导数典型例题讲解.docx

资料一：导数.学问点1.导致的概念例I.曲线产加上的一点HO.0),求过点P的切线方程,解析：如图，按切线的定义，当XTo时，割线P。的极限位置是)，轴(此时斜率不存在)，因此过P点的切线方程是=0例2.求曲线y=x2在点(2,4)处的切线方程解析：*/y=x2,>=<+a)2-.vtr=2>.t÷(.r)2=4x+(x)2.".=1.im=1.im(4+r)=4.AITnArtO，曲线y=x2在点(2,4)处切线方程为y-4=4(-2)即4r-v-4=0.例3.物体的运动方程是S=I+/+尸，其中S的单位是米，r的单位是杪，求物体在t=5秒时的瞬时速度及物体在一段时间5,5+八内相应的平均速度.解析：*.*S=1.+r+?,AS=1.+"+Ar)+Ar)2-(+什乃=2.A+Ar+(A)2,A三2+1.+,HPv()=2+1.+,二v(5)=Z+1.1.,Ar即在5,5+八的一段时间内平均速度为(/+II)米/秒.*.v()=S'=Iim=1.im(2r+1.+r)=2r+1.|oAro即<5)=2×5+1.=1.1.物体在t=5秒时的瞬时速度是11米/秒.例4.利用导数的定义求函数产J=在尸1处的导致.解析:1,1-1+a.v-1Ay=I，I='.3.-，/,J1.+At1.+xA.V1.+x(1.+1.+ZJ)r11Art<1.1.+Av(1.+J1.+Ar)例5.函数/U)=J'-"11；x'°.求函数Ko在点X=O处的导数0x=0解析：由=0,即儿t)在=0处有定义，a=(O+A0NO)=(ArFsin-5-,Ar=Asin-,Iim=Iimsin-=0.即f,(0)=0.Ar1-*ova1oAC：.函数KD在x=0处导数为0.-(r+1)-I例6.函数/U)=；.推断./(X)在X=I处是否可导？-(x+1.)X>I2v+-)2+i-解析：1.)三1.,Iim=IimrHrATrKr=1.im(1.+-)=1.,a.>o-2Iim=Iimo,At)-(1.+x+1.)-1.1.2=1,.11m丝2arAxIim包,，x.,.函数产%6在x=1.处不行导.例7.函数y=2+3,求)，'.解析：y=2x3+3,>=2(x+)5+3-(2+3)=6a-.v+6()2+2(x)j.=6t2+6ra+2(.r)2,y'=Iim=6.r.XMrD,V例8.曲线v=2+3上一点P,P点横坐标为,r=1.,求点P处的切线方程和法线方程.解析：Y=1.产5,点的坐标为(1.5),利用例7的结论知函数的导数为F=6，：.v,.i=6,曲线在P点处的切线方程为)，-5=651)即6-y-1.=0,又曲线在P点处法线的斜率为-6：.曲线在P点处法线方程为)，一5=一!(*-1),UP6)+-31=0.6例9.抛物线y=x2在哪一点处切线平行了直线),=41.5?(tiik.Av(x+x)'-2CWtJi：.V=Iim-=Iim=2x.Z7>AArfUZ令2x=4.J.户2,y=4,即在点P(2,4)处切线平行于直线)=41.5.例10.设”WO,凡目在网处可导，求以下极限值(1)Iim<-M>(2)IimXi>0Ar解析：要将所求极限值转化为导数/'(秋)定义中的极限形式。()imf(二T"AD-f(XI1.)=1.imROA1uo-n,v(-m)=-n-f'(x0),(其中一gAXTo)(2)IimAi>0Ax=Iim-11/(%+-/(%)I1-t1=7,().Av(其中-AITO)t例II.设函数40在X=I处连续，且1.im®=2,求/'(I).,-1解析：.(x)在x=1.处连续，1.imCo=川).J1.而又Iimf(x)=1.im(x-1)=1.im(.v-1)Iiin=0×2=0.-IIX-Ix-»1.x1.大一,/(1)=0./.广=Iim+Ar)-，=Hm-/=2(将AX换成X-I)v0ArXfJVHP,(1)=2.例12.抛物线)，="+法+c(aWO),通过点(I,I),且在点(2,1)处与直线)=-3相切，求,b,C的值.ft2i1.jrh1.y.a(x+x)2+b(x+x)+c-(ax2+bx+c)_,解析：1JV=Iim=Iim=2ax+b,"-xi*-*°Ax由函数在点（2,一D处与直线S=X3相切./.2a×2+b=.乂函数过点（1，I），（2,1）,a+b+c=,4u+2b+c=-.由三式解得=3,b=1.（-9.例13.设曲线y=siu在点4四，：）处切线倾斜角为0,求tan（f-3）的值.624解析：y=siav.：.Ay=Sin（X+AR-SinX=2cos（x+孚）sin孚，CAr.At.xv2cqs(x+-)sn-AXS1.n于：.y'=Iim=Iini-=IimCoS(X+)-Iini-=cosx.<»0Ar¾oATZTo2A*-*oAT即y'=(si11)'=cosr.令在A点处切线斜率为=cosN=立.tan。=.0(0.jO.6223.11ni_1.-tan,_1/7u.tan(-)=7-43H,41.+tan6>近例14.设KX)是定义在R上的函数，I1.对任何H2R.都有凡11+.可可3次,假设0)0,/'(0)=1,证明：对任何WR,都有儿v)='(x)解析：由人口+w)MxVtc),令M=X!=0得40)=;(OmO),又Ho)WO胆)=1由八0)=1即Iim3七幽=Mmg21=1,z,vNfOx,=Iim八"AD-/。)=1,m/W(Am)=zw.1.imZ)1.=M.a*oArArTDArvoAt即广(MMx)成立.2.几种常见函数的导数例1.v)=,求/'(X)，,()-(D),(015)解析：Kr)=AA，f'(x)=3J'=3,fO.5)=3×(O.5)2,SI)=0.说明：导函数与函数在某点处导数要弄清区分与联系.后者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再干脆求导函数值.例2.曲线y÷上有两点A(.I).B(2.4),求割线AB的斜率：在I,1+Aa内的平均改变率：过点八处的切线斜率匕r:点A处的切线方程.解析：匕H=土=3；21平均改变率”=ArAr2+5y'=2x.Ay¼=2,即点A处的切线斜率为KAT=2.点4处的切线方程为)-1=2(x-1.)即2v-y-1.=0.说明：通过本例搞清割线斜率，区间上平均改变率，某点处切线斜率与某点处的导数之间的区分与联系，捋次验证了导数与平均改变率之间的关系V,=Iim.“AitDA-例3.利用导数定义和导致公式两种方法求曲线尸1.在点P(1.,I)处的切线倾斜X角及该点处的法线方程.解析：解法-：U)=1.A.v=/1.+Ax)yU)=1-v,X1.+,v1.+Av1：.y'g=1.im'=Iim=-1.MWx<»0I+Ax即在点P处斜率为A=-1.倾斜角为135。，法线方程>一1=一1即入一、=0.解法(二)：.V=巩0=,j*=f,()三-二y'Jr三I=-1.X尸即在点？处切线斜率为4一1，以下同法(一)说明：求导致方法有两种，一种是利用导致定义法求导数,其次种用导数公式，要留意题目要求,假设无声明，用最简洁的方法即可.例4.曲线产上的一点P(0,0),求过点P的切线方程.解析：由尸方.F=(Y7)=金.在X=O处导数不存在，由图形知过P点的切线方程是=0例5.设曲线y=cosr在A(j£)点处的切线倾斜角为仇求Cotc-O)的值624解析：y=cosr./=_siav.-Ut,j1.=_sin=.*.tan=，66221+ianO"彳I：.cot(-0>=tan(-(9)4=一=M=1.-tan+232例6.求曲线)，=9在点(3,27)处的切线与坐标轴所用成的三角形面积.解析：:尸3,y'=3x2,y,=27,：.曲线.v=F在点(3,27)处的切线方程为y-27=27(x3).即)=27x-54.其与X轴,y轴交点分别为(2,0),(0.-54)二切线与坐标轴围成的三角形面积为5=×2×54=54.例7.在抛物线Y=X2上取横坐标为项=1及4=3的两点，作过这两点的割线,何该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线？解析：两点411)取3.9),别线斜率为匕s=4.Vy,=2x,令V=2x=4得x=2,即在点(2,4)处切线平行于这一割线.3.函数和、差、积、商的导致例1.求以下函数的导数：)=32+cosx:产.；产MarU-；产一XCOSXI,1I+X解析：CCy'=6x+cos-xsinx：I丫,_(IUnx)'x-1.an(x),_XScc、-IanXXsinK-2COSX(XCOSA+sinx)coSX-(XSinK-2)(-sinx)cos2X_sinx(8s.r-2)+Kcos2X例2.函数/U)=/-7x+1.,求尸(X)，,(1).,(1.5).解析：v)=V-7x+1.,=,(x)=32-7,(1)=-4,*(1.5)=-.4留意：导函数与导数的区分与联系，函数在某一点的导数是导函数在这一点处的函数值.例3.函数=j+-g的导数为。的值也都使)，值为0,求常数。的值.解析：y'=3r+2ax,令=0.那么3ri+2E),M=O.c=一三a.3当DB寸，y=O=-j,«=(),即=0满意条件.当尸一时.y=O=,+j«得=0或.=±3检验知。=±3不满意条件，常数的值为().例4.曲线产一片+4X上有两点A(4,O),(2,4),求割线八8的斜率心你过山A处的切线斜率匕；点A处的切线方程。解析：别线"的斜率公产耳=-2：2-4y'=2x+4,.*.y=-4.即M=-4：过A点的切线方程为)-0=-4(-4),即v=4x+1.6.例5.F（八）=«x)+.?（八）,就以卜.两种情形推断F(X)在*=和处是否可导？Ju)在X=Ae处可导，g(x)在X=Xo处不行导.人外，g(x