NapoleonPoints的推广与例证法的应用.docx

5IO152025303540NapoleonPoints的推广与例证法的应用张慧铭B,彭翕成2（1.华中师范大学经济管理学院，武汉430079;2.华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心，武汉430079;3.华中师范大学数学与统计学学院，武汉430079）摘要：本文根据拿破仑点的性质，对拿破仑点进行了推广以及证明，证明的核心是巧妙地利用例证法证明几何定理。例证法的理论基础来源于代数方法。例证法的思想是依靠有限归纳的方法，把有限推广到无限，这表现了数学的精辟之处。例证法的思想蕴含了数学机械化的思想，我们可以按部就班的运用特定的程序去解决某些数学问题。关键词：几何学；拿破仑点；例证法；平面几何；数学机械化中图分类号：0123.1ExtensionofNapoleonPointsandApplicationsofInstancesMathodZhangHuiming1,3,PengXicheng2(1.SchoolofEconomics,CentralChinaNormalUniversity,Wuhan430079;2. NationalEngineeringResearchCenterforE-learning,Wuhan430079;3. SchoolofMathematicsandStatistics5CentralChinaNormalUniversity5Wuhan430079)Abstract:Inthispaper,weputforwardaextensionofnapoleonpointsandproofit.ThemainideatoprovetheextensionofNapoleonPointsmasterlyisinstances.Foundationtheoryofinstancesmethodoriginatesfromalgebraicmethods.Thethoughtofinstancesmethoddependonlimitedinductivemethod,whichletlimitedconditionsgeneralizetotheinfinite.Itshowsthattheeleganceofmathematics.Thethoughtofinstancesmethodisthemathematicsmechanization,wecansolvesomemathematicalproblemsstep-by-stepwithprograms.Keywords:planegeometry;napoleonpoints;instancesmethod;athematicsmechanization0引言拿破仑波拿巴（NaPol6onBonaparte,1769-1821）是法国近代资产阶级军事家、政治家、数学家。一般人知道他以军事家的身份，但是很少有人注意到他的数学家身份。拿破仑年轻时受到著名数学家拉普拉斯，拉格朗日的影响，因此对数学特别感兴趣，尤其是平面几何。拿破仑常年忙着打仗，但是常常与数学家讨论数学问题，例如“只用圆规，怎么把圆周四等分”。为了纪念他对平面几何的贡献，有用他名字命名的拿破仑三角形，拿破仑点等。在欧式几何中，发现几何定理通常是人们通过一些例子总结出来的，然后才去证明猜想是否正确。想要否定猜想，只要找出一个反例就足够，想要证明猜想，一般思维想到的方法是不会仅仅依靠有限的例子来证明。洪加威打破了人们的传统观念，在1986年提出了“例证法”证明几何定理。这种方法在计算机上得到了实现。本文通过一些特例猜想出Nap。IeOnPointS的推广，用塞瓦定理构造方程，然后用例证法证明猜想是正确的。本文还另外列举了几个平面几何题，用例证法给与了证明。作者简介：张慧铭（1990-）,男，数学经济学实验班，主要研究方向：概率统计，数学模型，平面几何等通信联系人：彭翕成（1982-）,男，助理工程师，主要研究方向：数学教育.E-mail:455055606570758085901NapoleonPoints下面介绍两类拿破仑点作为引理为下面的推广做铺垫。第一拿破仑点如图1,分别以的边43、BC、AC为等边三角形边长，向外作外接等边三角形BCEmQACEal设这三个三角形的中心令型为Nab、Nbc，Nac,那么CNAB，ANBc，BNAC共同于N。第二拿破仑点叫如图2,类似的作外接正三角形，则CNlB,AN,BN'ac共点于N'°图3特例四Fig3special example 4图1第一拿破仑点Fig.lfirst napoleon point图2第二拿破仑点Fig.2second napoleon point2NapoleonPoints的推广及其证明2.1 通过一些特例猜想NapoleonPoints的推广分析拿破仑点的构造：拿破仑点位于的各条边的外（内）接三角形的中心与各边相对的顶点的连线上，如果把外接三角形的中心改为外（内）接三角形内其它的点，类似的情况会不会有三线共点的呢？图4拿破仑点的推广Fig.4extensionofNapoleonPoints猜想一般性的推广：如图4,分别作8CA',ZkCAB',ZkABC的3C,C4,A5边上的高4O',3E',C0在直线OA,EB',FC'分取丽=k方HfEH=kEBifFT=kFCi(kR)o(当&<0,说,丽,可的方向与方H,Eff,定5相反，也就是考虑95各边内接正三角形的情况。)然后分别连接AG,3H,C7,猜想有AG,8H,C/共点于P。利用超级画板软件在绘制图4的过程中不断改变左的值，进而证实了这个共点的规律。笔者把这个性质称为拿破仑点的推广命题。2.2 例证法证明NapoleonPoints的推广当人取遍R中的所有实数时，我们不可能把每种情况都一一证明。证明三线共点有很100多种方法，其中公式化的证明方法就是使用塞瓦定理。如图4,设4G交BC于Jr,8H交C4于L,Cl交AB于K.如果CK,a,A共点,那么由塞瓦定理知：=1LCJBKA为了方便计算令2。=3。,2匕=4。,2。=45；作4/18。的高AH=%,BH2=kCH3=k105令DHl=Aa,EH?=/?,FH3=AC(其中。，b,c,AC,/%,%,%是己经由ABC决定的常数。)下面利用相似三角形计算出D/,KF,LE既可。由aGDsaA"2J可得：DJ=GDGD+AHxDHi=kA,DkA'D十 %Aa= -7=ky3a + h1tzE/人八ky3atz3(6f+)+1_八r八，那么C/=CO+QJ=«+>=7=-uJB=DB-DJ=ky3a+h,k-J3a+h,110k,y2>a_ aj3k(a -w) + 71k>3a + 1 k>3a + h同理有ALy3k(b-b) +h2LC -小k(b+M) + h2 'CJ_ a3k(a + tz) + A1 _ 邪k(a + ) + hJB ay3k(a - d) ÷ 1 石女(一) +4吧=*c + Ac) + h3代入得：KAy3k(h - c) + %0ALCJBK_y3k(b+?)+h2GZ(C-c)+h3币k(a+)+4LCJBKAy3k(b-Ab)+h2jl>k(b+c)+h36人(-Az)+43k(a+a)+hiy3k(b+Z?)+A2y3k(c-c)+3J=3k(a-tz)+hjl6k(b-Z?)+h26&(c+c)+%化简时显然可以先把两边的44刈消去，把左边的式子移到左边，得到一个多项式方程115f(k)=pk3+qk2-rk=O(p,q,是由式决定，它们是否为0,目前还不确定)。要想证明NaPoIeOnPointS的推广命题，就要证明/)=0。多项式的根中有一个这样的性质叫设f(Q=g>K和g(Q=力K0如果有n+1个不同的数匕,/使得r=0i=0f(kj=g(k),i=l,则q=%i=l,.,，即/(Q=g("设f(k)=pk3+qk?+rk=0,(p,q,rwR),如果要证明/(Z)=O,我们只需要找到1204个不同的根人,融,收，24。特例一:首先考虑最简单的情况。K=O时，G,"J分别与O,E,尸重合,而O,E,F分别是AABC各边的中点，而三角形的中线交于一点是熟知的。特例二：公=-！时，三条线的交点为第一拿破仑点。"3125130135140145150155160165特例三：&3=一时，三条线的交点为第二拿破仑点。3图5特例四Fig.5special example 4特例四：如图3,在的三边上向外作正三角形Bc4',CA8,ABe'.连接AA39,CC',那么这3条线共点于Po（笔者曾经在阅读蒋声著的从单位根谈起中的一道平面几何题的附图看见的，原题不是证明这个结论。）证明：如图5设8CA'的外接圆是。M,ZkCA"的外接圆是ON2,设N与。N2相交于P。NCEA=I80-NB'=120而NCRr=NCBA'=60。故NCPA+ZCPA,=180,即A,P,A共线。同理B,P,Bf共线。下证4,尸,B,C'共圆。YZAPB=360-ZCPA-ZCPB=120。而Ne=60,故ZAPB+ZC=180,即A,P,8,C'共圆，设它的圆心为N,。又因为N与。N2相交于尸，所以PWoNlCN2C0N3,即三圆共点于P由ZAPC,=ZABC,=60°,NCPA'=NCR4'=60得到ZAPC=NC4',因为A,P,A共线，那么CP,C共线，即直线4A,B9,CV共点于P。解平面几何题时，经常遇到一些动态的问题，题目的条件在动，而结论却是不变的。当我们暂时只能举出一些特例使得结论成立，乂想不到技巧性的证明，则考虑例证法证明几何命题的方法（简称例证法）。方法总结如下：例证法证明几何命题的方法：对于一些动态的几何问题，能把几何结论转化为证明一个n次多项式方程Jw=EaN=Ui=0为了证明>=o,我们只需要找到+1个不同的。自,，满足上述方程即可。那么，这个多项式恒为0,严格证明见4,不管上取什么值。则几何问题证明完毕。这种方法就是有限归纳法的体现。2.3 面积法证明NapoleonPoints的推广下面用面积法给出另一种证法。使用塞瓦定理时，如果能够巧妙的找到比例任，,如简洁的表达式，那么我LCJBKA们就可以直接计算出N8笆=1用例证法证明就显得繁琐了。由三个外接正三角形LCJBKA,的相似关系，以及线段的比例关系有：ZGBC=ZGCB=ZHCA=ZHAC=ZIAB=ZIBA=°ACSin(NBeA+，)" ABsin(ZABC÷<9)rj-CGACsin(ZBCA+19)由面积关系有=2包=qJBSABAG1BGBsin(ZABC+9)于是有四文.如.ILCJB KAI=ITm+8KBCsin(ZAC+<9)ALABSin(N34C+6)同理有=,=KAACSin(N84C+6)LCBCSin(NBCA+6)170175180185