MSD_ 专题05 共焦点椭圆、双曲线模型(原卷版).docx
专题05共焦点椭圆、双曲线模型秒杀结论已知椭圆Cl：，+方=1（其中与双曲线C2:5一5=1（其中m>0,心0）共焦点,e,02分别为G,。2的离心率，M是Ci,Q的一个交点，=FMFz,则.祝祝sin2cos2I.MF=a+m,PF=amII.+=1.Cl02【方法技巧】结论I的推导是用椭圆与双曲线的定义，然后两式相加，相减.凡是已知公共焦点三角形中的一边（焦半径）或三边的比例关系（可取特值，特别是在直角三角形中），然后使用结论I：MFi=a+mfPF2=a-m,找到，m,C的关系，从而解决问题.可免去用椭圆与双曲线的定义，节省时间.关于结论I的记忆是长边加，短边减，椭圆的长半轴在前，双曲线的实半轴在后.结论11的推导是先用椭圆与双曲线的定义，然后用余弦定理，或用焦点三角形的面积相等.凡是已知.边边sin2cos2公共焦点三角形中的顶角（或隐含如例2（6）,对点练5,6）,然后使用结论11:-=1,可快速到Cl02ej,的关系，从而解决问题.如果求最值注意基本不等式的使用，如不能用基本不等式可利用三角换元转化为三角函数的最值（如例2（5）,对点练4,6）或用柯西不等式（选修45）.关于结论11的记忆类比平方关系，在正弦，余弦下分别加上椭圆与双曲线的离心率的平方.【例题选讲】J11（59）椭圆与双曲线有公共焦点尸1，F2,它们在第一象限的交点为A,且A尸A尸2，ZAF1F2=30。，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（）A.23B.3C.2D.1答案B秒杀设椭圆方程为：，+方=Im双曲线方程为a一如=1（心0,11>0）,根据题意，可设IA尸II=小，AF2=1,FF2=2,则+根=/，a-m=1,u+=+=y3.故选B.ClC2CCC（60）中心在原点的椭圆G与双曲线Q具有相同的焦点，Fi（-c,O）,F2（c,O）,P为G与Q在第一象限的交点，IP尸Il=FLF2且IP尸2=3,若椭圆CI的离心率e（,则双曲线的离心率及的范围是（）A.俘DB.（J,2）C.件2）D.（2,3）答案C秒杀设椭圆方程为：+2=l（>ft>0）,设双曲线方程为和一力=1（心0,11>0）CC(24、,由题意有，a+m=2cfa-m=3,所以根=2。一。，又=7；=F，因为de不，7,所m2ca2e以5eQ,5)，所以改£(?2).(61)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为尸1，F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,APAB是以PB为底边的等腰三角形，若IPBI=IO,椭圆与双曲线的离心率分别为Gi,£2，则61及+1的取值范围为()A.(1,+)B.(g,+)C.(1,+)D.(3+)答案B秒杀设椭圆方程为：+=i(>>),设双曲线方程为2-5=1(机>。，>0),由题意CrUIiL1L5C24有，a+m=10,a-m=2cf所以=5+c,m=5-c,c>,又eg+l=嬴+1=石二i+l>故选B.【对点训练】88 .Fi,尸2是椭圆。与双曲线Q的公共焦点，A是G,Q在第一象限的交点，且A尸A尸2,ZAFiF2=Tr%,则G与。2的离心率之积为()A.2B.3C.ID.坐89 .已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为尸1，F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,为尸2是以P为为底边的等腰三角形，若双曲线的离心率为3,则椭圆的离心率为()A.B.yC.ID.玲90 .已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在X轴上，左、右焦点分别为尸1、F2,且它们在第一象限的交点为P,为尸2是以PA为底边的等腰三角形.若IPBI=I0,双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是()A.(|,1)B.(|,1)C.(|,|)D.(1,1)91 .已知尸1,尸2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且PB>P尸2,线段PB的垂直平分线过尸2,若椭圆的离心率为61，双曲线的离心率为62,则1+岸的最小值为()A.6B.3C.6D.392 .如图，Fi,尸2是椭圆。与双曲线Q的公共焦点，A,B分别是G,Q在第二、四象限的交点，若AFIJTXBFi,且NA尸Io=T则G与。2的离心率之和为()A.23B.4D.26例12（62）已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线，且都过B点，它们的离心率分别为e,£2,则5+=（）35A.2B.2C.2D.4答案B通解以AC边所在的直线为X轴，AC中垂线所在的直线为y轴建立直角坐标系（图略），?2?2设椭圆方程为甚+方=1,设双曲线方程为左一方=1,焦距都为2c,不妨设A>3C,椭圆和双曲线都过点B,则IABl+5C=2,45|一|5CI=2公,所以IABl=的+。2,5C=的一。2,又因为为直角三角形，Ael=Ic,所以（1+2）2+（。1。2）2=（2（7）2,即届+后=2/,所以*+詈=2,即5+=2.故选B.道总0sin2cos211秒杀由已知5=多又由F+F=L得/+7=2故选B.乙Itz1匕2t×1匕2（63）（2013浙江）已知为，&为椭圆Ci：j+=l和双曲线G的公共焦点，尸为它们的一个公共点，A,B分别是G,Q在第二、四象限的交点，若四边形ABB为为矩形，则Q的离心率是（）A.2B.3C.ID.坐.祝祝SllV"-0QgI-I-答案D秒杀由已知5=又由2+2=1，得空+空=2,又61=,02=D，故选D（64）（2016全国高中数学联赛四川预赛）已知尸1，尸2为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且NBPF2=?则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为（）A.坐B.坐C.1D.3.过世答案B秒杀由已知与=/又由-+二1=1,得+±=4,4=*+,>芋，eg?（当且仅ZOCl62Ci。2Ci02egZ当62=小61时取等号），故选B.（65）已知椭圆Ci：今+方=1（其中。>方>。）与双曲线C2:5一为=1（其中m>0,>0）有相同的焦点尸1，尸2,P是两曲线的一个公共点，61，62分别是两曲线的离心率，PF1±PF1,则4/+m的最小值是（）a57八9CIlA.2B.2C.2DESi丐COS51151答案C秒杀由已知又由Z-+w=l,得温+最=2,4届+/=1（44+a）每+最）=+目+管卜会当且仅当m=2后时取等号），故选C.Tr（66）（2014湖北）已知尸1,尸2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且NBP尸2=子则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）a3至r3n92x3-D3”L.他祝答案A秒杀由已知?=由又由=L得3+捻=4,可利用三角换元;=2COS仇芈=乙。Cle2ClC2ClC22sin8,则（+F=*sin（e+9）0*.故选A.r2Y2（67）（2016浙江）已知椭圆G：正+F=1（机>1）与双曲线。2：记一y2=i（z>o）的焦点重合，田，及分别为Cl,。2的离心率，贝1（）A.m>nMee2>B.m>nMe1e2<lC.m<nMeie?>lD.m<nMe1e2<l加2X几2+答案A通解由于m2-l=c2,112+l=c2,则m2-112=2,故m>n,又（d.>=二2,川=/+1/+1n2+2/114+2112+1114+2112卜1+2>1'.eC2>l故选A.秒杀由椭圆和双曲线焦点三角形面积公式得,。tan2Bn兀-2-得解夕一2ltall-112=2,因为eC2,，2=濡+甚>eg>L故选A.【对点训练】2冗93.已知椭圆和双曲线有共同的焦点尸1，F2,P是它们的一个交点，且N为PR=竽，记椭圆和双曲线的31离心率分别为ei，口则尹友等于（）A.4B.23C.2D.394.已知圆锥曲线G：mx2+11=l（11>m>0）C2:川22=。）的公共焦点为尸bF2点M为C,C23的一个公共点，且满足NBM尸2=90。，若圆锥曲线G的离心率为不则Q的离心率为（）93235A.2B.-C.2D.4222295 .已知椭圆u+=Im汕必与双曲线表3=1（机>。，心0）具有相同焦点尸I,F2,且在第一象限交于点P,椭圆与双曲线的离心率分别为e,02,若NBPF2=?则4+/的最小值是（）A2±1R2+ScI+2小DUA2b，十yj.2U4496 .已知尸1,尸2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且NBPB=aCOSe=亍则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）a4CIO5一7A.wB.-C.2DQ222297 .已知椭圆G：泉+力=1（其中机2方0）与双曲线。2：条一方=1（其中"0,QO）的焦点重合，e,62分别为G,Q的离心率，贝1（）4444A.机且ee2mB.mn"生写C.机且的改与D.mnJe298 .（2014全国高中数学联赛湖北预赛）已知椭圆和双曲线有共同的焦点尸1，F2,记椭圆和双曲线的离心率分别为ei，02,若椭圆的短轴长是和双曲线虚轴长的2倍，则的最大值为（）r15A.4B.23C.2D,2
