第五届高数竞赛文科类答案.docx

共15分)Ccos2x,C r 1 C0S2.,2. y = X (-2sm2xln XH)dxX_ , X24.一0. in X 2e2共15分)3. (A)4. (C)5. (B)=Iim2vosinx-xcosxX3-2南昌大学第五届高等数学（文科类）竞赛试题参考答案一、填空题(每题3分，1.123.y=3x-1二、选择题(每题3分，I. (A)2.Q三、(本题满分10分)Az,.sin2x-x2cos2X1.sin2x-x2cos2x解：hm一=Iim、r0x(e2r-l)ln(l+tanx)x0x2xtanxII. (sinx-xcosx)(sinx+Csx)=Iim；2-o%4Irsinx-xcosxsinx+xcosx=Iim2XTOX3X四、（本题满分10分）解：设tanx+l=r,则/二-r+l+(r-l)2,l+d)1+1+(x1)"1+(D2于是fM=1J1.2+1+(XT)2>XJ(l+(x-l)2).八(X1)3=arctan(x-l)+x+-由/=4,得C=3.故/(x)=arctan(x-l)+x+÷3.五、(本题满分10分)解：除了原点，设直线y=Zx与抛物线y=2x(2-x)交于(c,Ac),那么(4x-2x2-kx)dx+kx-4x+2x2)dx=2k,JOJC即2x2-I3-22=2k,>2(2c2c3kc1)=323又2c(2一C)=ZC联立，解得c=4,A=4-2返.六、(本题满分12分)解：Jfx)dx=V(x)-xf,xdx00在方程/(x)=e式2-)力中，令X=1,得O1-1O/=<2-¾=2-¼=0.OO再在方程/(x)=edy两端对X求导，得f)=-ei-2,O因此，fxdx=V(x)-xfx)dx=-xfx)dxOOO七、(本题满分14分)解：设函数f(x)=ax2ex-,f,(x)=2axex-ax1ex=ax(2-x)ex.令r(x)=O,得函数f(x)的驻点M=O,x2=2.由于。>0,所以Iim/(x)=Iim(ax2ex-l)=+,x-.r-oo'Iim/(x)=Iim(ax2ex-l)=zIim-=aIim-=aIim-1=-1.X-W>X÷3OX7X+QOxX÷/X-HJO工因此，得函数/(x)的性态X-OO(-8,0)0(0，2)2(2，+8(0+0/W+00-1T4ae2-1-1(1)若44-2-i>o,即时，函数Q)=一1在(00,0)、(0,2)、(2,+oo)4内各有一个零点，即方程e'=4/2在(_8,+oo)内有3个实根.2(2)若4一jo,即时，函数/=奴?/一1在(_8,0)、(0,+8)内各有一个零点，即方程在(-8,+oo)内有2个实根.2若4"2一1<0,即<J时，函数在(_8,0)有一个零点，即方程4"=八2在(_8,+00)内有1个实根.八、(本题满分14分)证明：设x2,4,则/(x)=()(x-2),1(2,x);F(X)=f2Xx-4),2(X,4).M=max,(x),则有U)M(x-2)f(x)M(4-x)j(x)dx<口/(X粒'(x-2)dx+(4-x)dx=M.