函数思想在等差数列中的应用.docx
函数思想在等差数列中的应用教学目标1 .对等差数列的概念、通项公式、前n项和公式的相识进一步深化，提高学生解决问题的实力.2.帮助引导学生用函数的观点看待数列，借助函数的探讨方法探讨数列.教学重点和难点用函数的思想探讨等差数列.教学过程设计（一）复习引入师：我们已学习了数列的基本学问，等差数列的定义、通项公式与前n项和的公式，今日，我们一起应用这些学问来解决一些问题.请看题目.练习：已知an是等差数列,其中m=31,公差d=-8.求数列前n项和的最大值，并求出对应n的取值.师：拿到这个题目，大家有什么想法？生：我一下子得不出S,的最大值.不过师：那你能得出些什么？生：我可以得出aa+d=31-8=23,a.-a,+2d=31-8×2=15,at=a,+3d=31-8×3=7,=a+4d=31-8×4=-1.,ai=a1.+5d=31-8×5=-9,（学生口述，老师板书）师：既然得出f这些，不就可以得到对应的S“的值/吗？生:可以.S产31,S2=S+at=54rS3=S2+a3=69.S<=S1+S,=76.Ss=S1.+as=75,Srt=S,+=66,（老师板书）师：从这之中，你又能发觉什么呢？生：可以看出当n=4时，S,取得取大值，最大值为S,=76.在前4项中，S1.越来越大，从第4期起先，S,又越来越小.师：从前几项中，的确可以看出S,最大，可是，当n再大一些的时候，S,会不会又变大呢？生：不会的.由于由VO,d<0,则aV0(k25,kN.),进而S.VS(k25,kN.).因此当n=4时,Sn有最大值,S,=31+23+15+7=76.(学牛.口述，老师板书)师：他依据数列前n项和的定义，解决了这道题.但是把数列各项分别求出来，未免有些麻烦.请同学们思索他的解题过程是否存在规律？我们能否寻求到更好的解题方法？(二)9riK师：在刚才的练习中，我们求出了一个数列前n项和的最大值.现在大家想这样个问题，是不是全部的等差数列都有前n项和的最大值呢？生：不是的，比如自然数组成的等差数列1，2,3,4,n,就没有最大值.师：那究竟什么样的等差数列前n项和有最大值呢？生:首项大于首公差小于0的等差数列就有前n项和的最大值，BPan=a1+(n-1.)d中，a,>0.d<0的时候？师：这时的数列有什么特点？生：数列中的各项分布在一条横截距为正，斜率为负的直线上，也就是说可以把等差数列当作个次函数来看待.师：同学们已经知道，数列是一种特别的函数，它是定义在自然数集(或它的了集1,2,3,，n)上的函数.当自变员从小到大依次取值时,对应的一列函数值就是数列.那么等差数列公是什么样的函数？这个问题我们又该如何下手探讨呢？生甲：首先探讨等差数列的通项公式.因为它体现了数列的项与项数的对应关系.在等差数列an中，公差为d(d是常数).当dHO时，其通项公式u.=a+(n-I)d=d,+(a-d).f(n)=d1.1.+(a1-d),是关于自变量n的一次函数.反之，若小可写成&,=an+b的形式，RiJa0.-an三a(n+1.)+b-<an+b)=a,即二是以a为公差的等差数列.所以，通项&可以写在关于n的一次函数形式是(i,)成等差数列的充要条件.师：想得好，推得也好.那么，等差数列的通项&肯定是项数n(nN.)的一次函数吗？生乙：不肯定.当d=0时，=a1,而一次函数要求一次项的系数肯定不为0,所以当d=0时，a,不是关于n的次函数.只有在d#0时，才可以进行刚才的探讨.但不管公差d是否等于0,我们都可以认为(a,)分布在一条直线上，d相当于该直线的斜率.师：完全正确.这样就得到dH0时，迎是关于n的一次函数，我们实际是在用函数思想来探讨数列.这正是我们今日要探讨的课题.(板书课即)比如，我们可以探讨数列的单调性、前n项和最大(小)值等阿题.首先来考虑，数列的大小改变受谁影响？生：等差数列(a,中.当d>0时，数列a“)各项一个比一个大；当dVO时，数列(a,)各项个比个小：当d=0时，数列a,)为常数列.师：清试着分析等差数列&的前n项和的最值问题.生：对于首项为a,公差为d的等差数列a.,其各项可表示为a“a,+d,a,+2d.a1.+3d,a1+(11-1)d.探讨前n项和S.的最值首先应对a”d的符号进行分类.(1)当a>0时，若d>0,则数列&是个各项均为正数且递增的数列，随项数n的增大,前n项和S.的值也不断增大，所以此时，S,没有最大值，当n=1.时，S,有最小值S=a1.:若d<0,则数列(a,)是一个首项为正数的递减数列，且从某一项起先，其后面的各项均为负数，所以数列的全部正项的和最大.因时,SII取得最大值.由于Sfn的增大,、不断减小.所以S.没有最小值.师：不错.这正是我们课前练习所涉及的状况，但是，这里有一点值得留意,假如恰有一项为。呢?比如把我们课前练习改为助=32,其余不变,那么热=8,=0,at=-8,S"会受什么影响？请完善你的结论.生：此时S,=Ss=80均为最大值.刚才的结论可改进为：当an>0.时,SIk最大.师：这样结论才比较完善.谙接着分析首项小于O的状况.生：（2）当aVO时,若d>O,则数列（a,）是一个首项为负数的递增数列.数列的所有非正项（负数项和零项）的和最小.即当1*工时,S瀛得最小值.由于a,随n的不断增大而增大，所以S,没有最大值；若d<0,则数列aj是一个各项均为负数的递减数列，随n的增大，前n项和S,不断减小.所以Sr1.没有最小值，SEW是它的最大值.师：有以上的结论，我们课前练习的改进方法也就有了吧.请大家依据a=32,d=-8将此即重新做一遍.（学生板书）生：解法如下：由于a=32>0,d=-8<0,则aj是一个首项为正数的递减数列.因&=32,d=-8,则&=(n-I)d+a1.=32+(-8)(11-1)=40-8n.所以当40.8（"。时,备有最大值.得04：即K5时，S“有母大值.因此当n=4或n=5时，S.有最大值.SFS户80是最大值.师：在刚才的探讨中，我们抓住/等差数列与一次函数之间的关系，运用一次函数的性质解决了等差数列前n项和的最值问题.同学们可以从中体会函数思想在解决数列问题时所起的作用.下面我们来看例1.例1一个首项为正数的等差数列CG,满意S尸S”，请问：这个数列的前多少项和为最大？生甲：由等差数列的前n项和公式,&和SU都可以用a和d表示,从而可以得到a1.与d的一个关系式.由刚才得到的结论，就可求出S,何时最大.解法如F：解法1：设等差数列“的公差为d.I1.S,S1,则SU-SS=a+a+a4+a9+ah)+au=0,即<a+5d)+(a1+6d)+(a1+7d)+,+(a1+10d)«0.所以6a1+45d=0,BPd二得又a>0,则d<O,所以4是一个首项为正数的递减数列.因此当f"：0：时S.有最大值.1.+1.<o*1.+(n-1.)d>0,卜+GD>0k%(0,ja+(-2a)n<0.即旨(nN.).所以n8时，Sn最大.故这个数列的前8项和最大.师：学生甲的解法干脆运用f我们刚才的结论，先求出a,与d的关系，再利用两个不等式挤出n的取值.大家还有没有别的解法？生乙：题目给出了&与S“的关系，我就干脆运用等差数列前n项和的公式S11=na产与Dd,它既可以求出即与d这两个常数之间的关系，又可从中发觉S,的取值只随着n的不同取值而改变,而与其他因素无关.这样，就可以把S,看作是关于n的函数，进而可求得其取得最值时n的取值.解法如下：(学生口述，老师板书)解法2：设等差数列a1J的公差为d.由干SS=SMK1.5a1+三11a1.+一"d.解得a=d.又a1>0.则d<0.而S11=%；(n'-n)g(na-16n),则SII有最大值.故当n=8时,Snt大.即这个数列的前8项和最大.师：可以看出，学生乙是用二次函数求最值的方法来探讨数列的.这种想法很好，但理论依据并不足够.我们有必要用函数的观点对等差数列的前n项和S1.I进行再相识.生：等差数列(&)中，首项为a1.,公差为d,S"=%a14b当dWO时，S,可以表示成关于n的二次函数的形式，且常数项为0.反之，若一个数列前n项和S=an"bn,(其中a,b均为常数)，则SnT=a(n-1.)2+b(nT),可求得an=S,-S=2an+b-a,得a,r=2a(n-1.)+b-a,从而得出=2a(n>2,nN.),又因为&=S产a+b,所以(a)是以a+b为首项.2a为公差的等差数列.所以，a,成等差数列是其前n项和SiI可以写成关于n的常数项为0的二次函数形式的充耍条件.这样就可以把对S,的探讨转化为对关Tn的二次函数的探讨了.当d=0时,S1.=Ha1,当n=1.时，S“有最值.师：解法2的确可行.这样，我们在解决关丁等差数列前n项和的问题时就有了两种不同的解法.比较这两种解法，我们可以发觉解法1将S.的最值问题转化成了国的符号问题，虽然要求对数列的相识要比较深刻，但是实际操作却还是较简洁的.因为探讨次函数终归要比探讨二次函数简洁.但是例1中所给的条件是SkS”,所求的是S、,应当说,干脆用S,n的关系解题是有优越性的.但既然S,可看成是关于n的二次函数，我们能否用二次函数的性质将解法进一步简化呢？牛.：能，因为S1,是关于n的二次函数，从二次函数的对称性动身就可以直接求得对称轴为n等8师：这种想法轻松自然.它正是抓住了二次函数的性质：在对称轴上达到最值.可是数列不同于函数，其项数n是定义在自然数集（或其子集1,2,n）上的，所以有两个问题要加以考虑.首先，若对称轴在直线nG的左侧，应如何处理？生：假如工图象的对称轴在直线n=1.的左侧，那么S”的值肯定是单调递增或单调递减的，这样，当n=1.时，S,就取得它的最大（小）值，为a.师：很好.还有其次个问卷，若对称轴不是整数呢？生：取离对称轴最近的整数.师：假如题目改为：Ss=SWn该如何取值呢？生，对称轴为n工产-75,离75最近的整数值是7和8,所以n=7或8时，Sn最小.师：明显，这种利用函数性质的做法最简洁，应体会函数思想在其中的作用.下面我们看例2.例2数列A,是等差数列，且a-a*=50,a：a=616,试求数列&前n项和义的最大值，并指出对应n的取值.请同学们用两种方法求解，边解边比较两种方法的优劣.生：要求出S,的最大值,应首先求出&和d,这须要有两个关系式，依据题目所给的两个条件，可以很简洁把它们求出.进而，就可得到Sn的最大值.解法如下：（学生甲板书解题过程）解法1：设等差数列公差为d,因a,+a,=5O,a疝=616,则I（aj+4d）+（+6d）=616,a+10a1.d+24dj三616.（2）将（1）式两边平方后，再减去（2）式.得d?=9,即d=3或-3.所以d=3.a1=10d=-3.a1=40.当&=10,d=3时，又a>0,d>0,则aJ是一个首项为正数，公差大于0的递增数列，故(%没有S,最大值.当a=40,d=-3时，a1.>0,d<0,则a1.)是一个首项为正a>0.(40-(n-0×3>0.
