探析导数求解含参函数单调性的方法策略 论文.docx
探析求解含参函数单调性的方法策略摘要：函数的单调性是导数部分最基础，也是必须要掌握的知识点，极最值是其衍生问题，该类问题通常以选择题或解答题的形式出现。函数与导数综合问题通常融合参数命题，不仅考察学生对函数与导数知识的学习，而且考查学生分类讨论和数形结合的思想。这种题目对学生来说难度大，拿分不易，究其原因，是学生对分类讨论标准的实质掌握不牢。关键词：函数导数单调性参数分类讨论数形结合.引言：一年以来，为了更扎实的研究本教科研论文，我对本校高三及部分高二学生开展了问卷调查，为弥补问卷调查的不足，保证采集数据方式的多样性，约谈了部分学生开展座谈会，采集了261份数据并对这些数据进行了细致地分析，为该篇论文研究提供一定的数据支撑。把前期采集的信息进行细致分析，统计问卷调查数据，对访谈学生时记录的主要问题，教学过程中学生课堂表现情况、作业以及考试中反映出来的问题等悉心总结，同时也对十五位本校一线数学教师进行座谈，开展专题讲座，记录并整理分析，寻求解决该类问题的最佳方法。函数是高中数学的主干知识，贯穿整个高中数学的学习过程，导数作为研究函数问题的工具之一，是函数知识的综合应用与升华。多年来，导数的考查成为了重点和热点问题,导数该章节内容综合性强，复杂而且抽象，考查主要侧重于理解和应用，并与多种数学思想方法密切结合，是高考中区分度高、难度较大的题目，常以压轴题型出现。除此之外，导数知识以选择题和填空题的形式在历年各省高考卷和模拟卷中也经常出现，该章节内容的掌握程度决定了学生高考成绩的区分。函数的单调性是导数部分最基础，也是必须要掌握的知识点，极最值是其衍生问题，该类问题通常以选择题和解答题的形式出现，函数与导数综合问题通常融合参数命题，不仅考察学生对函数与导数知识的学习，而且考查学生分类讨论和数形结合的思想。这种题目对学生来说难度大，拿分不易，究其原因，是学生对分类讨论标准的实质掌握不牢。本文意从含参函数的单调性的常用方法和步骤出发，探究分类讨论的标准，以近年典型例题为模板具体分析该题型的解题策略,所涉及的思想方法以及解题步骤。只要我们掌握该题型的解题技巧，此类问题的攻克并非难事。以下将做具体分析。讨论函数(含参)单调性常用的方法步骤1 .确定函数/(x)的定义域.2 .对函数求导，通分，因式分解.3 .令导函数，(无)o,判断导函数/«)什么时候为正，什么时候为负，并对导函数的零点是否存在进行讨论.4 .当导函数/X)存在不止一个零点时，需要讨论各零点的大小关系以及所对应区间的位置关系.5 .画出导函数同号时，原函数单调性变化的草图，从而写出原函数的单调区间.6 .综合讨论情况，得结论.二.典例分析类型一以参数的正负为标准来进行分类讨论.例1.f(x)XaexiX0,aR.试讨f(x)的单调性。论解析：因为f()Xae×yX0,所以r(x)1aex.(1)当。0z(x)0,所以Ja)在0,上单调递增.Fk1.-f1(2)当00时，令/)0解得In.当。1时，J,0所以(动在0，上单调递减，Ina(f当OaI时，.,O当O1.n:时'八二0所以(%)单调递增，InI%Ifinj时-华调递减.综上，当，时，龟)在0,上单调递增.Z7当。时，/1)Q1.n1.单调递增'在In1'上单调递减；在当a,时，/(x)在0，上单调递减.总结：1思维点拨：确定原函数定义域是学生经常遗漏的一部关键环节，之后由原函数得力(X)-Ge,我们发现，。的正负决定了导函数Q(X)的正负.所以，本题就,0M两种情况分别进行讨论.找到本题分类讨论的实质。2 .解题模板：(1)求f()的定义域.(2)求导函数f(x.)(3)分别就。,0。0两种情况进行讨论.(4)分别就分类情况列表分析，根据表格得结论.3 .数学思想方法：数形结合思想分类讨论思想4 .数学素养：逻辑推理数学运算类型二以根的大小作为标准来进行分类讨论.例2.已知函-10r2-In(。其中9.试讨论Ja)的单调性。数21a解析：由题意可知函数/(X)的定义域为1)力(©axU1.x(IX勺两个根为1X1, 2 ,则 2 mu.1X(-1,)0上1)(0,n11a(1.,)a1f(x)00/()/(0)J(-)1a(1)当0。1时,XX2,/(x)与1.x)的变化情况如下表:由上表可知：/(X)的单调递减区间为0,1)和1,),(a1)的单调递增区间为)ir.(2)当1,/*)的单调递减区间为，.)时(1(3)当时，1.x?。，F(X)与'()的变化情况如下表:rX)111aJb)0(,0)f'x)0+0/()I/(0由上表可知：的单调递减区间为aeI的单调讲增区间为综上所述：1,1),当OaI时，(X)的单调递减区间为-0,1)和MH.YIf(x当1时,彳的单调5减区间为-,11 )和(O),的单调送增区间为总结：1思维点拨:由原函数得4殡/公21( a)x 令/G) 0得-2 1( )x O 当 1 2 .解题模板：(1)求/(X)的定义域.(2)求导函数f(x.)(3)令力(X)O求极值点.(4)对极值点的大小关系进行讨论.(5)分别就分类情况列表分析，根据表格得结论.3 .数学思想方法：数形结合思想分类讨论思想4 .数学素养：逻辑推理数学运算类型三以根的判别式作为标准进行分类讨论.例3.己知函J(X)X3X2CUC1,试讨论/(X)的单调性。数分析：求导r(x)3x22xaf,(x)O即得/2xO,由于该一元二次方程的根是否存在具有不确定性，所以此类问题分类讨论的标准是根的判别式，即:feSiFr. rb 且而音 TiT in ,3-2(1)当0即 ff( 0恒成立"x)在R上单调递(2)当0 即 时，f,(y此时，由导函数的图像可得:徨中.2J1.3 af(x)在(-,1-J1.-3 ”可得,f(x)在可1-/(X)在(综上所述,X)单调递增区间为当臼时,),(113,)为正.13«31-113。1-3tz 113。),(,)单调递增,3/&1)的单调递减区间为-3)“)的单调狒增区间为(-I-A 1 总结：1.思维点拨：求导3x2Ix a令，(x) 0m即3x22x a 0由于二次项系数为3,所以此方程为一元二次方程，但其根是否存在具有不确定性，所以对于该题分类讨论标准是根的判别式，即0,0.2 .解题模板：(1)求/()的定义域.(2)求导函数f(x.)(3)令f(x)O得3X2-2.(4)对该一元二次方程的根是否存在即0,0进行讨论.(5)分别就分类情况分析，根据分析得结论.3 .数学思想：数形结合思想分类讨论思想.4 .数学素养：逻辑推理，数学运算.纵观三个典型例题，解题模式相近，细细分解不难发现其解题步骤为：确定原函数的定义域(x的取值范围)，求出导函fx),观察导函数的结构，如果参数的正负决定导函数的正负，我们要对参数的正负进行讨论；若导函数为含参的一元二次函数，通常需要先对二项式系数进行讨论，而后讨论判别式，在判别式为正的情况下还需要讨论两根的大小，之后根据/，工)的正负来确定原函数的单调性。该题型重在考查数形结合和分类讨论这两大类重要的数学思想，而对数学素养的考查重在逻辑推理和数学运算。归纳而言，对函数单调性讨论的实质其实是对导函数何时正何时负的讨论，通常先根据参数对函数的类型进行分类，若有不止一个讨论点时，一定要注意讨论的顺序和层次。只要牢牢把握分类讨论的实质，按照解题模板大量练习，此类问题将会迎刃而解。
