函数的周期性与对称性.docx
函数的周期性及对需性1、函数的周期性若a是非零常数，若对广函数y=f(X)定义域内的任一变量X点有下列条件之一成立，则函数y=f()是周期函数，且2是它的一个周期，f(x÷a)=f(Xa)f(x+a)=-f(x)f(x+a)=1.(x)f(x+a)=-1(x)2、函数的对称性及周期性性质5若函数y=f同时关于直线x=a及x=b轴对称,则函数f(X)必为周期函数，且T=2-性质6、若函数y=f(x)同时关于点(a,0)及点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数，且T=2-性质7、若函数y=f(x)既关于点(a,0)中心对称，又关于直线X=b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T=4一3.函数F=J(X)图象本身的对称性(自身对称)若f(*+)=±+b)，则f(x)具有周期性;f(a+x)=±f(b-x),则/(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、“+*)=97)。.、，=/3图象关于直线=®+X)；ST)=等称推论1:f(a+x)=f(a-x)>y=的图象关于直线t=“对称推论2、f(x)=f(2a-x)=y=/(X)的图象关于直线X="对称推论3、f(-x)=f(2"+X)Oy=/(x)的图象关于直线x=u对称2、/(+x)+/S-X)=2coj“)的图象关于点对称推论1、/(f1.+x)+/(a-x)=2<=>y=/(x)的图象关于点(.Z>)对称推论2、/(x)+f(2a-x)=劝。y=f(x)的图象关于点(a,6)对称推论3%f(-)+f(2<+x)=2bu>y=f(x)的图象关于点(,b)对称例题分析：1 .设/(x)是(70+9)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当04x41时，/(X)=X,则/(47.5)等于()（八）0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.52、(山东)已知定义在K上的奇函数/(x)满意/(x+2)=-"x),则6)的值为()A.-1B.OC.1D.23 .设f(x)是定义在/?上的奇函数，/(1.)=2J(x+1.)=*+6).求”10).4 .函数八X)对于随意实数*满意条件,若/=-5,则/1/(5)=5 .已知/(x)是定义在R上的奇函数，且它的图像关直线_r=1.对称。(1)求/(O)的值;(2)证明“X)是周期函数；(3)若/(X)=Mo<x1.),求xg?时，函数/(*)的解析式，并画出满意条件的函数/(x)至少一个周期的图象。6 .设八力是定义在R上的奇函数，且对随意实数人恒有f(x+2)=-x).当X£0,2时，/U)=2一七(D求证：/U)是周期函数：(2)当“2,4时，求A*)的解析式.巩固练习：1 .函数人力是周期为4的偶函数，当x0,2时，NX)=X-1,则不等式(*)0在一1,3上的解集为().(1,3)B.(-1.DC.(-1,0)U(1,3)D.(-1,0)U(0,1)2 .设函数“力是定义在R上的偶函数，且对随意的XGR恒有Q+D=-1),己知当x0,1时，/J)=-,则：2是函数X*)的周期；函数/U)在(1,2)上递减,在数上递增;函数f(x)的最大值是1,最小值是0：当X£(3,4)时，f(x>='其中全部正确命题的序号是.3 .设定义在R上的奇函数y=f(*),满意对随意fR,都有f(t)=f一力，且XW时，f(*)=一上则f(3)+的值等于()A.-B.-C.-D.-4 .若偶函数y=f(*)为R上的周期为6的周期函数，且满意f(x)=(x+1.)(-a)(-3%3),则一6)等于.5、(1)/(x)=-<1.美于点(!，5对称：/（八）+/(I-X)=;*+224'-I(2) /(X)=卦-2x+1.关于(0.1)对称：/5)+f()=(3)若/(x)=(24-x)设/(x)=0有”个不同的实数根，则.V+2+=.6 .设f(x)是(-8,+8)上的奇函数，+2)=-x),当0这x1.时，)=x.(1)求/(3)的值：(2)当一4W*W4时，求f(*)的图像及*轴所围成图形的面积.7 .设/(x)是定义在(-8,+8)上以2为周期的周期函数，且/(x)是偶函数,在区间2司上，/(x)=-2*-3尸+4.求KW1,2时，/(x)的解析式.8 .设函数/(.V)对航意实数K满意/(2+x)=(2-x),/(7+)=/(7-X)JV(O)=0.推断函数f(x)图象在区间-30,30上及X轴至少有多少个交点.9 .已知函数y=(x)是定义在我上的周期函数，周期7=5,函数y=()(TD是奇函数.又知y=()在0川上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5.(1)证明：/+/(4)=0；(2)求y=f(x),xe1,4的解析式；(3)求产"X)在4,9上的解析式.10 .已知,(1)推断/(幻的奇偶性:(2)证明：/(x)>011、定义在-川上的函数y=(x)是减函数，且是奇函数，若fai-«-1)+/(4-5)>0,求实数的范围。12.(重庆文)已知定义域为R的函数是奇函数。(I)求”,/，的值；(II)若对随意的“H,不等式八产-川+/2_1<0恒成立，求A的取值范围。复习题，I.己知数列叫，其前"项和为S.,点g)在抛物线)，=#+1；各项都为正数的等比数列也满意优=仁也=表.<I)求数列U1.也)的通向公式；(II)记C”她，求数列(C1.的前”项和J2.在中，角A、B、C所对的边分别是“、c,且(其中SMM为八8。的面积).(I)求；(1)若b=2,AABC的面枳为3,求.3.某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如卜；X12345频率a0.20.45bC(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求c的值;(1【)在(D的条件卜.，将等级系数为4的3件日用品记为演,X,1,等级系数为5的2件口用品记为,，月，现从玉，士,4，鼻，X这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出全部可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.4 .如图，在三棱惟P-AK中，PAJ.底面ABC,C±C,，为PC的中点，PA=AC=2,BC=I.(I)求证：J"平面PBC:(II)求经过点八WC的球的表面积。5 .已知抛物线f=8(y+8)及.、，轴交点为M,动点PQ在抛物线上滑动，且MPMQ=O(1)求/过中点R的轨迹方程W;(2)点A.8.C.。在W上，A。关J，轴对称，过点。作切线/,且8(7及/平行，点。到A瓜AC的距离为4,4，且4+4=AD,证明：A48C为直角三角形6 .设函数.(1)求/(X)的极大值;(2)求证:1.2e1.nw(w-1.)(ff-2)21.(n2+)(2n+1.)(weN,)(3)当方程有唯一解时，方程g()=/矿(X)+竺二券二=O也有唯一解，求正实数f的值：函数的周期性及对称性1、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y=f(x)定义域内的任一变量X点有下列条件之一成立，则函数y=f(x)是冏期函数，且2是它的一个周期。f(x+a)=f(-a)f(x+a)=-f(x)f(x+a)=1.(x)f(x+a)=-1(x)2、函数的对称性及周期性性质5若函数y=f(x)同时关于直线x=a及x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数，且T=2-性质6、若函数y=f(x)同时关于点(a,0)及点<b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2-性质7、若函数y=f(x)既关于点(a,0)中心对称，又关于直线X=b釉对称，则函数f(x)必为周期函数，且T=4一3.函数)，=/(*)图象本身的对称性(自身对称)f(x+«)=±f(x+b),则f(x)具有周期性；若/(+x)=±S-幻，则/(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、U÷)=(fc-x)«y=(x)图象关于直线口'+.；S=)=W±薪推论hf(i+X)=f(a-x)o.v=/的图象关于直线V=a对称推论2、/(x)=J'(2a-x)Oy=/(x)的图象关于直线X=对称推论3、/(-a)=f2<+)<=>y=/(x)的图象关于直线X=a对称2、f(a+.r)+J'(b-X)=2cOy=应的图象关于点对称推论1、f(+)+f(a-x)=2b<>y=f(x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f(x)+f(2a-x)=2by=f(x)的图象关卜点(.b)对称推论3、f(-)+f(2a+x)=2be>y=f(x)的图象关于点(4,/，)对称例题分析：1 .设/(x)是(-»,+上的奇函数，f(x+2)=-/(x),当Ox1时，/(x)=X,则/(47.5)等于（八）0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.52、(山东)已知定义在K上的奇函数f(x)满意/(x+2)=-(%),则6)的值为()A.-1B.0C.1D.23 .设f(x)是定义在R上的奇函数,/(1)Zf(x+1)=/(j+6)./(10).4 .函数/(X)对于随意实数X满意条件,若/1=-5,则/1/(5)=5 .已知/")是定义在R上的奇函数，且它的图像关直线X=I对称。(1)求/(0)的值;(2)证明/(x)是周期函数；(3)若/(x)=x(0<x1.),求XeK时，函数/'(x)的解析式，并画出满意条件的函数fx至少一个周期的图象.6 .设f(x)是定义在R上的奇函数，且对随意实数M恒有f(x+2)=-/U).当x0,2时，"x)=2a(D求证：/Cr)是周期函数：(2)当“£2,4时,求f(x)的解析式.解：(1)证明：,.*fx-2)=/,(%),.*.U+4)=-f(x+2)=).”x)是周期为4的周期函数.(2)'.">v2,4,一%4,2>.*.4Xe1.O,2,f(4x)=2(4M(4x)=-Y+6-8.又,：r(4-)=-)=x),-Jfer)=-÷6-8,即f(x)=V-6x+8,x2,4.巩固练习：1 .函数人力是周期为4的偶函数，当x0,2时，NX)=X-1,则不等式(*)0在一1,3上的解集为().(1,3)B.(-1.DC.(-1,0)U(1,3)D.(-1,0)U(0,1)解析：选Cf(*)的图像如图.当xW(1,0)时，由(力>0得X£(1,0)；当x(O,D时，由(x)<0得当Xe(1,3)时，由(必0得%£(1,3).故*(-1,0)U(1,3).2 .设函数Fa)是定义在R上的偶函数，且对随意的*eR恒有f(x+D=f(I),已知当X£0,1时，/V)=",则:2是函数f(x)的周期：函数f(x)在(1,2)上递减，在3)上
