得一百二十步'倍之即城也，此算法见下文。测圜海算法日：法日：二行差幕I秉甲南行悬出，二之二行差以黍南行步热益方，二之二行差隅，得半。“二行差幕秉甲南行熟r指常数易600(600-408户=600×I922=22118400“二之二行差以乘前行步篇益方”指，之保数J2x(600-408)X600=230400，“二之二行差阊呼指八之保数虑2x(600408)=384。故所形成之方程式扁：即3843-230400r+2211X400=0草日：I®别得:行相减，即半城典乙束行共也得此数更不须用斜。立天元r悬半，减於二行差(600408=192)一百九十二得192-r即半梯也，又以二天元Ir减甲南行步得600-2r悬股率，又以一百九十二192急勾率。乃置中南行以勾率乘之得600X192=H5200，合股率除，不除，便以此热大勾(内寄股率分母)，再置天元以股率乘之得：，I600-2r)=600r-Ir以斌於大勾得I1.5200-600r+2r悬半梯底也,底相乘得下：(192-r)(1.15200-600r+2n)=22118400115200/-+384/115200”6002/=2?+984r2-230400r+22118400四半城幕(内寄股率分母寄左，然接以股率乘天元幕得：60O-2r)=60O-z-2悬同数，典左相消得：一2,+984r-230400r+22118400=600r2-2ri384/230400r+22118400=0，然)蔺得60057600=0分解因式得：(r-120)(r-480)=0或日辟J平方得一百二十步，倍之即城也，合冏。第九冏或冏：束11前不知运近有树，甲t½乾隅南行六百步兄树”巨向树斜行五百一十步至梅。冏答同前。题意指IiI城束PEA之南不知逵近有树G，甲优乾隅D南行600步至B回见树，IS向树斜行510步至榭。求3城之。见下直雨S1.。t½圄可知BF=BH，若多殳GH-AG=X-®T-®r-CMMy-x舆)同葛植助未知数。BG=BH+HG=600-r+a-=510今又?殳CM=v，AG=GH=X，因BF=BH，可知BE=600r,BH=BG-GH=5IO-即可知600-r=510-x即90=r-.vx=r-90。X,CG+GH=CG+x=CE=CM+ME=y+rGM=x+rCG+x=y+r，CG+x=y+r-x，在AGCM中CG=W(X+r)2+y2p比蛟雨CG可知以下等式成立:(x+r)2+>,2=y+r-.v°6£圄可知BCD典GCN相似，所以第=言600v=0+2rX2r90)揩x=r90代人)600v=t1.ry-90v+4r2-180r300v=0'-45>+2r-90r.v(300-r+45)=2r-90r2r2-90r300-r+45又因J(x+r)2+>2=(v+r-)2x2+r2+2xr+y2=/+r2-2xr+y2+2yf-2xyIxr=2xr+2yrIxyr=-x-+>r-.y2xr=yrxy2xr_Zr(r-*M)rx90Zr2-IgQr90r2-90r4S(x=r-90代人)耨雨y比较即可得2M-90r_2r29Qr_r2-90r300-r+45