向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的....docx

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心一一角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等;（4）外心一一中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.证法L设是的重心.证法2：如图三点共线，且分为2：1是的重心（2）为的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC,AD垂直BC,D、E是垂足.同理，为的垂心（3）设,，是三角形的三条边长，。是ABC的内心为的内心.证明：分别为方向上的单位向量，平分，），令（）化简得（4）为的外心。典型例题：例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心分析：如图所示，分别为边的中点.点的轨迹一定通过的重心，即选.例2：（03全国理4）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（B）A.外心B.内心C.重心D.垂心分析：分别为方向上的单位向量，平分，点的轨迹一定通过的内心，即选.例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心分析：如图所示AD垂直BC,BE垂直AC,D、E是垂足.=+=0点的轨迹一定通过的垂心，即选.练习：1 .已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为（）A.2B.C.3D.62 .若的外接圆的圆心为O,半径为1,贝1（）A.B.0C.1D.3 .点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（）A.0B.C.D.4 .的外接圆的圆心为O,若，则是的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心5 .是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，贝U是的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心6 .的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,则实数m=7 .（06陕西）已知非零向量与满足（+）-=0且=,则AABC为（）A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形8 .已知三个顶点，若，则为（）A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.既非等腰又非直角三角形练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C