线性代数历年考研试题之计算题与证明题.docx
三、计算题与证明题U1987-IJ1.)何«,h为何的时我性方程蛆.r1+,r2+.q+xi=0,x2+2xj+2.v4=1.-xi+(-3)x3-24=b.3x1+2+X,+v,=-1为唯解.无解.有无治多俎解?并求出有无分多讥弱时的通好.【考点】II：齐次奴性方程现第的理论的应用.M方法-ti=AZ>11I100I22100«-106+1000-1.0当K（八）=4=4*1时.方程如有惟解:<2)"ia=1时.方程组无帆或无穷多解,此时1III00I22：I0000b+100000B=/1Z>当=-1时.R（八）=&(8)=2<4.方程组仃无方多解:此时方程组的地鲫为X=K当K-I时.R（八）=2.R(B)=3.方程组无解.练上可得：当。工1时.方程祖在惦傲当a=i,b-时,方程凯仃无方多帐GHia=H-I时,方程现无好.方法二程组的系数行列式W1.=(-D2.< D½=（-1.）2=1时.力蜴纨有惟-«：（2）以下同方法一,Ctt*< D含仃参数的线性方程组的解的讨论都足用方法一或方法二解决.但方法具有普遍件.即达类“虺都可用方法一求解;方法二具有特殊性,其适用苞国是：方程的个数等于未知数的个数；力和绢的系数行列式台参tt< 2）求解这类阿咫的美at点是先讨论方程组仃怕解的情形.内讨论无解或无分多解.切记切记.24I987-h1.9W-N）设A为”阶矩阵.4和4是A的两个不同的特征低;$,与足分别Wr，4和4的特加向W.iuEJ,+/不是A的特征向,【考点】特征伤的定义.性或及向G凯慢性相（无）关的定义.M反证法假设玉+电是A的特征向眉，那么存在数人使得4西+勺）=2（司+勺），那么（2-）x1+（2-）.v,=0.2-=0内为4工人,所以牛X,奴性无关,那么1.,=>4=人,矛商Z-Zj=0【注】班阵的不同的特在仇所对的特怔向我践性无关.'423-M1987-IV,V设矩内A和B满足关泰式AB=A+28,其中A=II0,求处阵B.-I23【考点】洛亚阵方程.MiB=A+2B=>B=（A-2E）'A4.(1987N.V)蟀戊性方程讥2xi-X2+4xj-3;=-4.V1+Xj-X4=-3,3,V1.+X,+Xj=1,7x1+7x-3x4=3.【考点】求新：齐次畿性力用组.'2-14-3-4-10103-101-1；-3rO1-20-8鳏B=(Ab)=30001110I6707-3300000X1=-Xj+3i1.1.R（八）=R(B)=3v4W方程if1.有无穷多解.与理配的解Xi-28-8冷3=k符方程粗的通解X3=6-3-I25.(19K7-N.V)求矩阵A=O-14的女特征位及对血的特征向Iit-1OI【考点】未私阵的特征值及相征向第鳏A-E=(1.-)(2+4+5).WA的实特征位之=1.好(A-E)X=Oiy其对应的特征向M0X=k2.其中&为不为零的任意常数.求A及A'.【考点】鼾中内方程股求中对的康.100'/P=,B=>=I,BP'=200.6-1-1As=PP'=PBP1=A.【注意】假设人=/>8/?|.那么河=阳?"：股地设。(工)=“”*冏+qx+4.那么方阵A的多项式夕（八）=tnAm+-+d1.A+a,iE=P(B)P'.71988-1.IDffiftA=(1)求X与_y；(2)求个满足-'AP=A的可逆Xi阵P.I考点】相以矩丙的性修及般如阡的对角化方法.«方法一人与B相似.那么IA-月耳=步一夭E.即(2-Xj-x-1.)=(2-Xj+(1.-y)-y),比拟系数.得-x=1.->'Ja-=O1.->=-y=1.'=I方法二:B的转征tf为2,y,-1.1.M,JB相似,那么A的魁汗色为2,y,-1.tt2+y+(-1.)=2+0+xJx=O2>(-1.)=4=-2=y=1.Ctt*方法JUi般性:方法.R有特殊性(为什么?)如果利用方法.得到的不是惟一.那么方法.二失效.但方法:比拟简中*W坡空与选界时用方法二.做善时用方法一.(2)分别求出A的对心普征救4=2,A2=-I的葭兀的特征向量为I00令可逆如/P=巧P2PJ=01T.那么PTAP=8011M98IV)设3阶方阵A的伴随矩阵为4:且同=；.求(3A)T-2f.【考点】矩阵运算的性质.解(3A,-2A=A-i-2AA-'=_：Ai.所以心-24修+喙IATi=号由=-舁(3A)T_2A，=AT-2/f=1,22A，=&A'.那么33M3(3A)-'-2A"=-A,=(-1.)jA,=-3'=-.【注意】求解此类向氏Tft是轿行列之中的大干先化的M求行列式,此处用到矩阵的如FttVi:(M),Af0：ATk令a=mw=削A=k9(1988-IV.V)设向城i11,2，,(s2)线性无关J1.=1.+az.,=a2+4.,/J1=a1.1+ai,=a,+1.讨论向超4.用0的线性相关性.【考点】向我机的段性相关性的刘刚方法解JMfc-:2A1+x22+-+x,A=0.B(芭+.V,)6r1+(.v1+x,),+.+(i.1+XM=0.玉+工,=0X1+x,=0因为q.a*.,线性无关.那么*.凡系数行列式V.+v,=0100O1.11000A=011.00=1+(-1)*-'.000.II"is为奇敢JAI=2工0,方程狙只#专斛,那么向Mfn4,四，.戊线性无关;当S为偶次IA1.=O.方程也有等零解,那么向T组片.网,内找性相关.方法二湿然f0001、110000%,比）=,a）0II00=（即/,）K.:000IIJ因为q.4,.a,我性无美.那么K(先,自.JMminIK(q.4,.a,),R(K)=R(K)(I)A(K)=So1.KI=1+(I)Z关O=S为价数时.M,生”，戊)=S,儿么向M班4M,及线性无关；(2)R(K)<soK=1.+(DZ=OnS为弱数时，打屈,人,，儿)<$,那么向Irta1.修.凡,.艮戊性相关.(tt*)4.可由.1.t,线性表示的具体友达式.且.,.线性无关时.川方法二求解一般软阖便.假设B可逆.那么R(AB)=R（八）.般地R(AB)min/?（八）.R(B).即乘枳用阵的帙不小于异个因子的秩.X1+x2+2x,+3-4=IIOXWSS-R-.V)改戏性方程织为x1.+3.t1+6.tj+x4=33x-X2-ktxy+15x4=3,何4与生取何值时,方程Ifi无解？有带-.r1-5.v,-IO.+12.v,1.=ki1I23B=(AI加=136I3-1kt151-5-1012稣？a无弁多嘛?"无力多解时.求其一段解.【考点】含蓄数的统性方程也黑的讨论.M方法一”般情形)11123I3r012-123>00-4+224Jt2-J0003公+5(1消R（八）=砥8)=40-%+2=0。KH2此方程组彳J怖一解;23(21>,i1=2n1.i2.那么22-10100当内工1时,R（八）=3R(B)=A.力出组无物当为=1时，/«A)=A(8)=3V4.方程坦彳无声UW.11'1000?-8'OOOOi0综上:当，2时.力行纲行推解:当ki=21.k2时.方丁无解:当尢=2且玲=1时.方物现有无穷。解,且依然为式.方法二:用姝侪形)方程组的系数行列式IA1.=6(2仁).当W=6(2匕)O=K工2时.力科组有惟M以下同方法.1.(1988-V)”阶方降A濡足如阳方程AZ-BA-ZE=。.证明A可逆.并求出其逆矩伸A1.【考点】抽般矩阵处求逆.解由A1-34-2E=O=4-=E=>A可逆1.A0，1II.1.i2Of15=12212.（1989-I出）何/为何依时.&性方程组X1+Xj=.<4A1+-,+2x3=2+2.6i+x,+4.tj=2+3有解.并求H1.期的般形式.【考点】含参敬的十齐次注件方程组鳏的时说及非齐次线性方程祖的求超.IOIi0I-2：-3+2000：-A+1IOI解8=A沏=412：+2614：2+3线性方程tn有蟀=K（八）=K（8）o-4+1=0=4=1,箕理解为-1IX=k2+1为任氢新ttI_I13.(1989-IJD假设4为“阶可逆矩阵A的一个特证向证明:<)J为A1的特征值；<2)14为A的伴Ia也阵A'的特征值.【考点】特征例的®(念.S设A时应于特征(ftz的特征向中为X.戕么>ir1Av=>4'(Av)=A-I(x)=>A'x-x=>A'x=x.(2)A,v=.r=>4'(Aa)=4'(a)=>4'x=4x=>14,.v=-.r.014.(1989-MV)X=AX+3.共中A=-I-0.求矩阵X.-3Z【考点】解矩阵方程.0211-13-I-32120=200-1I5-3IIX=(E-A)1B=I5.(i989-1.>itt1=(I,I,).,=(1.2,3).1.=(1.,3j).（I：问当J为何力时向慢性无关？12：问为何位时.向卞组a.aj线性相关?(3)一向粗线性相关时.符求东为和4的线性纲合.【考点】含叁数的向M组炒性相美性的讨论值来向ttI1.iPiM祖蝶性表水的具体<fe示式.M方法一口般怙形);5时.软6.J=犬（a：M；.a；）=3=q.%M,慢性无关;<2>"Z=5t.R（a,a2,aJ=/?（a：.a；,a：）=2<3na,a2,aj线性相关:<3>”“=5时.(。：.。；，1：)=a：-i+2a；=>a,=-ai+
