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【数列、函数极限的统一定义【数列、函数极限的统一定义】;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻二、二、 极限极限1. 极限定义的等价形式极限定义的等价形式 (以以 为例为例 )0 xx Axfxx )(lim00)(lim0 Axfxx(即即 为无穷小为无穷小)Axf)( , )(0 xxxnn n有有Axfnn )(limnx,0 x Axfxf )()(002. 极限存在准则及极限运算法则极限存在准则及极限运算法则【两个准则两个准则】夹逼准则夹逼准则; ; 单调有界准则单调有界准则 . .【准则】【准则】 如果数列如果数列nnyx ,及及 nz满足下列条件满足下列条件: : ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末数列那末数列nx的极限存在的极限存在, , 且且axnn lim. . 【准则准则】 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. 3. 无穷小无穷小无穷小的无穷小的性质性质 ; 无穷小的无穷小的比较比较 ;常用常用等价等价无穷小（无穷小（x0 时）时）: 4. .两个重要极限两个重要极限 xsin;xxtan;xxcos1 ;212xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x ;x1 xe;x1 xa; ln ax1)1( x;x ; 1sinlim10 某过程某过程.)1(lim210e 某过程某过程5. 求极限的基本方法求极限的基本方法 6. 判断极限不存在的方法判断极限不存在的方法 (1)利用极限的运算法则，函数连续性求极限利用极限的运算法则，函数连续性求极限(2)利用等价无穷小代换求极限利用等价无穷小代换求极限(4)利用极限存在准则求极限利用极限存在准则求极限(3)利用重要极限求极限利用重要极限求极限(5)利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限(6)利用左右极限相等求极限利用左右极限相等求极限(7)利用变量代换求极限利用变量代换求极限【例【例1】 求下列极限：求下列极限：)sin1(sinlim)1(xxx xxsin1sin21cos21sin2xxxx 21cos)1(21sin2xxxx 无穷小无穷小有界有界21)cos1 (cos1lim)2(0 xxxxxxxx21cos1lim0)cos1 (cos12lim20 xxxx20)21 (limexxax（3）已知 则常数 a= 2200)21(lim)21 (limaxxxaxxx解：2ae故故a= -4xxx222lim2解： （4） 原式= )22)(2()22)(22(lim2xxxxx= 221lim2xx= 41【例【例2】).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn 求求时时当当【解【解】将分子、分母同乘以因子将分子、分母同乘以因子( (1- -x), ), 则则xxxxxxnn 1)1()1)(1)(1)(1(lim242原式原式xxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim2422xxxnnn 1)1)(1(lim22xxnn 11lim1 2.11x .)0lim,1(1 2 nxxn时时当当三、三、 连续与间断连续与间断1. 函数连续的等价形式函数连续的等价形式)()(lim00 xfxfxx 0lim0 yx)()()(000 xfxfxf ,0 ,0 ,0时时当当 xx有有 )()(0 xfxf2. 函数间断点函数间断点第一类间断点第一类间断点第二类间断点第二类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点其它其它有界定理有界定理 ; 最值定理最值定理 ; 零点定理零点定理 ; 介值定理介值定理 .3. 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质【定理【定理1】( (有界性与最大值和最小值定理有界性与最大值和最小值定理) ) 在闭区间上在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界且必取得它的最大值和连续的函数在该区间上一定有界且必取得它的最大值和最小值最小值. .0)()( , )( bfafbaxf上上连连续续，且且在在若若【定理【定理2】(零点定理零点定理):，使使得得则则至至少少存存在在一一点点),(ba 0)( f.)( ),( ),( , ,)()(,)(CfbabaCBABbfAafbaCxf 使使至至少少存存在在一一点点内内在在开开区区间间之之间间的的任任意意一一个个数数与与那那么么对对于于不不相相等等与与且且端端点点值值设设定理定理3(介值定理介值定理):【例【例3】设函数设函数 )(xf,)cos1(2xxa 0 x,10 x, )(ln2xb 0 x在在 x = 0 连续连续 , 则则 a = , b = .【解【解】20)cos1(lim)0(xxafx 2a 221cos1xx )(lnlim)0(20 xbfx bln 2e1)0( f)0(002cos)( axxxaaxxxxf【例【例4】设】设a(1)当当 为何值时，函数为何值时，函数 在在 处连续处连续)(xf0 x)(xf(1)当当 a 为何值时，函数为何值时，函数 在在 处间断，处间断，是何种间断点？是何种间断点？0 x求函数 xxxxf)1(1)(2 的间断点，并判断其类型 【例【例5】解： 由初等函数在其定义区间上连续知 )(xf的间断点为 1, 0 xx21lim)(lim11 xxxfxx)(xf在 1 x处无定义 故 1 x为其可去间断点. xxxfx1lim)(00 x为 )(xf的无穷间断点. 综上得 1 x为其可去间断点. 0 x为其无穷间断点 【例【例6】xxxsin30)21(lim 求求【解【解】xxsin3)21( 6sin21)21( xxxxxxxxe21)21ln(sin6 由由定理定理3及极限运算法则得及极限运算法则得xxxsin30)21(lim xxxxxe210)21ln(sin6lim6e 【解【解】xxxsin30)21(lim )21ln(sin3 lim 0 xxxe 62sin3 lim 0eexxx ln(1+2x) 2x (x0)【补充【补充】,0)(lim 0 xuxx若若则有则有 )( )(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe )(1ln)(lim0 xuxvxx e )()(lim0 xuxvxxln1+u(x) u(x) (u(x)0)型型 1 【例【例7】),1()0( ,1 , 0 )(ffxf 且且上连续上连续在闭区间在闭区间设设【证明【证明】),()21()(xfxfxF 令令.21, 0)(上连续上连续在在则则xF).()21( 1 , 0 ff 使得使得证明必有一点证明必有一点【分析【分析】 改写结论为改写结论为0)()21( ff若考虑辅助函数若考虑辅助函数)()21()(xfxfxF 则问题转化为证明则问题转化为证明F(x)在在0,1/2上必有一个零点上必有一个零点.讨论讨论: :, 0)0( F若若, 0 则则);0()210(ff , 0)21( F若若,21 则则);21()2121(ff ),0()21()0(ffF ),21()1()21(ffF 0)21()0( FF若若则由连续函数的介值定理可知：则由连续函数的介值定理可知：0)(),21, 0( F使使必有必有综上，命题得证综上，命题得证.一、用导数定义求导一、用导数定义求导1.导数定义的等价形式导数定义的等价形式xxfxxfxfx )()(lim)(0000hxfhxfh )()(lim00000)()(lim0 xxxfxfxx 点导数点导数xxfxxfxfx )()(lim)(0导函数导函数hxfhxfh )()(lim0 xtxftfxt )()(lim例例1 1.0,0, 00,1sin)(处处的的连连续续性性与与可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处有处有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx【例【例2】 ).0()1(),100()1()(ffxxxxf 和和求求设设【解【解】用导数定义用导数定义1)1()(lim)1(1 xfxffx)100()2( lim1 xxxx!99 【解【解】用求导法则用求导法则先求导函数先求导函数 )100()1()( xxxxf )100()2()1()100()2()1( xxxxxxxx )100()2()1()100()2( xxxxxxx故故!99)99()2)(1(1)1( f同理可求同理可求 f (0)(自己练习自己练习)【分析】函数是连乘积【分析】函数是连乘积,但但f(0)=0,f(1)=0,故不能用对数求导法故不能用对数求导法.【例【例3】已知可导函数已知可导函数f (x)表示的曲线在表示的曲线在xxfx1)(lim20 【分析【分析】切线斜率切线斜率点导数点导数导数定义导数定义极限极限【解【解】1)(1)(lim1)(lim020 xfxxfxxfxx1)0(211)0( )0( fff1)(0)0()(lim0 xfxfxfx1)11(21 点点(0,1) 处的切线的斜率为处的切线的斜率为1/2 ，求，求二、用求导法则求导二、用求导法则求导【常数和基本初等函数的导数公式【常数和基本初等函数的导数公式】xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc二、用求导法则求导二、用求导法则求导1.四则运算的求导法则四则运算的求导法则2.反函数的求导法则反函数的求导法则3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则4.隐函数求导法则隐函数求导法则 对数求导法（注意适用类型）对数求导法（注意适用类型）5.参数方程确定的函数求导法参数方程确定的函数求导法【复习】幂指函数的导数求法【复习】幂指函数的导数求法方法方法：化为：化为)()(xvxuy )(ln)(xuxvey 复合函数链复合函数链导公式法导公式法方法方法：对数求导法：对数求导法.并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数, ) ( ,)(),(xxxvxu1 和、差、积、商的求导法则【定理【定理】).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxudydx dxdyyfxfIxfyyfIyfxxy1 .)(1 )(,)(,0)()(11 或或且有且有内也可导内也可导对应区间对应区间在在那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数2 反函数的求导法则【定理【定理】【结论【结论】反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数. .3 复合函数的求导法则对于对于 ln，tgx 3，xe212sinxx 等复合函数，等复合函数，存在两个问题：存在两个问题： (1) 它们是否可导？它们是否可导？(2) 若可导，如何求导？若可导，如何求导？以下法则回答了这两个问题以下法则回答了这两个问题. .dxdududydxdyxgufdxdy