在两个函数定义域中,存在一个与任意一个对函数值域关系的影响.docx

在两个函数定义域中,存在一个与任意一个对函数值域关系的影响对两个函数y=f(x)、y=g(x),若任意一个自变量$D,存在一个自变量/D,使得g(%)=f(x1).则隐含着两函数存在关系,对VxO,y=/(X)函数值构成的集合是函数y=f(x)的值域;玉0,使得g(x0)=f(3),说明f(X1)也是y=g(x)值域中的值,即函数y=f(x)的值域是y=g(x)值域的子集.能够从题意中概括总结出两者值域的关系，是解决此类问题的关键，可以从以下例子中体会此类问题的解决方法.例1.已知函数f(x)=ax+lnx,x(1,e),且f(x)有极值.(1)求实数a的取值范围；(2)求函数f(X)的值域；(3)函数g(x)=x3-x-2,证明：V(1,e),3(1,e),使得g(x0)=f(X1)成立.分析：(1)由f(X)=ax+lnx求导，再由f(x)有极值知f'(X)=O解，且在两侧导函数正负相异求解.(2)由(I)可知f(x)的极大值为f(-')=-l+ln(-L),再求得端点值f(1)=a,f(e)aa=ae÷l,比较后取最小值和最大值，从而求得值域.(3)证明：由：VX1(1,e),3x0(1,e),使得g(X0)=f(X1),即研究：f(x)的值域是g(X)的值域的子集，所以分别求得两函数的值域即可.解：(1)由f(x)=ax+lnx求导可得：f,(x)=a+-.令f'(x)=a+'=0,可得a='.XXX(1,e),(-l,-)a(-l,-)Xee又因为x(1,e)所以，f(x)有极值，实数a的取值范围为(1,e(2)由(I)可知f(x)的极大值为f()=-l+ln()aaX*.*f(1)=a,f(e)=ae+l由a2ae+l,解得aW又二FVVl-eae当JVaW时，l-e函数f(x)的值域为(ae+l,-l+ln(-)a当一VaV-J时，l-ee函数f(x)的值域为(a,l+ln(-).a(3)证明：由g(X)=V_x_2求导可得g()=3x2-i令g(x)=3J2-1=0,解得x=±令g(x)=3X2-I>0,解得XV-或x>333又.(l,e)(y-,+8)g(X)在(1,e)上为单调递增函数Vg(1)=-2,g(e)=ei-e-2g(x)在x(1,e)的值域为(-2,?-e-2)31Ve-e-2>-l+ln(),a-2<ae+l,-2<a.13.(ae+l»-l+ln()(-2,ei-e-2),a(a,-l+ln()G(-2,-e-2)aVx1(1,e),3x0(1,e),使得g(X0)=f(X1)成立.例2.已知F(X)=20r-2+nx在X=I与X=L处取得极值.X2(1)求a,b的值；设函数g(x)=2-2mx+m,若对任意的Xg,2,总存在x?,2,使得g(X)/(与)-加2,求实数，而取值范围.分析：(1)先对函数进行求导，根据函数在=l,X=-2取得极值，贝Jf'(1)=0,r(一)=0,代入可求a,b的值.2(2)由题意得,xg,2,g(x)的最小值大于或等于f(x)的最小值,从另一角度看,g(x)的值域是f(x)值域的子集.解：(1);f(x)=2ax-2+lnx,ff(x)=2a+.XXXVf(X)在x=l,X=L处取得极值，f,(1)=0,f(-)=022即2a+b+1=02a+4b+2=0解得a=-b=-；所求a、b的值分别为-',33332117(2)f(x)-lnx=-x+一在X,2时单调递减撮小值为一-33x26g(x)=X2-2nc+m图象的对称轴是X=机，当相<<时,g(X)min=g(!)=L依题意!>一成立，.，%<:2244627(2)当一"?2时，g(x)nin=8(fn)=tn-m2,:.in-nr26日3-后/3+后_1,13+5?即m<,又一机2.-m66226731当机>2时，g(x)niin=g(2)=4-3zn,，4一3-,m<一,这与m>2矛盾.综上所得:加的雪