第三章--弯曲内力.docx

第三章弯曲内力内容提要一、平面弯曲的概念具有纵向对称平面的梁，当荷载作用在其纵向对称平面内时，变形后梁的轴线位于纵向对称平面内，这种弯曲称为平面弯曲。二、梁的内力I、梁的横截面上的内力剪刀Q一横截面上切向分布内力的合力弯矩W一横截面上法向分布内力的合力偶矩II、用截面法求指定截面上的内力1 .截面法：将梁沿拟求内力的截面”切J）截开，取任一局部为别离体，由别离体的平衡条件求内力。（图3-1,a、b、C）2 .&和M的正负号使dr微段产生顺时针错动的剪刀用为正（图32,a）,反之为负（图32,b）。使公微段产生下部受拉的弯矩M为正（图3-2,c）,反之为负（图3-2,（1）»因为内力是由别离体的平衡条件求出的，故可根据外力情况判断外力在指定截面上产生的内力的正负号。横向力绕指定截面顺时针错时,该力在指定截面上产生的剪力为正（图4-2,e、g）,反之为负（图3-2,f、h）.外力（横向力或力偶）使别离体下部受拉时，该力在指定截面上产生的弯矩为正（图5-2,e、h）,反之为负（图5-2,f、g）3.由被而法的运算可知a.指定械面上剪力的数值等该截面一侧所有外力的代数和：b.指定截面上弯矩的数值等于该截面一侧所有外力对该截面形心的力矩代数和。三、梁的剪力图和弯矩图1、以横坐标X表示横截面位置，纵坐标人表示各横截面剪力的大小的图形称为剪力图：以横坐标X表示横截面位置，纵坐标M表示各横截面弯矩的大小的图形，称为弯矩图。土建工程上习惯上把弯矩图画在受拉侧（纵坐标M向下为正）。11、由剪力方程和弯矩方程作图以X表示横截面位置，函数户（“、（x）分别为剪力方程和弯矩方程。可以根据E（X）和M（X）分别作FS和M图。IIk用简易法作内力图1.4（6、£（*）及（x）之间的微分关系取坐标AQy如图3-3所示，q（x）向上为正。由图3-3b所示dx微段的平衡方程得<F（）.Vr（X）（3T）粤立明（3-2）笔（x）（3-3）嗡含式（3/）、（3-2）、（3-3）分别表示，剪力图上某点处的切线斜率等于该点处的荷载集度：弯矩图上某点处切线的斜率等该点处的剪力：弯矩图上在某点的二阶导数等下该点的荷载集度。2.集中荷载作用处剪力图和驾,rF矩图的特征。Afm；a在集中力厂作用处的两侧面上UX（图34,a、b）,有（«）MF,=F+F,M2=f1I&一4集中力F作用处两侧极面上剪力有突变，突变值为集中力尺两侧截面的弯矩相等，但弯矩图的斜率有突变。b.在集中力偶M,作用处两侧面上（图34,a、c），有Fts=F,M,=M1.+Mf集中力偶MC作用处两侧面上的剪力相等，两侧面上弯矩有突变，突变值等于集中力偶值。3.荷载和以、Af图形状的对应关系荷载G图M图4=0段水平线（£=0）斜直线（水平线）q(x)=%(常量)斜直线抛物线，凸向和q的指向相同W=OM（%）为极值集中”作用处突变，突变值等丁尸尖角（斜率突变）集中力偶Me作用处无变化突变,突变值等于Me受力（支反力和荷数）对称反对称，对称轴截面上E=O对称受力（支反力和荷载）反对称对称反对称，对称轴截面上M=O4.用简易法作内力图的步歌a.求支反力（悬壁梁可不必求支反力）b.根据荷载情况判断内力图形状根据受力情况对梁进行分段，使每段只有一种形式的荷载，根据荷载情况判断其内力图形状。c.计郛控制截面的内力值。根据内力图的形状，计算其控制截面的内力值。例如，内力图为水平线,只需个内力值：内力图为斜直线，需要两端点的内力值：内力图为地物线，需两端点及极值点的内力值；此外还要计兑集中力作用处两(W面上的剪力值，以及集中力偶作用处两侧面的弯矩值。<1.根据内力图的形状，分别用直线或曲线将各控制点连接起来，即为所求内力图。用简易作内力图，是本章的重点，一定要熟练掌握.四、平面用柒和平面曲杆的内力图平面刚架和平面曲杆横截面上的内力股有轴力、剪力和弯矩。轴力仍以拉为正，剪力仍以绕别离体瞰时针错动为正.轴力图和剪力图画在结构轴线的任i侧，但要标明正负号，弯矩图阿在受拉侧不用标明正负号。圆环形平面曲杆，用极坐标表示横截面位置，一般要列内力方程，再根据内力方程画内力图。例3-1用简易法画图”所示外伸梁的剪力图和弯矩图.解：I.求支反力F1.=IOkN(T),吊=5kN(T)2 .作剪力图CA,八。段的剪力图为水平线，A截面处剪力发生突变，段剪力图为斜直线。用截面法求得Fm,i=-3kN,Fm(i=-3+10=7kN.Fw=5kN剪力图如图b所示，利用剪力图上两相似三角形的关系，确定剪刀等于零的E截面的位置如图方所示。3 .作弯矩图CA、八。段的弯矩图为斜直线，A截面处弯矩有尖角，段的弯矩图为下凸的抛物线，。被面处弯矩发生突变，E截面的弯矩为极值。用截面法求得Mmi=-31.2+100.6=2.4kNm.=2.4-3.6=-1.2kNmM1.；=5O.5-IO×O-52=1.25kNm,Mn=O弯矩图如图C所示。例3-2作图所示组合梁的剪力图和弯矩图。解：1.求反力将梁从中间较C稍右处裁开,由Cfi局部的平衡条件得C、8截面的支反力，将C处支反力反向加在AC段的C截面处如图所示。2 .作剪力图例3-2图AC.CB段的电力图均为斜直线，C截面处剪力发生突变,由截面法求得剪力图如图C所示。3 .作弯矩图Ac段的弯矩图为下凸的抛物线，C8段的弯矩图为上凸的抛物线，由搬面法求得Mr=0,Mff=Fa弯矩如图d所示。讨论：1.AC段为悬梁的根本局部，CB梁为附属局部。CB梁上的荷载要传递到AC梁上，进行受力分析时先分析附属局部再分析根本局部。2.关于中间校处的集中力凡可以认为尸力作用在AC段的C截面处(图切，也可以认为F力作用在CB段的C截面处(图e),两种处理方法结果相同。例3-3筒支梁的剪力图和当矩图的形状及局部内力值分别如图。、。所示。试求此梁上诸荷教的形式及数值，并补齐内力图的内力值。解：1.由剪力图分析梁上的荷载以C截而右侧梁段为别离体Fscf=F11-2(=0,得g=4kN/m2.由弯矩图分析梁上的荷载并补充内力图的内力值Mn,=3kNm,Mn.=5kN-n,故。截面有*XC1.顺时针转的力偶矩M,=2kNm,以C截面左侧梁段为别幽体，得荷支梁上各荷载及反力如图C所示。为了验证以上分析是否正确.可用平衡方程校核支反力，再检查剪力图和弯矩图。例3-4一根置于地基上的梁受荷我如图a所示，假设地基反力是均匀分布的。试求地基反力的荷载集度以，并作梁的剪力及弯矩图。%16AC段的剪力图为水平线，A.=6kN,故AC段上无分布荷载和集中力，支反力用=6kN(T).Fvcv=6kN.EcG=0，故C截面有向卜的集中力广=6kN。CB段的剪力图为向右下方倾斜的直级，为负，故CB段上有向下的均布荷教q,&=-81支反力外=81。解：1求地基反力外由=-q=%温得/=；缶2.剪力方程及剪力图取别离体如图b所示，(o%)</(-*)=与v(-t)=WTq(力=g%-g停%卜啮(八犷)用口)的极值点位置为噜啮(引=。即=%G(X)=O的位置为Fs(x)(1.x-2xi),x,=0,¾=2当*=%时，5啡咐卜W再根据对称结构,受对称荷我,剪力图是关跨中截面为反对称的，剪力图如图C所示。3.弯矩方程及弯矩图M(X)极值点的位置，为尸(X)=O的位置，即A=O.X=%由警1啮(i)故0x%时，A1.图为上凸曲线：%MxM%,Af图为下凸曲线。x<%J2M(x)dx'<0再根据对称结构受对称荷载，弯矩图关于路中截为对称的，弯矩图如图”所示。例3-5图所示矩形叔面外伸梁受移动荷载F作用，材料的拉压强度相等。试求活动较支座的合理位置a«解：当F位TC截面时，Af图如图b所示，A。=-&：当尸位Tfi的中央技面。时,A1.图如图C所示0M=f(-).当Md=-Mh时M1.-F(1.-a)=Fa即4此时，M,=-Mji=F5,最大正弯矩和绝对值最大的负弯矩均为最小值,梁的最大正应力（见第五章）为最小,可以充分利用材料抵抗强度破坏的能力,故。=5为活动较支座的合理位置。聿例3-6矩形截面的组合梁如图a所示，受移动荷栽F作用，材料的拉压强度相等。试求中间校B和活动较支座C的合理位置X1和X2。解：同例3-5一样，使梁的最大正弯矩和绝对俏最大的负弯矩为最小时，中间皎B和活幼校支座C的位置是合理的。所不同的是该题有两个未知员，分析如下1 .当位3截面时,弯矩图如图b所示.2 .当广位于BC之中点£截面时，弯矩图如图C所示。吃=TEV%="（，F-X2）M3 .当尸位于。截面时，弯矩图如图a所示。Me=-Fx2,t=4 .由弯矩图可见，负弯矩为MA=-FX，.1M>MJ令MA=MCFx1.=Fx1.即芭=q负弯矩的绝对值最大值为小（打加（1）正弯矩为Afr=-F（Z-X1.-X2）得If(Z-X1-X2)=Fx2(2)工,=占=幺3)O令3的"|将代入式,得此时，M.-H,M.=-F1.,M,=-11t606%24令MA=IMC1.FS,(4)将(1)代入(4)式，得X1.=X2=(9此时，f,=-FI,Mc=-F1.Me=-F1.,3312可见，M=毛=，为中间校B和活动校支座C的合理位置。例3-7作图"所示刚架的内力图。解：以A8局部(图力为别离体由6=0,七=%以BCD局部为别离体，并将Fg反向加在BCD部的B截而处(图c)由X=0,FOy=gqa+qa=3qaF、G及M图分别如图d、C及所示。取节点8为别离为别离体，8节点满足ZK=O,Fv=0.Z1.W”=0故以上内力图无误。由M*.="“>可知，在刚架结点处只要没有力偶作用，,r定有MeC=Mr,且为同侧(外侧F1.A或内切受拉。一一°*例3-8图示半圆形曲杆，（八）沿圆弧的切线方向受均布荷载q作用。试求支反力，并列出轴力、剪刀和弯矩方程。解：在图0中，由ZM71=O.A；×2=(cR(1.)R+cos)=qR111得F=*nRqZ5=O得F辰=R(qRd8)sin8=%R(<-)ZK=O得K+%=RM")cos0=O取别离体如图所示由ZE=。，Fv(>)=-cos+(qRdO)cos'-0=-cos+(/RsinO2。2ZK=O,得(p)=-y-sin>+'(qW8)sinSinP+gR(1.-cos®)Z，%.=0,=-'f-(-cos<o)-(qRd)R1.-cos(-<?)|=WCOii夕STinq）（内侧受拉为正）