抛物线与其性质知识点大全和经典例题与解析.docx

抛物线及其性质【考纲说明】1、驾驭抛物线的筒沾几何性质，能运用性曲解决与他物战有关问题。2、通过类比.找出他物线与椭圆,双曲线的性质之间的区分与联系.【学问梳理】1 .抛物线定义：平面内到肯定点F和条定直线/的矩离相等的点的凯选称为抛物线.2 .抛物线四种标准方程的几何性质：困舫一:*4k-市冬敦P几何意义冬4tP表示聚点料灌煤的距离，P超大，开口越阔.开口方向右左上下标发方«y2=2t(p>0)y2=-2r(p>0)X2=2py(>>0)X2=-2py(p>0)生点位31.X正X质丫正Y电以点生标(多0)(0)©9(a-f)准线方程X=-E2X=R2T-f范ff1.x0,yeRx0,yeRy0,xeRy0,xe1.i对称轴X轴Xi丫轴YM顶点坐标<0,0>禹心率e=道径2p生半径AC.yJAF=,+AF=FAF=y+4F=-y,+帙点弦长|4同(+/)+，-(x,+,r2)+p(y1.+y2)+p-(y1.+y2)+p幺点弦长IAM以A8为J1.径的H1.必与准我/相切的讣充A(XQ1.)(2,y2)若A3的倾斜角为,|八时_3.若AB的慨斜角为,X'1.4=-cosea2Mx2=§>1.>,2=-×1IAF+BFAB2AF+BFAFIiFAFBFP3 .抛物线r=2Np>0)的几何性质，(D范围因为p>0.南方程可知XN0,所以她物线在)，轴的右侧.当X的伯增大时，_y也增大,说明她物税向右上方和右下方无限延长.(2)对称性：对称轴要看一次项，符号确定开口方向.顶点(0.0>,离心率：e=1.焦点产(£,0),准线*=一2,焦准距p.22(4)焦点弦：岫物线V=2pw>>0)的钻点弦A3,A(x1.,yi),B(x2ty2),ABx1.+x2+p.弦长ABi=XI+xdp,当XI=X2时，通径以短为2|)。4.焦点弦的相关性朋：焦点弦A8A(xt,y1.),(.tj,.y2),焦点Rf,0)(1)若AB是她物税尸=2阙p>0)的焦点弦(过焦点的弦>,且A(XQJ,B(xi,yi),则：W=Jy1v2=-p4(2)2；：AB是她物戏=2px(p>0)的焦戊弦，且直战RB的倾斜角为。，¾1.g-2p(口0)°1,sir(3)已知百战AB是过他物城炉=2px(/，>0)焦点F,一+-1.="!竺=_A1.i_=2AFBFAFBFAFBFp(4)焦点弦中通径破短长为2p.通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的集点弦叫做通径.(5)两个相切；以拊物跳焦点弦为直径的圆与掂线相切.过拊物跳焦点弦的两端点向准战作乖战，以两承足为直径端点的硼与供点弦相切.5.弦长公式，Aa,凹),5(占,以)是抛物线上两点，则->,2IA=J(1.-i)2+(yt-y2)i=1+A,:Ix1.-xiI=【经典例题】(OMtttt二次曲线的和调线槌K与双曲线都有两种定义方法,可他物线只有一种：到个定点和一条定宜线的距离相等的全部点的篥合.其离心率e=1.,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美妙的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的施章.【例1】P为微物践y2=2px上任一点，F为焦点，则以PF为直径的10与y轴()。.位置由P确定A相交A相切C相离【解析】如图,抛物线的焦点为尸I§.0卜准线是=作PHI/于儿交y轴于Q,则IM=IP川，且IQM="1=.作MN1.y轴于N则MN是悌形PQO1.-的中位缥MY1.=(OF+P)=1.P=1PF.故以PF为宜径的圆与y轴相切.选B.【评注】相像的问即对于艇魄和由曲税来说，其结论则分别是相离或相交的.(2)焦点弦常考带薪的亮点弦有关抛物线的试即.跟多都与它的焦点弦有关.理解并驾驭这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例2】过抛物线V2=2pMpA0)的烬点F作出线交效物找于A(XqJ,B(x2,为)两点.求iiE:(1)=.+.v,+p【证明】(D如图设她物税的准税为/.作AAiHA1.BB1.1./于琼则IAFI=IAAI=%+g忸"I=忸为=毛+g两式相加即行：Aj=.v1+x2+p(2当AB_1.X粕时，有II2AFBF=p,.r-i+r-i=-成立：III-AFBFp当AB与X轴不垂直时.设他点弦AB的方程为：y=kA-.代入撤物线方程:内(工一§)=2px化简得：传+2)x+?火2=()Y方程<1>之二根为1.i.XX2=y._N+/+P南十两二西十画二速+W号-JW_.q+_+p_i+_+p_2?+WX+p)P故不论弦AB与X轴是否垂出,恒有厂二+占=2成立.IAF1.BFP(3)切线一Ii物线与函数有雄有关拊物线的很多试遨.又与它的切然有关.理解并驾驭拊物线的切线方程，是解邈告不行或缺的基本功.【例3】证明：过跄物线y'=2px上一点M<x<.y(>的切线方程是：y<y-p(x)【证明】对方程y'=2p.r两边取导数：2yr'=2p,.y'=2切线的斜率y*=)'Ii=，由点料式方程：y->1.)=-(x-X11)=>,y0>=px-pxf1.+y(1),y,;=2r1.,.代入即得：y,y=p(x+x1.,>(4)定点与定值一器物微埋在深处的宝IR拗物规中存在很多不不易发觉，却简洁为人疏忽的定点和定作.驾驭它们，在解题中常会有意想不到的收获.例如：I.一动圆的圆心在抛物线V=8上,且动回恒与宜线+2=0相切,则此动冽必过定点()A(4,0)8.(2,0)C(0,2)(0,-2)明故.本遨是例1的翻版,该国必过抛物线的供点.选B.2 .微物城y2=2后的通径长为2p：3 .设1物线V=2p过焦点的弦两端分别为A(x1.,y1.),B(x2.y2),则：)仍=-以下再举一例【例I】设枪物线yi=2px的焦点弦AB在其准线上的射影是A,B,证明：以AB为直径的网必过肯定点分析】假定这条供点弦就是撤物线的通径，则AB=AB-2p,而AB1.与AB的距国为p,可知该园必过效物线的保点.由此我们猜想：一切这样的回加过抛物税的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为A(N,),A(2,yJ则:y>,2=-P2=>6HC41=IyIIy2=pz设恤物线的准线交X轴于C则ICrI=p.AFB1.中C7=IGA1.HC8j故NAF4=90°.这就说明：以AB为I1.径的圆必过该微物我的焦点.通法特法妙法（1）解析法一为对称付解困排难解析几何是用代数的方法去探讨几何，所以它能解演纯几何方法不易解决的几何问魄（如对称问题等）.【例5】（10.四川文科卷,10题）已知抛物线y=-2+3上存在关于电线+y=（）对称的相异两点A、B,则IAB1.等于OA.3B.4CJ41D.441分析】直线AB必与出线x+y=O垂直，且纹段AB的中点必在立级x+y=O上,因得辞法如下.【解析】戊A,B关于直城x+y=O对称，.设直线AB的方程为：y=x+m.y=+m,/、由)n+，-3=0(I)、一_V-_.工',设方程1）之两根为X1.X”则-1+,=-1.设AB的中点为M（0,yo）,则&=X+X,1比、上-1-aKt11-=一一.代入x+y=O:y«=.故fiAf.222V22；从而,"=y-x=1.直线AB的方程为：y=x+1.方程(1>成为：.d+x-2=0I，x=-2,1.从而y=-I,2.故得：(-2,-1),B(1,2).4j=3.选C.（2）几何法一为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避开的繁杂计算，这又使忠很多芍生对解析几何习题堂而生艮,针对这种现状，人们探讨出妥种使计算收大幅度削减的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.例6（1.1.±n1卷.11JR）抛物城=4.r的焦点为F,准线为1,经过广且斜率为的出线与抛勒线在X轴上方的部分相交于点八，AK1.1.,率足为K.W1.ZkAKF的面枳（A.4B.33C.43D.8【辘析】如图直雄AF的斜率为JJ时NAFX=60”.AFK为正三角形.设准线/交X轴于M.K'j7W=P=Z且NKFM=60,.K川=4,%*=x42=46.选C.【评注】(D平面几何学问：边长为a的正三角形的面积用公式另=手片计算.(2)本题)如用解析法,需先列方程组求点A的坐标，再计算正三角形的边长和面积,虽不是很难,但决没有如上的几何法简洁.(3)定义法一遑本求真的间泊一着很多解析几何习鹿咋看起来很难.但©如返朴归真,用最原始的定义去相，反而特殊简洁.【例7】(07.湖北卷.7跑)双曲线11C1/，()的左准线为/.左焦点和右焦点分别为F,和小：抛物线C；的线为/,焦点为鸟.为懦一g)等于(.-1B.1C.2【分析】这道题假如用解析法去轴,计灯会特殊繁杂,D.12而平面几何学问又一时用不上，则就从最原始的定义方面去找寻出路吧.如图，我们先做必要的打算工作：设双曲线的半焦距a高心奉为c，作/1/17/.令IMK1.=小IM用=点M在他物线上,MMHMIr,故周糊J这就是说：啰4的实质是禽心,率e.其次，隙j与海心率C有什么关系？留意到:=e-忸41_入_。%_e«+/0_/11M用444IeJ这样，最终的答案就自然浮出水面了：由于!J-萼4=(e-)+e=-1.iA.IAfA11IMF21三角学1卷«着丰富的解遨资源.利用三用手段，可以比较简洁地将异名界角的三角函数转化为同名同角的：角函数，然后依据各种三角关系实施“九九归1”一一达到解SSFI的.恤物线8的因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源,常UJ以捱脱逆境.简化计算.【例8】（09.重庆文科.21遨如图,做斜角为”的直线经过焦点F.且与抛物线交于八、8两点.（I）求岫物线的焦点户的坐标及准线/的方程：（三）若“为锐角，作线段AB的出平分线m交X轴于点P,证明IFp1.-IFPICoSa为定位，并求此定值，【解析】（I）焦点F<2,OX准我/；x=-2.（三）直纹AB：y=tan(-2)(1).X=1.代入(1).整理得：y'tan<z-8.v-16tan=0(2)O,8设方程<2>之二根为y.,y”则iy'+”="蒜.(Jr>2=-16v=±21=上=4COta设AB中点为M(XQb),则，°2tana.0=co1.a>1.1.+2=4cot2a+2AB的垂直平分线方:程是：y-4COta=-CO<a(x-4co