第五讲-定积分的应用.docx

第五讲定积分应用一、回忆上节内容1 .无穷区间上的广义枳分：2 .瑕积分：3 .GUnMna西缸二'本节内容1 .元素法；2 .平面图形的面枳：3 .立体的体积；4 .平面曲姣的弧长；5 .受力沿直鼓所作的功.I教学目的与要求I1.熟练掌握座用徵元法去解决积分中的实际应用题：6 .熟悉各种平面面积的积分表达方法；7 .熟练掌握应用微元法求体枳的方法；8 .能用定积分表达某些物理量.I敦学重点与魔点I元素法的理解及其灵活运用.§5.5定积分的应用本节我们将应用前面学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理、经济方面的问愁.通过这些例子，不仅在于成立计算这些几何、物理量的公式,而且史史妥的是介绍运用“微元法”将所求的贵归结为定积分的方法.一、微元法在利用定积分研究解决实除问选时，常采用所谓“微无法”.为了说明这种方法，我们先回忆一下用定积分求解曲边林形面积问题的方法和步骤.设/(X)在区间a,b上连续，且/（八）0,求以曲线J=/（八）为曲边的a,b上的曲边理彩的面积A.把这个面积A表示为定积分A=J7(x)d,求面积人的思路是“分割、近似求和、取极限”即：第一步：将“,方分成“个小区冏，相应地把曲边梯舫分成"个小曲边林彩，其面积记作A,(i=1.,2,那么第二步：计算每个小区间上面枳&V的近似位A1.f(1.)1.(xi.,1xj;第三步：求和得A的近似色第B步:取极限得A=Iim力fC=hf(x)dx.人>1).J=1.在上述问题中我们注恁到，所求量(即而枳人)与区间IaJH有关，如果把区间分成许多局部区间，那么所求量相应地分成许多局部量(AAJ,而所求量等于所有局部量之和,(如A=SM,),这一性质爵为所求量对于区间a,b具有可加性.i-1在上述计算曲边杯彩的面积时，上述臼步中最关键是第二、四两步，有了第二步中的A,/(1)A,枳分的主要形式就已经形成.为了以后使用方便，可把上述四步嫁括为下面两步，设所求量为U,区间为wW.第一步：在区间口上任取一小区间x,x+dr,并求出相应于这个小区间的局部量AU的近似值，如果AU能,近似地表示为/(x)在x,x+dc左端点X处的值与公的乘积f(.x)dx,就把J,(.r)dv称为所求量U的微元，记作4(7,即dU=fxdx:第二步：以所求量U的崇元H=(x)去为被枳表达式，在血力上作定积分.得U=V()d,这就是所求量U的积分表达式.这个方法称为“硬元法下面我们将应用此方法来讨论几何、物理中的一些问题.二、平面图形的面积(一设平面图形由连续曲线)，=E(X),)，=/式外及直线*=,x=/，所困成，并且在,±i()/,(A-)(ff1.5-7,图58),那么这块图形的面积为='U（x）-kZv.1事实上，小区.,+dx上的面积然元dS=1.ft（八）-f2（x）dx,于是所求平面图身的面积为A="-人（x）g.41图57图58二设平面图形由连续曲线K=g（y）,x=心（）,）及直线F=<：，）,="所限成，并且在c,d上g（y）死口）（图59）,那么这块图彩的面积为2)例1计算由两条抛物级./=X和y=X2所图平面图形的面枳（图510）.解（方法一）为了确定枳分的上、下根，先求出这两条曲蝮的支点（0.0）和（IQ,在区间OJJ上、G>/，代人公式（1得所求而枳为4='1.x-xi）J=x-J；=1.（方法二）先求出两曲线的交点（0,0）和（IJ）,在区间0上J7±./,代入公式C2岸所求而积A=J-户力=1例2计算地物蝮V=2x与直线x-y=4所围平面图用的面积（图5-11）.解（方法一）求出两条曲线的交点-2）和（8.4）,所求面积（方法二）用直线x=2将图形分成两局部，左侧图形的面积A=Jj后-（-岳）心=2V所M1.>=y：右侧图形的面积4=J：岳-*-4）d=竿x；-；/+4x：=g.所求图形的面积05-11图512注：由例2可知，对同一问题，有时可选取不同的积分变量进行计算，计算的堆当程度往往不同，因此在实体计算时，应选取适宜的枳分变量，使计算荷化.三、体积（一平行检面的立体体积设有一立体（图512）,其垂克于X轴的截面面积强.连续函数5（.0,且立体位于X=.x=力两点处垂直于K轴的两个平面之间,求此立体的体积.在区间a,b上任取一个小区间EX+<Zv,此区间相应的小立体体积可以用底面积为S（X）,高为公的局粒体的体枳小，=S（xdx近似代替.即体枳微元dv=S（x）dx,于是所求立体的体枳3)=JS(x)dx.例3平面经过半径为式的圆柱体的底面直径八8,并与底面交成角,求此平面极圆柱体所殍禊形的体积图5-131解取直径AB所在的直线为K轴，底面中心为原点，这时垂直于X轴的各个板面都是立角三角形，它的一个就角为a,这个校.府的邻边长度为JW-X2,这祥极面面枳为5(.v)=-(/?'-Jr)tana,2因此所求体积为V=f*工面-X2)tanca1.x=-(ancr?2x-J-R223野.a513二茂杆体的体积设有一曲边梯彩，由连续曲线.>=f(.r),X轴及直线彩绕X轴旋转一周所舫成的旋转体(图514)的体枳.在«川上任取一个区间x.x+d1.如图5-14所示.径等于y=/(-)ft1.S,因此故面面枳A(X)=町=足/(幻/.2=-R'tana.3图514x=ax=所困成，求此曲边那在点K处垂直于X轴的微面是半由公式3得旋转体体枳“jy2dx=11(.r)2t1.例4将抛物线.V=/,*轴及立线X的旋转体的体积.解根据公式(4件v=11yidx假设平面图形是曲连续曲线J=0.X=2所围成的平面图/绕X轴旋转.求所形成='.t4dr=,.P=/i(<v).y=2(<v)(不妨设0f(K)f2(.v)及X=a,X=8所困成的平面图形，那么该图形绕X轴旋转一周所舫成的立体体积V=22(X)-Z2WUv.15)例5求圆X2+(.V-b)'=a'(O<a<b)x轴旋转所形成的立体体积.R1.5-15解由图515知，该立体是由Iy1.=I，+，/-A=,y2=i)-ya2-X2以及X=ax=国成的平面图形绕X轴旋转所生成的立体.由公式5)知V=(b+ya'-X2)2-(b-2-x')2<Zr=,4a,2-x2dx=4？,-arcsm-+-ai-x:匕=211zazb.2a2用类似的方法可求得曲线X=g(y)x=g2(y)(不妨设03(y)%(y)及直线)，=c,F=d(c<d)所围成的图舫浇)轴旋转一周而生成的凝转体的体积V=g：(y)-g12(.v)k6'.16四、平面曲线的弧长(一)直角坐标情彩设的数)，=/*)具有一阶连续导致，计算曲线y=/(X)上相应于X从。到，,的一段很长.取X为积分堂量，它的变化区间为例.在.与上任取一个小区间x.x+dr,与该区间相应的小段弧的长度可以用该曲线在点(Xj(X)处的切娱上相应的一小段长度来近似代若.从而得到孤长元*dS=(<)i+(Jy)2='1.+/2,于是所求孤长S="1.+2dv.7)例6求处物线y=1.d在点。(0.0),A之间的一段孤长.22解由公式17),所求孤长S=JR1.+)Cdx=y+x(ix'+J1.n(+J1.+"，).=-V1.+a2二）参数方程恰好x=()(atf1.),y=Mf)设曲线的参数方程为：计算这段曲级的孤长.取参数r为积分变量，它的变化区间为陵,川，孤长然元dS=J(dr)'+(力)'=y'(t)dt'+t)dt=y(t)+y,2(t)dt于是所求孤长为S=J：-(r)+<e().8)例7求接蝮=(-sin)一拱(02)的长度(其中0>0).y-(1.-COS1.)M由公式所求/长S=J：ya2(-cost)2+a2sin2tdt=4J：J2(1.-CoSr5=2/J：Sing力=2-2cos1.1.7c=8”五、变力沿直线所作的功由物理学知道，如果物体在近线运动的过程中有一个不变的力”作用在这个物体上，且该力的方向与物体运动的方向一致，那么，在物体移动距离S时，力尸对物体所作的功W=FS.假设物体在运动中所受到的力是变化的，那么此情况下就是变力沿直线作功问题.设物体在变力FCV）作用下从x=移动到x=.取小区间x.r+d1.在这段距离内物体受力可近似等于尸（.0,所以功元素为小V=（.r）Uv,故W=J：尸（）dr.（9）例8设在。点放置一个带电量为+q的点电荷，由物理学知，这时它的周围会产生一个电场，这个电场对周围的电荷有作用力.今有一单位正电荷从A点港近蝮。4方向被移至点8,求电场力F对它作的功.解取过点QA的近蝮为r轴，QA的方向为轴的正向，设点、A3的坐标分别为由物理学知，单位正电.荷在点/时立场对它的作用力由公式(9，也场力对它所作的功W=VF(r)dr=fA-<r=A(-"=A(-71.iaiarrab假设电荷从A点被移至无客远处，这时电场力对它所作的功W=k-dr=.Jd广a六、经济应用问题举例例9某产品总产量的变化率是时间/(单位：年)的西数，/()=3+60(>0求第一个五年和第二个五年的总产量各为多少？解因为思产量。(，)是它的变化率/的原函数，所以第一个五年的思产量为'jtdt=+6)<=(-3Z2+6()=67.5(单fi);O*120第二个五年的总产量为_IO，'，(/)市="|(3+6)J=(-r+6/)=1425(单位).SS25例10设某产品的总本钱。(单位：万元)的变化率是产量X(单位：百台)的晶数C(X)=4+土.总收益R(单位：万元)的变化率是产量X的晶数R'(x)=8-X.4(1)求产量由1百台增加到5百台时总本钱与总收益各增加多少？(2)求产量为多少时，总利泗1.靛大.(3) 固定本钱C(O)=I(万元)，分别求出总本钱、总利润与总产量的函数关系式.(4)求总利润最大时的总利润、总本钱与总妆益.M(1)产量由1百台增加到5百台时总本钱与总收益分别为2sC='(4+)iZv=(4+y)=191万元：=8-.v)d-=(8x-x2)=201万元).(2)由于总利涧1.(x)=(.y)-C(),故TS1.f(x)=T(x)-C(x)=(8-x)-(4+-)=4-x.441.,(x)=0,得=3.2(百台)