函数的单调性与最值教案.docx
函数的单调性适用学科高中数学适用年级高中一年级适用区域河南省课时时长（分钟）60学问点函数的单调性；函数单调性的应用.教学目标使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步驾驭利用函数图象和单调性定义推断、证明函数单调性的方法.教学重点函数单调性的概念、推断及证明.教学难点归纳抽象函数单调性的定义以及依据定义证明函数的单调性.教学过程一、课堂导入北京的天气到8月中旬，平均气温、平均隧雨量和平均降雨天数等均起先下降，比较相宜举办大型国际体育赛事.下图是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间改变的曲线图.问题：视察图形，能得到什么信息？1y=W,y=的图象，并且视察自变量改变时，函数值有什么改变规律？二、复习预习分别作出国数y=*+2,y=-x+2,三、学问讲解考点1函数单调性的定义：假如函数4团在某个区间上随自变量X的增大J也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数；假如函数AM在某个区间上随自变量X的增大，y越来越小，我们说函数AM在该区间上为减困数.考点2困数的单调性与函数的最值一般地，设函数y=e的定义域为I,假如存在实数满意对于随意的x,都有存在冲/,使得众)=例那么，称例是函数y=的最小停四、例题精折例1【题干】证明函数HM=X+2在（啦，+8）上是增函数.X【答案】证明：任取地，短(+8),且覆<地，设元4-v)-M=覆+-总+求差x)切f22=(用-汽=(检-短)+-g划2(左-盟)=(i-)+×X2.2<X<X2,.,1.-X2<0,X1.X2>2,.(Af)-M<0,BPK覆)<M.函数*M=X+(2,+8)上是增函数.【解析】证明：任取M,E(+8),且1<E,设元心1)-心?)=覆+-垃+一求差I*1刈I122I(22××2(M-Ai)1-2一，变形=+GJ2(×2-M)=(i-as)+××2M），断号,.2<X1<X2.Ai-x><0,×1×2>2,.（M）-4至）<0,即4为）<A；函数AM=X+;在（S+8）上是增函数.例22(S2求函数y=F在区间2,6上的最大值和最小值.XJ1.【答案】，当x=2时，函数片一;在区间2,6上取得最大值2)=2;X-122当*=6时，函数片一7在区间2,6上取得最小值46)=-.X-IJ【解析】设2m<e6,则有222(-D-U-1)2(-A1.)/U)F垃)=AI-I-A5J(M-I)(及-1)=(X1.-1.)(?-D.2x<X26,:.)(2-M>Of(i-1.)(-1)>0.2.M>M，即函数y=-7在区间26上是减函数.X-12当x=2时，函数y=一;在区间2,6上取得最大值42)=2;X-122当*=6时，函数片一7在区间2,6上取得最小值46)=-.X-IJ例3阔干】画出国数片-/+2M+3的图象，指出函数的单调区间和最大值.【答案】函数的图象在区间(-8,-1)和0,1上是上升的,在-1.OJ和(1,+8)上是下降的，最高点是(±1,4),故函数在(-8,-1),0,1上是增函数；函数在-1.0,(1,+8)上是减函数，最大值是4.【解析】困数图象如图6所示.由图象得，函数的图象在区间(-8,-1)和0,1上是上升的,在-1,0和(1,+8)上是下降的，最高点是(±1,4),故函数在(-,-I)JO禹上是增函数；函数在-1,0,(1,+8)上是减函数，最大值是4.五、课堂运用【基础】,那么这两个正三角形面积之和的最小值是（）1、把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形A.pj3cm2B.4cm2C.32cm2D.2【解析】设T三角形的边长为*cm,则另一个三角形的边长为(4-)cmr两个三角形的面积和为5,则S=,(4-卡=呼(*_2)i+2323.*=2时，S取最小值Cm2故选D.2、某超市为了获得最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件,现在采纳提高销售价格削减进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要削减10件，问该商品售价定为多少时才能赚取最大利润，并求出最大利润.【答案】售价定为12元时可获最大利润160元.【解析】设商品售价定为*元时，利润为y元，则y=(x-8)60-(X-10)10=-10(x-12)2-16=-10(*-12)2+160(10<x<16),当且仅当X=I2时/有最大值160元，即售价定为12元时可获最大利润160元.【巩固】1、证明函数*M=-4x-1.在2,+8）上是增函数.j>i2,则X2>X12,则【答案】证明：设Xi,K是区间2,+8）上的随意两个实数，且g）.->U）=（x：-4.v1.-1.）-（Xj2-4x2-I）=Xj-XJ2_4x1.+4xj=（Xi-短）（的+X2）-4（i-×2=（M-）（A1+Ai-4）.：及>1.21.Jf-I-A2<0rAi+及>4,即覆+xz-4>o,Mm）-H及）<0r即M<M.函数4M=M-4x-1在2,+8）上是增函数.【解析】证明：设M,K是区间2,+8）上的随意两个实数，目to）-收）=（X：-4.v1.-I）-（Xj2-4x,-I）=t2-Xj:-4x1.+4x,=（用-4）（覆+K）-4（m-M）=（M-垃）（阳+垃-4）.'.X2>X2,：.Xi-E<O,A1+照>4,即i+-4>0,-仙2）<0,即M<M.，函数心）=乂-4x-1在2,+8）上是增函数.2、已知函数八x)=口，1,3,求函数的最大值和最小值.【答案】函教在区间Q,刃的两个端点处分别取得最小值与最大值,即在I时取得最小值，最小旗O；在X=3时取得最大值，最大值是r0>7÷c2.,.xI'+12,2【解析】/（八）=-=-=I.v+1x+1.v+1.设内，木是区间【13上的随意两个实数，且覆，则«用)-/U)=j-1.7-+-1.7X1+1X,+122=2(,+1)-2(a,+1).t2+1X1+1(.r1.+ix1+1)2(西一三)(.,+X2+I)'由1为<>3,得用-x；<0,(m+1)(j+1)>0,于是/(<*1)-M<0,即M<M.所以，函数/(X)=N是区间口,引上的增函数.+1.因此，函数/()=q在区间1,3的两个端点处分别取得最小值与最大值，即在X=I时取得最小值，最小值是0；在Xx+1=3时取得最大值，最大值是不【拔高】1、已知函数内K-2ax+2+打弗0）在2.,3上有最大值5和最小值2.,求a,6的值.【答案】：>a=-1,b=3.【解析】4M=a-2ax+2+。=式*-1)2+2+6-a的对称轴方x=1.当a>O时"M在23上是增函数.隽"即2+b=2,3+2+>=5,解得a=.b=0.当a<O时在2,3上是减函数,2+8=5.3<+2+b=Z解得="1.,b=3.综上所述，Q=T力=3.12、求函数y=7神最大值.Xc+-¥+114【答案】函数y=Q7的最大值是,【解析】函数的定义域是R,11可以证明当XV-利，函数片二77是增函数;Zt+÷111当此-下寸，函数片丁工7是减函数.114则当*=-利，函数y=37取最大值,，ZX1.+X-TJ1.14即函数y=-7的最大值是；+1课程小结I、函数单调性的证明2、求函数最值的方法：图象法，单调法，判别式法；
