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第八章、第九章、第十章 习题课一、主要内容小结曲线坐标系下的分离变量法积分变换法定解问题的求解球函数、柱函数傅里叶积分变换法拉普拉斯积分变换法施刘型本征值问题常微的级数解法常微的不变式积分变换的存在性、变换性质、应用之一：求解定解问题(特殊函数)1. 本征值问题的构成：变系数常微 + 一定的定解条件2. 对定解问题的解有重要作用的因素：施刘型本征函数的正交性、完备性3. 特殊函数 (施刘型本征函数、生成函数、递推公式、渐进表示)思考： 数学物理方法“定解问题” 部分与 “复变函数” 部分 的联系？1. 利用递推关系证明1220100( )( )(1)( )(1)( )nnnnx Jx dxx JxnxJxnxJx dx证明：利用递推关系 及01( )( )dxJxx Jxdx10( )( )JxJx 分部积分，得到101111110110220( )( )( )(1)( )( )(1)( )( )(1)( )(1)( )nnnnnnnnnx Jx dxxd xJxx JxnxJx dxx JxnxdJxx JxnxJxnxJx d x若 n 为奇数，照这样积分下去，最后一项积分为01( )( )xJx dxxJxc 此时，积分结果可用 J0(x) 和 J1(x) 表示。若 n 为偶数， 最后一项为 ，因而只能对 J0(x) 的级数表达式逐项逐项积分积分。0( )Jx dx当 n = 3 时，有3320101( )( )2( ) 4( )x J x dxx J xx J xxJ xc113222( )( )( )Jxx JxJx2. 试由递推公式计算 及 。3/2( )Jx311222121( )( )( )( sincos )JxJxJxxxxx x3/2( )Jx解：由 得到112( )( )( )vJxJxJxx11( )( )( )2vxJxJxJx在上式中令 = 1/2 ，有而112222( )sin( )cosJxxJxxxx311222121( )( )( )(cossin )JxJxJxxxxx x 131222( )( )( )Jxx JxJx 同理，在递推公式中令 = 1/2 ，有3. 设 n(0) (n=1,2,) 是方程 J0(x) = 0 的正根正根。 试将 f ( ) = 1 2 (式中 0 1) 按零阶贝塞零阶贝塞尔尔函数函数展开为傅里叶-贝塞尔级数。解：由于函数 f ( )= 1 2 在区间0，1上有连续的一阶导数和二阶导数，且 f ( ) 在 = 0 处有界，在 = 1 处为零，故 f ( ) 可以展开为绝对且一致收敛的级数1(0)02(0)013(0)02(0)012()()()2()()()kkkbkkCfJdJJdJ(0)01( )()kkkfC J且展开系数现在分别计算上式的两项积分，为书写简单起见，记 x = k(0) ，则(0)(0)(0)1(0)010(0)2001(0)20(0)01(0)2(0)0( )()1( )( )()kkkkkkkkkxJxIJddxxJxdxxJxJ(0)(0)(0)(0)(0)313(0)020(0)40021(0)403211(0)400(0)210(0)(0)40(0)210(0)(0)4( )()1( )1( )2( )()2( )()2( )kkkkkkkkkkkkkkkx JxIJddxx d xJxx Jxx Jx dxJxJxdxJx Jx (0)(0)(0)000(0)11(0)(0)40(0)(0)11(0)(0)32( )()4( )()4()kkkkkkkkkkxJx dxJxJxdxJJ (0)3(0)18()kkkCJ将以上两个积分结果代入系数表达式 ，整理后即得将 Ck 代入级数展开式，便有2(0)0(0)3(0)1181()()kkkkJJ4. 求 的傅里叶变换。 2( )xf xe解：所给函数满足傅里叶变换的条件。由傅里叶变换的定义有222222()4244F ( )1xik xkkx iakkuf xeedxedxeedue(p121：例6)高斯型函数的傅里叶变换仍然是高斯型函数 5. 利用傅里叶变换证明330sin38kdkk121( 11)1( 22)( )( )20(1)0(2)xxxf xfxxx 11112sin( )( )ikxikxkf kf x edxedxk22222220( )( )(1)22sin2(1)cos2ikxikxxfkfx edxedxxkkxdxk它们的傅里叶变换分别为证明：令由帕塞瓦尔等式( ) *( )2( ) *( )f k gk dkf x gx dx1212( )*( )2( )*( )f k fk dkf x fx dx311231sin42( )( )2(1)32xkdkf x fx dxdxk330sin38kdkk即因此，有可得6. 已知 ，利用展开定理求 f (t)。1( )1f pp(1) 在 C1 上，p+1 = | p+1 | e i = (1) e i (2) 在 C2 上，p+1 = | p+1 | e i = (1) e i 选择积分回路 L 如上图所示。解： 为多值函数，支点为 1 与 。从 1 到 沿负实轴作割线。规定割线上岸割线上岸 (p+1) 的辐角为 ，割线下割线下岸岸辐角为 ：()fp对于圆弧 C 上的 p，有 | p+1 | = 。因此，小圆弧引理中的 。由小圆弧引理得lim101ptekpp=（）210lim()01ptCedpikp12lim01RRptCCRedpp12121211(1)1011( )( ) ( )2212111()()2(1)(1)11(1)RRiptptiLCCCCCptptCCttiitutf tf p e dpf p e dpiieedpdpippeeddieeeedduu 由约当引理得到又由 在回路 L 内部解析，故回路积分为零。根据梅林公式及留数定理得 ( )ptf p e2201122axaxedxedxa 作变量代换 u = 2 ，利用欧拉积分欧拉积分202( )ttteef tedt则