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中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训数学预备知识数学预备知识1 1 导数与微分导数与微分数学预备知识数学预备知识2 2 不定积分不定积分3 3 矢量运算要点矢量运算要点中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训数学预备知识数学预备知识研究的对象函数微积分研究的基本工具极限研究的主要内容连续函数中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训1 1 导数与微分导数与微分1 1 导数与微分导数与微分1.1 导数的定义设函数 在给定点 处及其左右近旁有定义,当)(xfy0 xx自变量 在点 处有改变量 ,相应地函数 有改变量)(xfyxx0 x)()(00 xfxxfy若当 时, 比值 的极限存在, 即0 xxyxxxfxyxx)(limlim00存在,则称此极限为函数)(xfy在点0 x处的导数.记作:中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训1 1 导数与微分导数与微分00dd,0 xxxxxyyxf若)(xfy在内每一点都可导,则)(xfyba, xyyxfdd,为的导函数,习惯上亦称为导数。例1己知物体自由下落的运动表达式是 。221gts 求2t秒时落体的瞬時速度(实际上就是求 ) 2s解:tttt内的平均速度是: 。 ttsttsv ttsts当时只能得2t秒时瞬時速度的近似值,其近似程度取决于t的大小。由导数的定义按以下中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训1 1 导数与微分导数与微分2/42/4gttgttts三个步骤来求:(1)求函数的改变量(2)计算比值(3)当 时,求比值的极限0t 100sm6 .1922/42limlimggttsstt ggst22212时2当22221222212时2当tgtggtgtstt 2/4222gttstsso tsttss中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训1 1 导数与微分导数与微分练习题3dd:求,12己知xxyxy导数的几何意义是什么?思考应用函数曲线上任一点的斜率、切线方程、法线方程21:答案中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训1.2 微分的定义定义:若函数)(xfy在点0 x有导数0 xf ,那么这个导数与自变量x的改变量x的乘积xxf0称为函数)(xfy在点0 x处的微分,记作：xxfy0d并且说函数)(xfy在点0 x处可微。若)(xfy在任意点x可导,那么)(xfy在任意点x的微分,称为函数的微分，记作: xxfyd可以证明:自变量x的微分 。xxd所以上式常写为 xyxfxxfydd或dd1 1 导数与微分导数与微分中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训1 1 导数与微分导数与微分1.3 基本微分公式和导数公式 xxxxnnnneexeyeyxxxxyxyxxxxyxyxxxxyxynnxxxnxyxycycydd.61lnd1dln.5sincosdsindcos.4cossindcosdsin.3为任意实数dd.2为常数c00d.111中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训1.4 基本微分法则1 1 导数与微分导数与微分 xvxu)( xxufuufufxuufyvvuuvvuvuuvuvvuvuvccvcddd则,若.6ddd.5ddd.4ddd.3dd.20d.12中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训1 1 导数与微分导数与微分例2yxxy求：d4226解: xxxxxxxxxxxyd812d4d24d2d42dd5262626例3yxeyxd求：运用法则(2)(3)运用法则(4)解: xexxexexexexxeexxeyxxxxxxxxd1ddddddd中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训1 1 导数与微分导数与微分例4yxxyd求：ln解:2222dln1dlnddlnd1dlnlndlnddxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxy例5yxyd求：12sin运用法则(5)运用法则(6)解:这是一个复合函微, 设12sinxuuy xxxuxxuyd12cos2d2cosd12sind中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训ststtstva 22dddddddd1 1 导数与微分导数与微分1.5 高阶导数例6解:avgts和:求212gtgtsv221ggtgtsa 221中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训2 2 不定积分不定积分2 2 不定积分不定积分2.1 原函数设)(xf是定义在某区间内的一个己知函数,如果存在函数)(xF,使得在该区域内的任一点都有 xxfxFxfxFdd或)(那么函数)(xF称为函数)(xf在该区间上的原函数。gtgtsv221)(ts例)(tv为在(0,t)上的原函数中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训2 2 不定积分不定积分例7 。函数的原函数;1;sin;cos;2求：xFexxxxxfx解: xxeexxxxxx;1ln;cossin;22 .;ln;sin;为的原函数2xexxxxFxf 的原函数。也是显然xfCxF式中 为任意常数C中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训2 2 不定积分不定积分2.2 不定积分的定义设函数)(xF是函数)(xf的任意一个原函数,那么我们把函数的原函数族)(xfCxF)(叫做函数)(xf的不定积分,记作 , CxFxxf)(d xxfd即其中 为积分号,函数 叫做被积函数, 称为被积表达式, 为积分变量, 为积分常数。)(xfxxfd)(xC中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训2 2 不定积分不定积分例8.d求：2xx解:的一个原函数，因此是332323xxxxCxxx3d32例9解:.dcos验证：sinsinCexxexxxexeexxxcossinsinsinsin.dcossinsinCexxexx由不定积分的定义可得：中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训2 2 不定积分不定积分2.3 不定积分的基本性质 xxfxxfxfxxfddd或d.1 CxfxfCxfxxfd或d.22.4 基本积分公式 CxxxCnxxxCxxnnsindcos.31d.2d.11 CexeCxxxCxxxxxd.6lnd1.5cosdsin.4中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训2 2 不定积分不定积分2.5 不定积分法则 xxgxxfxxgxfddd.2 uvuvvuxuvuvxvudd或dd.3 xxfkxxkfdd.1例10解:.d2求：2xxxCxxxxxxxxx24334d2dd2原式中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训2 2 不定积分不定积分课后习题1.根据导数定义,分一差二比三极限的步骤,求函数1在点 x 43 xxf处的导数。2.求下列函数的导数和微分: 2223.411.3sin33.2cos.1xayxxyxyxxxy3.求下列不定积分 xxxexxxxxxd5cos.4d2.3d.2d1.1334.已知物体以速度122 tv作直线运动,当1秒时,路程s=3.求物体的运动规律s(t)和加速度 .a中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训3 矢量运算要点3.1矢量合成解析法：(1)(1)矢量在矢量在rtrt中的分量表示：中的分量表示：式中 kAjAiAAAAzyx0AAAAzyx1 coscoscoskjiA coscoscos0 x0AAAzAyAxAoyzP3 矢量运算要点1,0222AAAAAzyx中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训(2)矢量合成解析法：则则，设设jBiBBjAiAAyxyx )()(jCiCjBAiBABACyxyyxxCAByxoyCxC3 矢量运算要点中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训3.2 矢量的点积和叉积积几何意义(1)矢量的点积：夹角夹角（设（设 ) ) , ( , , BABBAA定义：; cos ABBA解：； )( . . aCABACBAbABBA性质：例11. BAjiBjiA求求，；已知已知3553 015153553533553jijjiijijiBA AB cos Bcos A 3 矢量运算要点中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训(2)(2)矢量的叉积矢量的叉积几何意义:（如图）顺序不变性质：; . ABBAa. )( . CABACBAb定义：的单位矢，方向服从右手螺旋法则。; )sin(0CABBA式中为垂直于0C BA、求例12 已知. 1210 , 65jiBjiA; BA解： , 2 AB, 0)2( AABA表明AB 0CABsinA3 矢量运算要点中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训3.3 3.3 矢量的导数和积分矢量的导数和积分的方向的切向A )(11tA; o当 的极限情况下， ddosA0t定义：(1)(1)矢量的导数矢量的导数为矢性函数）)( , )(tBBtAA（设几何意义（动画）；tAtAtddlim0 11tAA当时，12AA, sA 22tAAA 1tA 2tA /2tAsAdo3 矢量运算要点中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训例13、设在平面上有两相互垂直的单位矢 和 逆时针转动，oon试求 和 的大小和方向。od d)()(ooott d)()(ooontntn d d oon )(ddoonond逆时针转动设时，和tdtt )(to)(tno解：oonond. )(oondtnod )(oodt3 矢量运算要点中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训性质：性质：为常数；ctc a式中 0dd . 为数性函数； 式中dddd)(ddutAuAtuAtu td . 为常数；k tAkAktb . 式中 dd)(dd； tB tABAtcdddd)(dd . 3 矢量运算要点中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训顺序可变； dddd)(dd tBAB tABAte . 为中间变量。式中 )()( ddddddt, ssAA t s sA tAg . 顺序不可变； tBAB tA BAtf . dddd)(dd3 矢量运算要点中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训例14 试写出在直角坐标系中的表示：tA dd kAjAiAAzyx. dd dd dd) ( dd dd ktAjtAitAkAjAiAttAzyxzyx解3 矢量运算要点中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训例15 证明 dd dd)(dd tBABtABAt证：设jtBitBtByx)()()(则yyxxBABABA原式右第一项; dd dd) () dd dd (tABtABjBiBjtAitAyyxxyxyx原式右第二项 dd dd) dd dd () (tBAtBAjtBitBjAiAyyxxyxyxyyyyxxxxyyxxBtAtBABtAtBABABAtBAtdddddddd)( dd)( dd原式左 dd dd dd ddtABtABtBAtBAyyxxyyxx原式右左边右边 证毕 )()()( jtAitAtAyx3 矢量运算要点中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训不定积分定积分即：分量一般用分量大小与单位矢的乘积表示。 )(d )(CtBttA式中 为常矢C; )()(d )(01tt10tBtBttA特别强调不要写为kAjAiAAzyxzyxAAAA为矢性函数，且 )( , )(tBBtAA ddAtB设(2)矢量的积分3 矢量运算要点中学物理中学物理.奥赛培训奥赛培训4 矢量分析4 矢量分析4.1 4.1 矢量的通量与散度矢量的通量与散度4.2 4.2 矢量的环流与旋度矢量的环流与旋度4.3 4.3 并矢与张量并矢与张量