抛物线与等腰三角形(教师用).docx

抛物线及等腰三角形（简沽”、（2011东背在平面口.珀坐标系中，现将块等腹I1.角三角板放在第象区，斜舔在两坐标轴上,且点A（0,2）,点C（1.0）,如图所示，弛物税y=a2-ax-2钱过点B.（I）求点B的坐标：（2）求枪物线的解析式：（3）在她物线上是否还存在点P（点B除外）,使AACP仍旧足以Ae为宜角边的等腰宜角三角形？若存在,求全部点P的坐标：若不存在,请说明理由.解：(1)过点B作BD1.X轴.垂足为D.BCD+ZAC0=90o.ZAC(HZOAC=90o.,./BCD=ZCAO.又；NBDC=NC0A=9:CB=AC,.,.BDCCAO,.BD=OC=1.CD=OA=2.点B的坐标为(3.I)：(2)；撇物线y=a-a-2过点B(3,I)，：.I=9a-3a-2,1解得=2.11.拗物线的解析式为y=2x2-2X-2；(3)假设存在点P,使得AACP是出角三角形.<1>若以AC为自角边，点C为直角1点.则延长BC至点Pi使得PiC=BC,得到等腰C角三角形ACPi.过点Pi作PiM1.x轴，如图(I).VCPi=BC.ZMCPi=ZBCD.ZPMC=ZBDC=90o.MP1.C5DBC,CMCD=2.PiM=BD=I.11.P1<-I.-1）.经检验点P1.在抛初战y=22.2.2上：若以AC为F1.角边，点A为包角顶点,则过点A作AP21.CA,且使得AP2=AC得到等腰H角三角形ACP2,过点P2作P2NJ_y轴，如图<2）.同理可证ZiAPcNgacAo,NP2=OA=2.AN=OC=I.11Pz<-2.1）.经检验P?<-2.1）也在抛物线y=22-2x.2J-.若以AC为自用边，点A为R角顶点，则过点A作AP31.CA,且使得APJ=Ac得到等腰直用三角形ACPa,过点Pa作PMUy轮,如图<3>.同理可证ZiAPjHKACAO,HP=OA=2,AH=OC=I.11.,.Pi<2,3）,经检验Pa<2,3）不在拗物战y=2s-2？上；故符合条件的点有Pi（-1.-I）,P2（-2,1）两点.2.（2009年广西崇左市）在平面直角坐标系中,现将块等腰皮角三角板A5C放在其次象限,斜靠在两坐标轴上,且点A（0,2）,点。（一1Q）,如图所示：抛物线y=+r-2经过点8.（1）求点B的坐标：<2）求抛物线的解析式:（3）在勉勒线上是否还存在点。（点8除外，使aACP仍旧是以AC为直.角边的等腹内角三角形？若存在，求全部点全的坐标;若不存在，请说明理由.A(0.2>,25.(1)过点8作5£>_1.x轴，垂足为VZBCD+ZACO=90°,ZACO+ZCAO=90°:.NBCD=，CA0：I分又,；4BDC=ACOA=90°：CB=AC.BCDCAO2分：.BD=OC=I,CD=OA=I3分二点A的坐标为(-34)：4分(2)枪物战y=axz+a.x-2经过点B(-3),则得到1=9。一M-2S分解得,所以抛物线的解析式为：7分(3)假设存在点P,使得aACP仍旧是以AC为口.角边的等股立角三角形：若以点C为口,角顶点；则延长HC至点，使得/；C=8C,得到等腰直角：角形八C/；8分过点4作J.A轴，.C7；=BC.N7CM=NBCD,ZIMC=ZfiDC=9()°：.>C5DC10分.CM=CD=2,M=BD=1.可求得点/；(1,-1)：I1.分若以点A为直.角Tfi点；则过点A作A8JCA,且使得人6=AC,得到等IR直角三角形4ACA12分过点鸟作ENJ.),轴，同理uJiZA4NgZXCAO:13分.NP,=O=2.AN=OC=1.可求得点：14分经检脸，点4。，-1)及点鸟(2,1)都在抛物找上.16分3-2011年浙江省衢州市)已知两直线I-1.分别经过点A(1.0).点B(M),并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时,恰好1.1I1.2.经过点A、B、C的拗物线的对称轴及n&h交于点K,如图所示.(I)求点C的坐胡，并求出抛物线的函数蟀析式：(2州物线的对称轴被虫城1.,抛物城，宜城】2和X轴依次裁得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由.<«)当面线1.绕点C旋转时，及她物税的另一个交点为M,请找出访aMCK为等股三角形的点M.简述理由，并写出点M的坐标.点C的坐标是(0,6)由题意，可设拊物饯的函数解析式为y=ax2+bx+3把A(1.,0),B(-3,0)的坐标分别代入y=aY+bx+Q,得解这个方程祖，得.拗物线的函数解析式为>'=-yX2-x+3解法2：例勾股定理,W(OCi+OB')+(OC2+OA2)=BC-+AC2=AB2又；OB=3,OA=I.AB=4.0C=5.点C的坐标是(0.3)由遨窗可设附物线的函数解析式为y=a(x-1.)(x+3).把C(06)代入函数解析式得，所以，抛物的函数解析式为(2)解法1：IK得三条线段的数做关系为KD=DE=EF理由如下：可求得直线1.的解析式为y=-3x+3,互线k的解析式为抛物线的对称轴为出城X=1由此可求得点K的坐标为(一1,2万)，点D的坐标为(一1,卓)，点E的坐标为(一1，=),点F的坐标为(I>0)KD=2,DE=,EF=333KD=DE=EF好法2：截得：.条线段的数Jit关系为KD=DE=EF理由如下:由题意可知R1.ZABC中，NABC=30",NCAB=60',则可得EF=BFXtan300=臂，KF=AFXtan60。=21.由顶点D坐标(一I,W)得23/.KD=DE=EF=3(3)蟀法I：以点K为圆心,线段KC长为半径行明退,交她物晚于点M1.,由抛物税对称性可知点M1.为点C关于宜城X=T的对称点点M1.的坐标为(-2.3),此时M1CK为等腰三角形(ii)当以点C为回心，戏段CK长为半径画圆弧时，及拊物战交点为点MI和点A,而三点A、c,K在同始终线E.不能构成三角形(iii)作跷段KC的中垂线I,由点D是KE的中点，且1.1.12,可知I经过点D,AKD=DC43此时，有点即点D坐标为(一1,使4M,CK为等腹三角形；综上所述，当点M的坐标分别为(-2,vz3),(-1.W)时，MCK为等腹三月形.解法2：当点M的坐标分别为(-2.3).(-1.孚)时.AAICK为等腰三角形.理由如下:连接BK.交他物纹干点G易知点G的坐标为(-2.S又；点C的坐标为(0,3),则GCAB；可求汨AB=BK=4,且/ABK=60°.即AABK为正三角形CGK为正三角形二当12及抛物线交于点G即1.AB时,符合题意,此时点M1.的坐标为(-2.3)(ii)连接CD.H1.KD=生，CK=CG=2.ZCKD=SOo.易知aKDC为等腰三角形3.当1,过她物线顶点D时，符合鹿意，此时点M、坐标为（一1,）*3（iii）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M及点A重合时，满意CM=CK,但点A、C、K在同始终线上，不能构成三角形擦上所述,当点M的坐标分别为（一2,3）.（-1,芈时，ZiMCK为等腰三角形.4、（2011湖州如图I.已知正方形OABC的边长为2.痍点A、C分别在x、y轴的正半轴匕M是BC的中点.P（0,m跄线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D.（I）求点D的坐标（用含m的代数式发示：（2）当AAPD是等腰三角形时，求m的俏；（未解决）3设过P、M、B三点的抛物戏及X轴正半轴交于点E,过点。作出战ME的歪线，垂足为H（如图2），当点P从点。向点C运动时，点H也随之运动.请千腌写出点H所经过的路径长.不必写解答过程专施：代数几何综合也：分类探讨.分析：（D证明RSPMCgRSDMB,即可证明DB=2-m,AD=4-m,从而求解:2）分AP=AD,PD=PA,PD=DA三种状况，依据勾股定理即可求解；（3）运动时，路途长不变，可以取当P在O点是，求解即可.解答：解：1由题意得CM=BM,vzpmc=zdmb.RtPMCgRIADMB.（2分）DB=PC,DB=2-m.AD=4-m,（1分）.点D的坐标为（2,4-m）.（I分）（2）分三种状况3771=9若Ap=AD.则4+11=（4-m）2,解得4（2分）若PD=PA过P作PF1.AB于点F（如图11则AF=FD=2ad=2（4-m）又OP=AF,14m=9（4n）m=Q/./J（2分）若PADA,VPMCDMB.I1.1.pm=2pd=2ad=2(4-m),vpc2+cm2=pm2.(2m)2+1=：(4n)2，2m1=O,n2=2解得§(台去).(2分)342综上所述，当AAPD足等腰：角形时，m的值为2或3或3（3）点H所羟过的路径长为什（2分点评：本题是：次函数的综合魄型，其中涉及的到大学同点力微物战的顶点公式和三角形的面枳求法.在求有关动戊问鹿时要留道分析题遐分状况探讨结果.24、（2010北京）在平面内角坐标系x中，拊物Iy=-xi+-x+m2-3m+2及X轴的交点分44别为原点。和点月，点B（2,/）在这条拗物代上.求占点的坐标;（2）点夕在级段以上，从。点动身向4点运动，过点作X轴的垂线.及直线倒交于点以延长必.到点，使得阶咫,以即为斜边，在川右恻作等腰直角三角形/6（当尸点运动时，C点、。点也随之运动）.当等腰直的三角形打力的顶点。落在此抛物设上时.求伊的长：y若点从。点动身向H点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点。从4点动身向。点作匀速运动,速度为秘秒2个单位（当。点到达。点时停止运动，尸点也I可时停止运动.过。点作K轴的垂线,及直线切交于点R延长在到点M使得F%QF,以j41/为料边，在4“的左IM作等媵直角三知形的（当。点运动时，UO5点、.V点也随之运动.若尸点运动到r杪时，两个等腰I1.角三角形分别有一条边怡好落在同一条出城匕求此刻，的侪.24.解：（I）：Itt物税V=-弓一1.r2+独x+“F-3,n+2经过区点，二.”尸-3"h2=O,解忠MI=I,”“=2.44由趟旗知加#1,.m=2,.抛物线的解析式为产-jgx,.点8<2,在抛物城y=-1.2+2x上，.'.n=4,.'.8点的坐如为（2,4）.42（2）设宜找OB的解析式为>=A1x,求得总规OB的解析式为vDZ/产2r,二Y点是抛物也及X轴的一个交点，可求得八点的X坐标为（10,0）,设P点的峪标为Xs0）,则£点的坐标为QQ(a,勿),依据题意作等腰直角三角形Ped如图1.可求得点C的坐标为(初，加),由C点在她物线上，如ISQII”“2=02«=x(3«)2+3“，即一“'«=0,解得«1=42429(±)