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5-9 5-9 若电荷均匀地分布在长为若电荷均匀地分布在长为L 的细棒上，求证：的细棒上，求证：（1 1）在棒的延长线上，且离棒中心为）在棒的延长线上，且离棒中心为r处的电场强度为：处的电场强度为：（2 2）在棒的垂直平分上，且离棒中心为）在棒的垂直平分上，且离棒中心为r r处的电场强度为：处的电场强度为：220124QErrL22014QErL证明：证明：（1 1）考虑棒的延长线上距棒中心为）考虑棒的延长线上距棒中心为r的的P点；点；取坐标如右图所示；取坐标如右图所示；在棒上在棒上x处取线元处取线元dx，线元线元dx的带电量的带电量dq为：为：QdqdxL若棒为无限长（即若棒为无限长（即L），试将结果与无限长均匀带电直线），试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较。的电场强度相比较。即，即，的大小的大小dE为：为：dEdE的方向为：的方向为： 沿沿x轴正向；轴正向；204()QdxdEL rx应用电场强度的叠加原理，应用电场强度的叠加原理，得到总场强的大小得到总场强的大小E为：为：EdE22024()LLQdxLrx011422QLrLrL即，即，22014QErL总场强的方向为：总场强的方向为： 沿沿x轴正向。轴正向。dq在在P点的场强点的场强的大小的大小dE为：为：dE2014()dqdErx（2 2）考虑棒的垂直平分线上距棒中心为）考虑棒的垂直平分线上距棒中心为r的的B点；点；在棒上在棒上x处取线元处取线元dx，线元，线元dx的带的带电量电量dq为：为：QdqdxL取坐标如右图所示；取坐标如右图所示；该该dq在在B点产生的场强点产生的场强dE的大小的大小dE为：为：22014dqdErx2204QdxdEL rx即，即，dE的方向：的方向： 如右图所示；如右图所示；将将dE分解为：分解为：sinxdEdEcosydEdE22sinxrx注意到：注意到：22cosrrx222204xQdxxdEL rxrx所以所以222204yQdxrdEL rxrx即，即，223 204()xQxdxdEL rx223 204()yQrdxdEL rxxxEdE2223 2024()LLQxdxLrx0yyEdE2223 2024()LLQrdxLrx220124QrLr积分得：积分得：xyEE iE j所以，所以，B点的电场强度为：点的电场强度为：220124QjrLr当当L时，注意到：时，注意到：QL220/1lim214LQLErrL02r结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同；结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同；这说明，只满足这说明，只满足221rL ，带电长直细棒就可看作为无，带电长直细棒就可看作为无限长带电直线。限长带电直线。 5-10 一半径为R的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为 ， 求球心处电场强度的大小。 dSdqdR sin22将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元在点O激发的电场强度为解解ixxd41d23220 cosRx sinRr 由于平行细圆环在点O激发的电场强度方向相同，利用几何关系统一积分变量，有ddRRRrxxdqdEcossin2sin2cos4141023023220积分得球心的电场强度为 20004cossin2dE或iidE200042cossinyz和和zx平面，立方体的一个顶点为坐标原点。现将立方体置于电平面，立方体的一个顶点为坐标原点。现将立方体置于电场强度为场强度为12()EEkx iE j的非均匀电场中，求立方体各表的非均匀电场中，求立方体各表面的电场强度通量。面的电场强度通量。解：解：对立方体的各个顶点标上符号，对立方体的各个顶点标上符号，如右图所示，如右图所示，（1 1）对于）对于ABOC平面，平面，x = 012EE iE j2Sa i = =恒矢量恒矢量所以，所以，ABOCE S212() ()E iE ja i 21E a （2 2）对于）对于DFGH平面，平面，x = a12()EEka iE j= =恒矢量恒矢量2Sa i所以，所以，DFGHE S212() ()Eka iE ja i231E aka5-15 5-15 如图所示，边长为如图所示，边长为a 的立方体，其表面分别平行于的立方体，其表面分别平行于xy、（3 3）对于）对于BGHO平面，平面，12()EEkx iE jdSdSk 所以，所以，00BGHSE dS（4 4）对于）对于AFDC平面（类似于平面（类似于BGHO平面），平面），所以，所以，0AFDCSE dS12()EEkx iE jdSdSk（5 5）对于）对于ABGF平面，平面，12()EEkx iE jdSdSj所以，所以，ABGFSE dS12() ()SEkx iE jdSj22E a（6 6）对于）对于CDHO平面（类似于平面（类似于ABGF平面），平面），12()EEkx iE jdSdSj ABGFSE dS12() ()SEkx iE jdSj 22E a 所以，所以，因此，整个立方体表面的电场强度通量为：因此，整个立方体表面的电场强度通量为：ABOCDFGHBGHOAFDCABGFCDHO 223221122()00()E aE akaE aE a 3ka5-17 5-17 设半径为设半径为R的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度 为为0kr解解: :k为一常数；试用高斯定理求电场强度为一常数；试用高斯定理求电场强度0rRrRE与与r的函数关系。（你能用电场叠加原理的函数关系。（你能用电场叠加原理求解这个问题吗？）求解这个问题吗？）电场分布也是球对称的，同心球面电场分布也是球对称的，同心球面由于电荷分布具有球对称性，所以由于电荷分布具有球对称性，所以上各点电场强度的大小为常量；以同心球面为高斯面，则有：上各点电场强度的大小为常量；以同心球面为高斯面，则有：24SE dSEr当当0rR 时时, ,高斯面所包围的电荷电量高斯面所包围的电荷电量q为为: :211104rqkrr dr31104rkr dr4kr204rkrEe4204rkREer应用高斯定理，得：应用高斯定理，得：2404Erkr故：故：204kEr或，或，（0rR）当当 r R 时，时，高斯面所包围的电荷电量高斯面所包围的电荷电量q为为: :211104Rqkrr dr应用高斯定理，得：应用高斯定理，得：2404ErkR故：故：4204kREr或，或，（ r R ）31104Rkr dr4kR5-20 5-20 一个内外半径分别为一个内外半径分别为R1和和R2的均匀带电球壳，总电荷为的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为，球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面，球面电荷为的均匀带电球面，球面电荷为Q2，求电场分布。电场强度是否为离球心距离的连续函数？试分析。求电场分布。电场强度是否为离球心距离的连续函数？试分析。解：解： 如右图所示，如右图所示，球壳和球面将空间分为四个部分；球壳和球面将空间分为四个部分；（1 1）求球壳内部空间的场强）求球壳内部空间的场强E1由于电荷分布具有球对称性，由于电荷分布具有球对称性，所以电场的分布也具有球对称性；所以电场的分布也具有球对称性；在球壳内部空间作一半径为在球壳内部空间作一半径为r 的球面为的球面为高斯面高斯面S1，如右图所示；则，如右图所示；则S1面上各点面上各点所以，所以，11SE dS 1()rR214Er高斯面高斯面S1内的电荷内的电荷q为：为：0q 所以，由高斯定理得到球壳内部空间所以，由高斯定理得到球壳内部空间10E 1()rR的电场强度的电场强度E1为：为：（2 2）求球壳内空间的场强）求球壳内空间的场强E2在球壳内空间作一半径为在球壳内空间作一半径为r的球面为高的球面为高斯面斯面S2，如右图所示；，如右图所示；类似（类似（1 1）的分析，得到：）的分析，得到：22SE dS 12()RrR224Er高斯面高斯面S2内的电荷内的电荷q为：为：33113342134()() 3QqrRRR33113321()()Q rRRR由高斯定理，得到场强由高斯定理，得到场强E2为：为：331123320214()QrRERR r12()RrR（3 3）求球壳与球面间空间的场强）求球壳与球面间空间的场强E3在球壳与球面间作一半径为在球壳与球面间作一半径为r的球面为高的球面为高斯面斯面S3，如右图所示；，如右图所示；类似（类似（1 1）的分析，得到：）的分析，得到：33SE dS 23()RrR234Er高斯面高斯面S3内的电荷内的电荷q为：为：1qQ由高斯定理，得到场强由高斯定理，得到场强E3为：为：132014QEr23()RrR（4 4）求球面外空间的场强）求球面外空间的场强E4在球壳与球面间作一半径为在球壳与球面间作一半径为r的球面为高斯面的球面为高斯面S4，如上图所示；，如上图所示；类似（类似（1 1）的分析，得到：）的分析，得到：44SE dS 3()Rr244Er高斯面高斯面S4内的电荷内的电荷q为：为：12qQQ由高斯定理，得到场强由高斯定理，得到场强E4为：为：1242014QQEr3()rR电场强度分布为：电场强度分布为：10E 1()rR331123320214()QrRERR r12()RrR132014QEr23()RrR1242014QQEr3()rR电场强度的方向均沿矢径方向。电场强度的方向均沿矢径方向。各区域的电场强度分布如右图所示。各区域的电场强度分布如右图所示。在带电球面的两侧，电场强度的在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴在紧贴r=R3 的带电球面两侧，电场强的带电球面两侧，电场强度的跃变量度的跃变量E为：为：3343|r Rr REEE22034QR0这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的结果，且具有普遍这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的结果，且具有普遍性。实际的带电球面都是有一定厚度的球壳，球壳内外的电场强性。实际的带电球面都是有一定厚度的球壳，球壳内外的电场强度也是连续变化的，如本题中带电球壳内外的电场度也是连续变化的，如本题中带电球壳内外的电场E2 ，如果球壳，如果球壳的厚度变小，的厚度变小，E2的变化就变陡，最后当厚度趋向于零时，的变化就变陡，最后当厚度趋向于零时，E2的变的变化就变成为跃变。化就变成为跃变。场强度：场强度：（1 1） r R1 ；（2 2） R1 r R2 解：解： 由于电荷分布在无限长的同轴圆柱面上，电由于电荷分布在无限长的同轴圆柱面上，电场强度也一定呈对称性分布，沿矢径方向。场强度也一定呈对称性分布，沿矢径方向。（1 1）求）求 r R2），单位长度上的电荷为），单位长度上的电荷为；求离轴线为；求离轴线为r r处的电处的电（2 2） 求求R1 r R2 的电场强度的电场强度qh作半径为作半径为r（ R1 r R2 ）、高为）、高为h的高斯面，的高斯面，如右图所示，只有侧面有电通量，如右图所示，只有侧面有电通量，所以，所以，SE dS 2E dSE dS侧面底面22Erh这个高斯面内的电荷这个高斯面内的电荷q为：为：202Erhh应用高斯定理，得：应用高斯定理，得：所以，所以，202Er（ R1 r R2）、高为）、高为h的高斯的高斯面，如右图所示，只有侧面有电通量，面，如右图所示，只有侧面有电通量，所以，所以，SE dS 2E dSE dS侧面底面32Erh这个高斯面内的电荷这个高斯面内的电荷q为：为：320Erh应用高斯定理，得：应用高斯定理，得：所以，所以，30E （3 3）求）求r R2的电场强度的电场强度()qhh 0在带电面附近，电场强度大小不连续，在带电面附近，电场强度大小不连续，有一定的跃变；有一定的跃变；02Er02LrL0与题与题8-208-20分析讨论的结果一致。分析讨论的结果一致。（r R2）5-23 5-23 已知均匀带电直线附近的电场强度近似为已知均匀带电直线附近的电场强度近