积分变换第3讲x.ppt

1 卷积是积分变换中的一个重要概念，这一运算卷积是积分变换中的一个重要概念，这一运算在实际问题如线性系统分析中有着重要应用在实际问题如线性系统分析中有着重要应用.下面着重介绍卷积的概念与卷积定理下面着重介绍卷积的概念与卷积定理.1 1、卷积、卷积定义定义 设函数设函数 f1(t),f2(t)在整个数轴上有定义在整个数轴上有定义,则则 d)()(21tff称为函数称为函数 f1(t)与与 f2(t)的的卷积卷积,记为记为 f1(t)*f2(t).2)1(.)()()()(2121 dtfftftf 若当自变量为负时，认为函数值为若当自变量为负时，认为函数值为0 0，则上则上式可表示为：式可表示为：)2(.)()()()(02121dtfftftft -拉氏变换下的卷积的定义拉氏变换下的卷积的定义.变换下的卷积定义不同变换下的卷积定义不同.32 2、卷积的性质、卷积的性质2.1 2.1 交换律交换律 )()(21tftf).()(12tftf 2.2 2.2 结合律结合律).()()()()()(321321tftftftftftf 2.3 2.3 分配律分配律).()()()()()()(3121321tftftftftftftf 4思考题：思考题：?)()(ttf问问 .0,e,0,0)(;0,1,0,0)(21tttftttft例例1 1 设设求求 f1(t)*f2(t).f1()f2(t)O1tOo15解：代入定义，计算积分即可解：代入定义，计算积分即可.)()(21tftfdtff)()(21 dtf)(120 dettt)(001 ).0(10 tedeettt).0(0)()(21 ttftf练习：请计算练习：请计算).()(12tftf 6解解：根据（：根据（1）式，得）式，得例例2 2 求函数求函数ttfttfsin)(,)(21 的拉氏卷积的拉氏卷积.sin)cos(|)cos()sin()()(00021ttdttdttftfttt 于是于是.sinsintttt 例例3 3 求函数求函数ttfttfcos)(,)(21 的拉氏卷积的拉氏卷积.提示：提示：.cos1costtt 73 3、卷积定理、卷积定理 卷积在积分变换中有着十分重要的的应用，主卷积在积分变换中有着十分重要的的应用，主要体现在卷积定理上要体现在卷积定理上.，则则记记条条件件，满满足足傅傅氏氏积积分分定定理理中中的的和和设设)()(),()()()(221121FtfFtftftf F FF F定理定理1 1).()()()(2121FFtftf F F dtedtffdtetftftftftiti)()()()()()(212121F F证明：证明：根据定义，有根据定义，有8).()()()(21)(21FFdtdetfeftii tddetfeftii)(21)()(类似地，可以证明类似地，可以证明).()(21)()(2121FFtftf F F 可以将不太容易计算的卷积运算化为普通乘可以将不太容易计算的卷积运算化为普通乘法，这就使得卷积在线性系统分析中成为特别有法，这就使得卷积在线性系统分析中成为特别有用的方法用的方法.9同付氏变换一样，拉氏变换也有所谓卷积定理同付氏变换一样，拉氏变换也有所谓卷积定理.或者或者则则的的条条件件，满满足足拉拉氏氏变变换换存存在在定定理理设设),()(),()()(),(221121sFtfsFtftftf LL定理定理2).()()()(2121sFsFtftf L).()()()(21211tftfsFsF-L 这里的证明思想和傅立叶意义下卷积定理的这里的证明思想和傅立叶意义下卷积定理的证明类似，所以证明从略证明类似，所以证明从略.10例例4 4 若若 求求F F f(t).)(1)(121)(00 iiF，)0(cos)()(0 ttuetft解：解：.1)(ituet 的的傅傅氏氏变变换换为为.)()1(的的傅傅氏氏变变换换以以及及求求tutt 练习题：练习题：11deett 0.tet tteesL )1(121解：解：例例5 求求2)1(1)(ssF的逆变换的逆变换.例例6 求求)1(1)(22 sssF的逆变换的逆变换.ttssLsin)1(1221 解：解：.sin tt?)1(121 ssL121 1、反演积分公式、反演积分公式tetutf)()(函数函数 f(t t)的的拉氏变换拉氏变换，实际上就是，实际上就是的的傅氏变换傅氏变换，即，即 .)(21)()(deiFetutftit.)()()()(tdeetutfiFsFtittetutf)()(因此，当因此，当 满足满足傅氏积分定理傅氏积分定理的条的条件时，在件时，在 f(t t)的的连续点连续点处，有处，有13，因因而而得得到到时时，注注意意到到这这样样当当1)(0 tut deiFetftit)(21)(iitsistidsesFideiF.)(21)(21)(即即)1(.)(21)(iitsdsesFitf公式（公式（1 1）就是从）就是从像函数像函数F F(s s)求求像原函数像原函数 f(t t)的一般公式，称为的一般公式，称为反演积分公式反演积分公式.14证明思路证明思路：如图，引进辅助半：如图，引进辅助半圆周，则形成闭合路径圆周，则形成闭合路径.应用留数定理，令应用留数定理，令R+，并，并证明证明cR上的积分趋于上的积分趋于0，由此便，由此便可得到结论可得到结论.2 2、利用留数求逆变换、利用留数求逆变换定理定理,0)()Re()(,21 sFsssFsssn时时，且且当当内内），面面使使得得这这些些奇奇点点都都在在半半平平选选取取的的所所有有奇奇点点（适适当当是是函函数数设设则有则有cR+iR.s2.s1.sn-iR)2(.,)(Re)(21)(1 nkktsiitssesFsdsesFitf15需要特别指出的是：需要特别指出的是：.)()()()()(11 nkktsksBesAsBsALtfk)()()(sBsAsF 若若为不可约为不可约真有理分式真有理分式，在这种情，在这种情况下，可以利用公式（况下，可以利用公式（2）.情形情形1 1 若若B(s)有有n个个单零点单零点则则,21nsss情形情形2 2 若若B(s)有有m 级零点级零点则则,ks.)()()(lim)!1(1,)()(Re)1(mstmksskstesBsAssmsesBsAsk16例例1 1 求下列有理分式的拉氏逆变换：求下列有理分式的拉氏逆变换：.12)3(;)1(1)2(;)1(22222 ssssskskkkekkesBesAtfktktnkktskk22)()()(1 .ktsh 解：（解：（1）显然显然 k 和和 k 为分母的一级零点，则为分母的一级零点，则 （2）0 和和 1 分别为分母的一级和二级零点，则分别为分母的一级和二级零点，则lim)1(lim)(120 sesetfstssts.1lim121ttststseteseste 17.12121)(2 ssssF12121)(211 sssLLtf)12(lim)(1 stsest.)2()(tett 12)(22 ssssF（3）为为假假有理分式，有理分式，于是分解于是分解注意到注意到 s=-1为为 F(s)的的二阶极点二阶极点，故，故182)1)(2(1)(sssF例例2 求求的逆变换的逆变换.)1(11121)(2111 sLsLsLtf于是于是.)1(11121)(2 ssssF解：解：显然显然.2tttteee 如何求？如何求？事实上，事实上，.)1(1;1211tkttesLeksL 位移或微分性质位移或微分性质该题还可以其他办法求解该题还可以其他办法求解.19 拉氏变换在线性系统分析中的应用，要涉及到拉氏变换在线性系统分析中的应用，要涉及到响应响应、传递函数传递函数等专业术语，这在后面专业课中会等专业术语，这在后面专业课中会详细讨论详细讨论.下面举例说明它在数学中的应用：用拉氏变换下面举例说明它在数学中的应用：用拉氏变换求解微分（常微分，偏微分）方程、积分方程求解微分（常微分，偏微分）方程、积分方程.此方法的原理：此方法的原理：应用变换的微分、积分公式，将未应用变换的微分、积分公式，将未知函数的微积分方程化为其象函数的代数方程，求知函数的微积分方程化为其象函数的代数方程，求解象函数，最后取逆变换便得到原方程的解！解象函数，最后取逆变换便得到原方程的解！20解解:两端取两端取拉氏变换拉氏变换，记，记),()(sYtyL 得得,11)(3)(21)(2 ssYssYsYs)3)(1)(1(2)(sssssY即即例例1 求解方程求解方程teyyy 32 且满足条件且满足条件.1)0(,0)0(yy.318111831141 sss从而从而.818341)(3 ttteeety 21解解:两端取两端取拉氏变换拉氏变换，记，记),()(sYtyL 得得,1)()0()0()(22ssYysysYs .1211)(222 sssssY于是于是例例 求解方程求解方程tyy 且满足条件且满足条件.2)0(,1)0(yy从而从而.sin3cos)(tttty 即即,1)(2)(22ssYssYs 22例例 解下列积分方程：解下列积分方程：).0()()()cos(2sin0 ttduuuttt解：本题的方程为卷积型的，即可表为解：本题的方程为卷积型的，即可表为).(cos)(2sintttt 因此，两端取因此，两端取拉氏变换拉氏变换，记，记),()(sFtL 那么由那么由卷积定理卷积定理，得，得),(cos)(2sintLtLtLtL ).()(121122sFsFsss 即即23.)1(1)(2 ssF最后一步，最后一步，取逆变换取逆变换：.0,)1(1)()(211 ttesLsFLtt得到象函数表达式为：得到象函数表达式为：)()(121122sFsFsss 由由).0()()()sin(0 ttfdxxftxtt练习题练习题 求解下列积分方程：求解下列积分方程：24 像原函数像原函数（方程的解）（方程的解）像函数像函数取拉氏逆变换取拉氏逆变换微分方程微分方程像函数的像函数的代数方程代数方程取拉氏变换取拉氏变换解代数解代数方程方程 0)()()(,2)(6)(2)(0txtxtydttxtytyt求方程组：求方程组：.5)0(,6)0(的的解解满满足足 yx25本讲主要内容：本讲主要内容：、卷积和卷积定理、卷积和卷积定理、拉氏逆变换、拉氏逆变换、拉氏逆变换的应用、拉氏逆变换的应用26致谢：致谢：在课件制作过程中，参考了西安交通大在课件制作过程中，参考了西安交通大学、深圳大学等单位的有关资料，在此表示学、深圳大学等单位的有关资料，在此表示衷心感谢！衷心感谢！