椭圆与圆的“亲戚”关系 论文.docx

椭圆与圆的“亲戚”关系摘要：在解析几何的学习中，常用圆的定义与性质来类比椭圆的相关性质，为解决椭圆问题提供解题思路，那么圆是否是椭圆的特殊情况呢？笔者主要从椭圆与圆的定义，相关性质进行对比、归纳，圆不能作为椭圆的特殊情况，但他们的确存在非常紧密的“亲戚”关系.关键词：圆，椭圆，伸缩变换，离心率，中点弦.引言：在人教A版选择性必修一3.1.1椭圆及其标准方程中，通过例2我们发现，可以由圆通过伸缩变换得到椭圆，如圆/V/延y轴方向仰缩,经过椭圆通过特定的伸缩变换得到圆.可见,圆与椭圆的“亲戚”关系，那圆究竟是否属于椭圆呢？一、从椭圆定义看椭圆与圆的关系在古希腊的圆锥截线的定义中，截面与圆锥的轴线和母线都相交，但不垂直于轴线截出的平面为椭圆，而用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截面曲线是一个圆，可将圆视为特殊的椭圆.从椭圆的第一定义:平面内与两个定n,尸的距离的和等于常数（大UM点2于的点的轨迹.当两个定F1,尸重合时,半长轴和半短轴相等,椭圆将变为圆,即椭圆点2方程:x：1中ab1.得到圆的方程：冗2_户&a2b2在椭圆的第二定义中,椭圆上一点到定点的距离与到对应准线的距离之比为常数.圆的准线应位于无穷远处,但准线位于无穷远处的封闭曲线并不一定是圆，事实上,当m或加时,平面上任何一条封闭曲线上的点P到某个定F的距离与到准线Xm的距离之比都等于零.因此,根据第二定义,圆不是椭圆的特殊情况.二、从椭圆的性质看椭圆与圆的关系从对称的角度看,圆是椭圆的特殊情况,由椭圆是一个中心对称图形,也轴对称图形.同样圆是关于圆心对称,也关于圆的任意一条直径对称的轴对称图形.这样看，圆是椭圆的特殊情况.离心率eccO是反应椭圆的扁平程eO时，椭吧越圆，eO时，椭圆两焦点重合，半长轴和半短轴相等,椭圆将变为圆，此时，圆是椭圆的特殊情况.过椭圆中心的直线，交椭圆于一"- 两点' CIUOPX为椭圆上任意一点，当直PM或直线PN斜率不存在时PMPN,而/.1.直线PM或直线PN斜率存在时，是椭圆的特殊情况.从椭圆的中点弦出发,椭圆弦AB的中点为M,当直线OM与直线AB其中一条直线斜率不存在OM48；若直O与直AB斜率均存在，时.有纯Azf线设.Xyy-A"N2,2.,-2,-yI,Xy则22依k。MX1X2XX2又A,8在椭圆上刃：得，Gb2X 12 X2 a2满足圆的垂径定理.这也说明了圆是椭圆的特殊情况.与此相同的,还有椭圆上一点、D的切线为，则k k b2 ,当其中一条直线不存在时,有I。.而圆心与切点的连线与过该点的切线垂直.y2Y2当力时，即在圆中弦AB的中点为M,直线OM与直线AB斜率均存在,满足MJ；若直线OM与直线A8其中一条直线斜率不存在时,有OMAB.即彳从椭圆的面积看椭圆与圆的关系，椭4W1的面积可用积分的方法获圆M2得，S椭阀。，在平面直角坐标系中，将椭圆方程寸1,通过定义伸缩ha2b2X变换：Xby'b0，得到圆的方2y2那么椭圆的面积变F程一一为a.2,即为圆的面积公式.从面积看，圆也是椭圆的特殊情况.b4三、结论及应用根据椭圆伸缩变换定义，截线定义，第一定义，离心率，弦，切线和面积等,可以论证圆是椭圆的特殊情况.但是，从椭圆的第二定义出发，是无法得到上述结论的.虽然，我们无法得出圆即为椭圆的特殊情况，但是圆与椭圆之间存在“若即若离”的“亲戚”关系，为我们解题提供方便.如通过伸缩变换，确定直线与椭圆位置关系.例1.判断椭圆一T21与直线X 27），4 O的位置关系.解:X设：“°,则椭圆方程变为XO:1,直线方程变为X。3j020>'o2>我们把判断直线与椭圆的位置关系的问题,转化为直线与圆的位置关系.圆心到直X3y02O的距离d为/4I21d/II1J所以直线与圆相切,即椭圆寸J1.与直线X2p4°相切.4y同样，我们求椭圆的中点弦方程，弦长，切线方程等问题，可利用椭圆与圆的“亲戚”关系，先求椭圆对应圆的中点弦方程，弦长，切线方程，再通过伸缩变换，回归到椭圆相应问题的结论.径的圆上，而椭圆上的点到原点距离最小值人，又因尸椭圆r2v2vyik22abC1C2b?C2-2C2显。一综上可见,由于椭圆与圆的这层“亲戚”关系，对椭圆的这一类问题，解法相对巧妙，计算量较小，计算过程不容易出错等特点.