第6讲二次函数探究二次函数与梯形的综合问题教案.docx

二次函数与梯形的综合问题知识点二次函数综合;梯形的性质与判定;勾股定理;教学目标1 .熟练运用所学知识解决二次函数综合问题2 .灵活运用数形结合思想教学重点巧妙运用数形结合思想解决综合问题；教学难点灵活运用技巧及方法解决综合问题；知识讲解考点1二次函数的基础知识1 .一般地，如果y=ax?+bx+c(a,b,C是常数且a0),那么y叫做X的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据.当b=c=O时，二次函数y=a2是最简单的二次函数.2 .二次函数y=a2+bx+c(a,b,c是常数,aW0)的三种表达形式分别为：一般式y=ax2+bx+c,通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式/顶点式：y=a(-h)2+k,通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a(x-x1)(x-x2),通常要知道图像与X轴的两个交点坐标如X2才能求出此解析式/对于y=a2+bx+c而言，其顶点坐标为(_，当互).对于尸合(x-h)2+k而言其顶点坐标为(h,k),由于二次函数la4a的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点.考点2梯形的性质及判定1 .梯形定义：梯形是指只有一组对边平行的四边形。平行的两边叫做梯形的底边。不平行的两边叫腰；两底之间的公垂线段叫梯形的高。梯形有无数条高。2 .梯形的性质：梯形的上下两底平行；梯形的中位线，平行于两底并且等于上下底和的一半。等腰梯形对角线相等。3 .梯形的判定：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。一组对边平行且不相等的四边形是梯形。4 .常用辅助线作高（根据实际题目确定）；平移一腰；平移对角线；反向延长两腰交于一点；取一腰中点，另一腰两端点连接并延长；取两底中点，过一底中点做两腰的平行线。取两腰中点，连接，作中位线。5 .等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。6 .等腰梯形性质：等腰梯形的两条腰相等。等腰梯形在同一底上的两个底角相等。等腰梯形的两条对角线相等。等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线（过两底中点的直线）。7 .等腰梯形判定：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形；8 .直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。9 .直角梯形的性质：直角梯形有两个角是直角。10 .直角梯形的判定：有两个内角是直角的梯形是直角梯形。考点3探究梯形的一般思路解答梯形的存在性问题时，要具备分类讨论的思想及数形结合思想，要先找出梯形的分类标准，具体如下：(1)假设结论成立，分情况讨论。(2)确定分类标准：在分类时，先要找出分类的标准，一般我们会已知三个定点，再寻找另一点来构成梯形时，我们可以先将三个定点连接成三角形，然后过其中一定点作对边的平行线，以此类推的我们会作出三条平行线，而这三条平行线与要寻找点所在的线的交点即为所求的点。当然有时条件所给的会比较苛刻，比如说让我们寻找的点要满足等腰梯形或是直角梯形的形状，则我们会根据等腰梯形及直角梯形的性质再去寻找。(3)建立关系式并计算。要具体情况具体分析，通常情况下我们会利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解。例题精析例1已知直线y=3x-3分别与X轴、y轴交于点A,B,抛物线y=ax?+2x+c经过点A,B.(1)求该抛物线的表达式并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)记该抛物线的对称轴为直线I,点B关于直线I的对称点为C,若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形.求点D的坐标；将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P1其对称轴与直线y=3x-3交于点E,tanZDPE=-,求四边彩BDEP的面积.7例2如图,把两个全等的RtAOB和RtCOD方别置于平面直角坐标系中，使直角边0B、OD在X轴上.已知点A(l,2),过A、C两点的直线分别交X轴、y轴于点E、F.抛物线y=ax2+bx+cilsA、C三点.(1)求该抛物线的函数解析式；(2)点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交X轴于点N,问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若AAOB沿AC方向平移(点A始终在线段AC上，且不与点C重合)，AAOB在平移的过程中与ACOD重叠部分的面积记为S.试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值/若不存在，请说明理由.例3已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12)两点，且对称轴为直线x=4,设顶点为点P,与X轴的另一交点为点B.(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标；(2)如图1,在直线y=2x上是否存在点D,使四边形C)PBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2,点M是线段C)P上的一个动点(0、P两点除外)，以每秒后个单位长度的速度由点P向点0运动，过点M作直线MNx轴，交PB于点N.将APMN沿直线MN对折，得到APiMN.在动点M的运动过程中，设APiMN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S,运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式.图图2例4如图1,二次函数=/+久。0)的图象与*轴交于人、B两点，与y轴交于点C(0,-1),AABC的面积为3.(1)求该二次函数的关系式；(2)过y轴上的一点M(0.m)作y轴的垂线，若该垂线与AABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.图1课程小结有针对性的对勾股定理、梯形的性质及判定、二次函数的基本知识进行复习，有助于为研究二次函数与梯形的综合问题提供有利的依据。在探究二次函数与梯形的综合问题时，抓住已有的信息及条件在函数图像中构造出梯形，并能运用梯形、等腰梯形或是直角梯形的性质解决问题，掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键。例1【规范解答】(1)直线y=3x-3与X轴的交点为AQ,0),与y轴的交点为B(0,-3).将A(l,0)、B(03)分别代入y=a2+2x+c,得"2+c=0,解得c=-3.c=-3.所以抛物线的表达式为y=2+2-3.对称轴为直线X=-1,顶点为(-4).(2)如图2,点B关于直线I的对称点C的坐标为(-2,-3).因为CDAB,设直线CD的解析式为y=3x+b,代入点C(-2,-3),可得b=3.所以点D的坐标为(0.3).过点P作PH_Ly轴，垂足为H,那么/PDH=ZDPE.由tanD尸石=，得tanNPDH=2.7DH7而DH=7,所以PH=3.因此点E的坐标为(3,6).所以S梯形皿=g(5。+q)PH=24.图2图3【总结与反思】1 .这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了.2 .抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D、P两点间的垂直距离等于7.3 .已知乙DPE的正切值中的7的几何意义就是D、P两点间的垂直距离等于7,那么点P向右平移到直线X=3时，就停止平移.例2【规范解答】(1)将A(L2)、0(0,0)、C(2,1)分别代入y=a2+bx+c,a+b+c-2,得<c=0解得=-3,=,C=O.所以y=-。/+11.'22224a+2+c=l.(2)如图2,过点P、M分别作梯形ABPM的高PP2MM,1如果梯形ABPM是等腰梯形,那么AM'=BP',因此yA-yM,=yP,-yB.直线OC的解析式为y=设点P的坐标为(J那么22327M(x,-x+x).解方程2-(-六2+入)二,，得X=g,=2x=2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在.所以尸(|,；).图2图3(3)如图3,AAOB与ACOD重叠部分的形状是四边形EFGH,作EKLOD于K.设点A，移动的水平距离为m,那么OG=I+m,GB,=m.在Rt)FG中，FG=OG=(l+m).所以SANG=；(1+根)2.在RtAA'HG中，A,G=2-m.fl>(HG=-A'G=-(2-m)=l-m.所以。=OGHG=(1+机)(1!机)二机.在RtAOEK中，0K=2EK；在RtAEHK中，EK=2HK;所以0K=4HK.因此OK=3。=3义机=2机.所以EK=LoK=m.33221133所以SkoEH=5OHEK-×-m-m=-m2-于是S=SANGSaoev=(1+m)2-1m2=-m2+m+=-(m-)2+|s",乙乙乙乙O因为0<m<l,所以当机=L时，S取得最大值，最大值为3.28【总结与反思】1 .如果四边形ABPM是等腰梯形，那么AB为较长的底边，这个等腰梯形可以，分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB边分成的3小段，两侧的线段长线段.2 AAOB与ACOD重叠部分的形状是四边形EFGH,可以通过割补得到，即AOFG减去0EH.3求AOEH的面积时,如果构造底边OH上的高EK1那么RtEHK的直角边的比为1：2.4.设点A，移动的水平距离为m,那么所有的直角三角形的直角边都可以用m表示.例3【规范解答】解：(1)设抛物线的解析式为y=，(x-4)2+口代入A(2,0)、C(0,12)两点,得+)=0解得f=L所以二次函数的解析式为y=d)2-4=f8x+12,顶16+左=12.k=-4.点P的坐标为(4,-4).(2)由y=8x+12=(x2)(%6),知点B的坐标为(6,0).假设在等腰梯形OPBD1那么DP=OB=6.设点D的坐标为(x,2x).由两点间的距离公式，得(X-4-+(2X+4)2=36.解得X=M或X=-2.24如图3,当x=-2时，四边形C)DPB是平行四边形.所以，当点D的坐标为(1,M)时,四边形OPBD为等腰梯形.（3）设APMN与APOB的高分别为PH、PG.在RtPMH中，PM=5,PH=MH=t.所以PG=2%4.在RtPNH中，PH=t,NH=LPH=L.所以MN=二.222如图4,当0<tW2时，重叠部分的面积等于APMN的面积.此时sX当.224如图5,当2<t<4时，重叠部分是梯形，面积等于APMN的面积减去APQC的面积.由于上=学（所以%（午）扣一疗.此时S二之r3（2"4）2=2/+12/12.444【总结与反思】1 .第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况.2 .第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是Po的中点.例4【规范解答】（1）因为OC=1,ZABC的面积为j所以AB=*.42设点A的坐标为（a,0）,那么点B的坐标为（a+,0）.设抛物线的解析式为y=（i代入点C（0,-1）,得。（+=-L.解得=-g或=-2.因为二次函数的解析式y=2+p+乡中，p<0所以抛物线的对称轴在y轴右侧.因此点A、B的坐标分别为（-!，0）,（2,0）.213