第4课时三角函数的图象与性质.docx
第4爆时三角函数的图叙与性质I.正弦函数,余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sinXy=cosxy=tanx图象y1.y11X¥&.0wy*Tf/。等，-I-IIIIII定义域RR+Ajt.21值域1.IJ1.IT,“R单调性21c21差增区间：2A11+f(*Z);的减区间：211÷>E+芋卜WZ)递增区间：2履it.211(Z);递减区间：2bt.2j+11(FZ)递增区间:k11版+哥(Z)最值.v=2jt11÷5(JtWZ)时,>w=hx=2k11-2伏Z)时，Vmin=I*=24MtWZ)时»y11j=1：x=211+11伏WZ)时，Vmm=-I无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心:(ku,0)(依Z)对称中心：11÷2t。批£对称中心：俘O)(JtZ)Z)对称轴：x=11÷5GeZ对称轴：x=k11,AZ无对称轴周期2112s32阴断以下结论的正误(正确的打“J”，错误的打“X”)(1.)y=sin.；上是增函数.(，)(2)y=sinx在第、四象限是增函数.(X)(3)所有的周期函数都有最小正周期.(X)(4)y=IanX在整个定义域上是增函数.(X)(5)y=sinx+1.(.rR)的最大值为+1.(×)(6W=SiniH为偶函数.(J>(7)y=sin讯和y=sinx的周期都是11.(X)(8)y=tanx的对称中心为(辰，0)伏Z).(X)假设Sinx>孚，那么QaX)(10)y=sinx与y=cosx同时为增的区间是(2fac一12A11.A,Z.()考点一有关三角函数的定义域、值域问题1.利用三角函数图象解简单的三角不等式命题点2.求三角函数的俏域(I)函数=1.gsinx+2cosX的定义域是.3.求三角函数与其它或合函数的值域sin>O,112cosx>0.例1|解析：Asin.v>0且COSXW作单位圆中三角的教级(图略)，211+j2A-11+11,AZ,，函数的定义域为:由履+为V2E+n.Z',答案：卜2fat+j.v<211+11,Z函数.=2sin管一W10WW9)的最大值与最小值之和为()A.2-3B.0C.-1D.-1.-3解析：利用三角西4t的性质先求出西敷的最值.c1.WCK1.K71771.0.v9.产¥一产不.闻/_翡邛,'.y-3,2),.*.J,max÷Vmin=2/5.答案：A当X亳，差!时，函数)=3-Sin1.2c(的最小值是,最大值是解析：卷,.sinw1又y=3-sinx-2cos.v=3-sina-2(1-sin*r)=2sinx-.当SinX=I时,加n=1.当Sin.T=3或SinX=叶，y11ux=2.方法引航I1.求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2.求解三角函数的值域(最值)常见的有以下几种类型：(I)形如y=0sinx+Z>cos+(的三角函数化为y-4sin(x+)+的形式,再求最值(值域).(2)形如y="sin2+加inx+c的三角函数.可先设SinX=八化为关于，的二次函数求值域(最值).形如y=sinXCoS.v+Z>(sin.v±cos.r)+c的三角函数，可先设I=Sin.v±cosx,化为关于r的二次函数求值域(最值).1 .假设将本例(I)变为y="T=丞oA,其定义域为.解析：12CoSQO,.'.cos,当Xe(0,2t)时，cos=cosJt=,.*.cosx,XW(：.).R时，COSXWT的解集为1.“+2履SXWK+2kt.AZ',答案：+2A11.vj11+2A-11.AZ2 .假设在本例(2)中,X的范闱变为“一1WXS9"，其它不变，如何选答案.解析：1.x9t,<g-11.Isin-y(-2.2,.vnun+ymin=0.答案：B3.假设将本例闭中的函数换为“)=5而一3+5访：05*引0,11',如何求解？解：令r=sin3-cosx,又x0,n,.7=ViSin(X一：)，(-1,2.由=sin8sx,一户一户得/2=1-2SinxeOsX,即sincosx=f-原函数变为),=+f-,(-1,2,即y:当/=I时，Vmax=1：当r=-1时，Vm1.n=5(2)2+I=-1.考点二三角函数的单调性和周期性命题1点I.求三角函数的最小正周期2 .求三角函数的单调区间3 .利用单调性、周期性求参数I例2(2016高考山东卷)函数yu)=(5Sinx+cos.v)(3cos1.Sin)的最小正周期是()A.B.113C.tD.211解析：法一：由超诙得(x)=3sin.tees-3sin2x+3cos2A-sin.rcosX=Sin2v+3cos2,v=.故该函数的最小正周期T=%E=兀应选B.法二：由凝愈得v)=2sin(.t+×2cos(x+*2sin(2r+"故该函数的最小正周期T=y=.应选B.答案：B（2）（2016湖北武汉模拟）设函数公）=人sin3x+“AX）,80,期司与直线y=3的交点的横坐标构成以n为公差的等差数列，且工=*是Kr）图象的一条对称轴，那么以下区间中不是函数Kr）的单调递增区间的是（）11一3,一411一J1.B一O1.一c(M-三3一511.6,解析：由意冉4=3,T=R,.0=2.(.t)=3sin(2A-+9),又/£)=3或/)=3,11-611-211-6义:厕号.R吟.,./）=3斌2丫+到45+2112+2A11.Z.1.O27+11x7+11,*ZJ0故当=-1.时，危）的增区间为一表.一到，当E）时，（r）的增区间为一品2，当k=1时，府）的塔区间为I久卷,应选D.答案：D（3）e>0,函数式D=Sin（QX+：）在6，Ji）上单调递减，那么的取值范围是（）“一，加211-411-4+严如答案：A方法引航形如V=in(3+0的函数的单调区间的求法1111三BB三,(1)代换法,假设A>0,>0,把®x+e看作是一个整体，由2+2H<ax+9*+21.3112履(4Z)求得函数的增区间，由2+2W3x+夕W2+2E(4Z)求得函数的减区间.,假设A>(),s<(),那么利用诱导公式先将。的符号化为正，再利用的方法，或根图复合函数的单调性规律进行求解.(2)图宅法：感出三角函数图然，利用图象求函数的单调区间,对于函数的单谡区间的某一局部确定参数”的范围的问题，首先,明确的单调区间应为函数的单调区间的子集；箕次，要确定函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解.1 .函数©=2sin(2&x加>0)的最大值与最小正周期相同，那么函数人目在1.1.II上的维调增区间为.解析：由腱知言=2,得Q=I11,.U)=2sin(u-£).令一T+211Wi1.RWZ,解得一1+2jtWxw(+2,Z,案答3-4所以函数於)在1.I,I1.上的单调递增区间为Id萼2 .假设聘本例(3)改为4X)=Sin在(去J上为增函数(卬>0),如何求”的范围?解：当今VVj时，竿VeoAyft11®>0)二等,11)22O.sj'5co*.2»考点三三角函数的奇偶性、对称性1.判断三角函数的奇偶性命题点2.求-：角函数的对称轴、对称中心3 .利用奇偶性、对称性求参数I例3(1)以下函数一，最小正用期为人且为奇函数的是()A.y=cosQf+9)B.)'=sin(1.r+4)C.y=sin2+cos2aD-y=sina÷cosx解析：对于A,y=cosZv+5)=-sin2x,7=Jr为奇函数，应选A.答案：A(2)(2016,高考全国甲卷)假设将函数厂2sin2r的图象向左平移盍个里位长度，那么平移后图象的对称轴为()A.r=-(Z)B.x=#+加WZ)C.x=-'p(Z)D.r=7÷y5(Z)解析：法一：将晶数y=2sinIr的图象向左平彳哈个单位长度，得到y=2sin2(x+=2sin(2r+M的图强由2.v+=+A11(Z).*.x=g+11.(Z),即平移后图象的对称轴为X=:+酬WZ).法二：.y=2sin2r的对爵轴为x=：+&,向左平移盍个单位后为X=:一言+%=会+1应选B.答案:B(2017.吉林长春模拟)函数尺0=3心+”画词向左平移沙单位后是奇函数，那么函数加在,手上的最小值为.解析：函数Kr)=Sin(2x+sGJ1.V卦句左平移看个单位后得到函效为彳x+*=SiJ2.r÷+>sin2+f>|,因为此时函数为在函数，所以：+伊=人6伏Z),所以3=冶+/(£2).因为MVT，所以当Jt=O时，=J.所以.r)=si当OWXW时，2v-y.即当2丫_'=一彳时,答案:-当函数/(x)=sin(21.§有最小值为sin(一：)=坐(4)(2017湖南六校联考)假设函数HX)=sinx+bcosx(0<<5,bW0)的图象的一条对称轴方程是X=合，函数/(X)的图象的一个对称中心是，0),那么凡r)的最小正周期是又/(*。,"ecos会sin余)=0解析：由飕设，得尼;J=±亦即平(”+)=±>/加+分,/.a=b./.tan1.v11=11+?,.=Sk+2,(AZ)oQ而OVft>V5.OV8k+2V5.,.=0,=2,.U)=0(sin2+cos2)=5sin2.t,T-«2-11,答案：11方法引航I函数儿V)=A3n(sx+同的奇偶性和对称性(I)假设凡T)=ASin(ex+e)为偶函数，那么当X=O时，火K)取得最大或最小值；假设/U)=ASin(ex+伊)为奇滂数，那么当X=O时，/（八）=0.(2)时于函数y=Asin(sx+0，其时称轴一定经过图里的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x=.m或点0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检测大加)的值进行判断.(3)求形如>=4sin(ttw+刃或),=Acos(sx+
