分布函数专题练习题.docx
习题二3 .设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样,以X表示取出的次品个数，求：(1) X的分布律；(2) X的分布函数并作图；(3)133PX-,P1<X-,P1X-,P1<X<2.222【解】故X的分布律为X=0,1,2.C322P(X=O)=Wl=竺/35P(X=I)=C35C11P(X=2)=4=->C35XO12P22351213535(2)当XVo时，F(x)=P(Xx)=022当0vd时，F(x)=P(Xx)=P(X=O)=一3534当lx<2时，F(x)=P(Xx)=P(X=O)+P(X=I)=35当x22时，F(X)=P(Xx)=1故X的分布函数O,XCOOx<llx<22235产(X)=I34351,x2P(1<X)=F()-F(I)=MMo3312P(1X)=P(X=1)+P(1<X)=-341P(1<X<2)=F(2)-F(1)-P(X=2)=1-=0.4 .射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.P(X=O)=(0.2)3=0.008P(X=1)=C；0.8(0.2)2=0.096P(X=2)=C；(0.8)2().2=0.384P(X=3)=(0.8)3=0.512故X的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数r0,x<00.008,Ox<lF(X)=«0.104,lx<20.488,2x<31,x3P(X2)=P(X=2)+尸(X=3)=0.8965 .(1)设随机变量X的分布律为才PX=k=a-f其中七0,1,2,，4>0为常数，试确定常数（2）设随机变量X的分布律为PX=k=aN,k=,2,，M试确定常数【解】（1）由分布律的性质知OOQO2kI=XP(X=Z)=jt=ohoK.(2)由分布律的性质知NN,I=NP(X=k)=£七=a*=lk=iN即a=.6 .甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.607,今各投3次，求：(1)两人投中次数相等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令分Y表示甲、乙投中次数,则X1(3,0.6),yb(3,0.7)(1) p(x=y)=p(x=o,y=)+P(x=,y=i)+X=2,y=2)+P(X=3,y=3)=(0.4)3(0.3)3+C；0.6(0.4)2GO.7(0.3)2+C；(0.6)2o.4C；(0.7)20.3+(06)?(07)3=0.32076(2)p(x>y)=P(x=,r=0)+P(x=2,y=0)+P(x=3,y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3,Y=1)+P(X=3,y=2)=C;0.6(0.4)2(0.3)3+C(O.6)2O.4(O.3)3+(0.6)3(0.3)3+C；(0.6)2().4C；0.7(0.3)2+(0.6)3C0.7(0.3)2+(0.6)3C(0.7)203=0.2437 .设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X4(200,0.02),设机场需配备N条跑道，则有P(X>N)<0.01200即EGOo(0.02)a(0.98)2-a<0.01JI=N+1利用泊松近似=np=200×0.02=4.e-44*P(XN)邑Z<0.01A=N+I%!查表得N29.故机场至少应配备9条跑道.8 .己知在五重伯努利试验中成功的次数X满足PX=1=PX=2,求概率PX=4).【解】设在每次试验中成功的概率为P，则¢/2(1-p)4=C；P2(I-P)3故P=-3所以P(X=4)=CJ4=-.332439 .设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，(1)进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；(2)进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】(I)设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X6(5,0.3)5P(X3)=ZC(0.3(0.7)5-a=0.16308k=3(2)令y表示7次独立试验中A发生的次数，则yb(7,0.3)7P(Y3)=XC(0.3(0.7)7a=0.35293£=310 .某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(12)/的泊松分布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计).(1)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；(2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.3_5【解】(I)P(X=O)=/I(2)P(X)=-P(X=0)=l-e2IL设PXY=CpA(l-p)?*七0,1,2PY=m=Cpm(-p)4',n,w=0,1,2,3,4分别为随机变量X，y的概率分布，如果已知PX21=*,试求PY21.【解】因为p(xi)=3,故P(X9而故得即P(XCl)=P(X=O)=(I-)294(S=5,1P=-.3从而P(y1)=1-P(y=O)=1-(1-p)4=-0.802478112 .某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则X4(2000,0.001).利用泊松近似计算，2=wp=2000x0.001=2得P(X=5)-=0.00183113 .进行某种试验，成功的概率为失败的概率为上.以X表示试验首次成功所需试验的次44数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.【解】X=1,2,k,P(X=«=(1/-'IP(X=2)+P(X=4)+P(X=2Q+14 .有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：(1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利分别不少于Io(X)O元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.(1)在1月1日，保险公司总收入为2500X12=30000元.设1年中死亡人数为X,则X仇2500Q002),则所求概率为P(2000X>30000)=P(X>15)=1-P(X14)由于"很大，P很小，儿=秋=5,故用泊松近似，有14p-5<P(X>15)1-0.000069jt=ok!(2)P(保险公司获利不少于100oO)=2(3000020OOX10000)=P(X10)IOe-5y0.986305£k!即保险公司获利不少于100(X)元的概率在98%以上P(保险公司获利不少于20000)=P(30000-2000X20000)=P(X5)5y-0.615961Jt=OK.即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X的密度函数为/(x)=Ae-w,-<<+,求：(I)A值；(2)PO<X<1);(3)F(x).【解】(1)由*)dx=l得1=AeTMdX=2AeTdX=2A(3)p(0<X<l) = l;当 x<0 时，F(x) = Ig当 入20 时，F(x) =x<0A = L2F(x) =1 V2，-ex2017 .在区间O,上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在O,al中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.【解】由题意知XU0,小密度函数为/W = p,0,0<x<其他故当x<0时尸(x)=0当ox时F(x)=vf(t)dt=LfQMf=Llr=-当x>a时，F(x)=1即分布函数O,F(x) = <0x<ax>ax<O18 .设随机变量X在5上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】XU2,5,即,-,2x5/a)=30,其他P(X>3)=C=I故所求概率为P =1-+ 3202719 .设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布E(1).某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以V表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出V的分布律，并求PY21.【解】依题意知X,即其密度函数为一、-ex>0/(x)=p0,x0该顾客未等到服务而离开的概率为P(X>10)=ze7dx=e2y伙5,e-2),即其分布律为p(y=%)=C：(e-2(l-e2)w=0,1,2,3,4,5P(r1)=1-P(y=0)=1-(1-e2)5=0.516720 .某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N(40,102)；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N(50,42).(1)若动身时离火车开车只有F小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？(2)又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】若走第一条路,X-N(40,IO2),则(r-40604()、P(X<60)=<I=0(2)=0.97727若走第二条路，XN(50,42),则P(X<60)=<岂.)=(2.5)=0.9938+故走第二条路乘上火车的把握大些.(2)若XN(40,IO2),则(X-4045-40AP(X<45)=2<"()J=0(0.5)=0.6915若XN(50,42),则4JX-5045-50、不/、P(X<45)=P<=(-1.25)I44)=1-(1.25)=0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些.21 .设XN(3,22),(1) 求P2<X5,PT<X10,HlXl>2),PX>3);(2)确定C使PX>c=PXc.(2-3X-35-3、【解】P(2<X5)=PI222J=(1)-=(1)-1+=0.8413-1+0.
