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第十讲第十讲 解三角形解三角形ABCabcABC中：中：A+B+C=（1）（2）22CBA22C（3）BAbaBAsinsinRCcBbAa2sinsinsin 正弦定理正弦定理:CRcBRbARasin2sin2sin2(边化角边化角)RcCRbBRaA2sin2sin2sin（角化边）（角化边）从理论上正弦定理可解决两类问题：从理论上正弦定理可解决两类问题：1两角和任意一边，求其它两边和一角；两角和任意一边，求其它两边和一角；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。而可求其它的边和角。aab 已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示）或一解（见图示）CABbaCABbaCABbaCAbaa1B2Ba=bsinA 一解bsinAab 一解一解ab 2accbacosC 2acbcacosB 2bcacbcosA 222222222余弦定理：余弦定理：求角求角CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222求边求边余弦定理可解决两类问题：余弦定理可解决两类问题：1已知三边求三角；已知三边求三角；2已知两边和它们的夹角，求此角对边，进而已知两边和它们的夹角，求此角对边，进而可求其它角。可求其它角。bcabc面积公式：面积公式：BacAbcCabSsin21 sin21 sin21 bc典型例题分析：典型例题分析：例在例在ABC中，角均为锐角，且中，角均为锐角，且则则ABC的形状是（的形状是（）A直角三角形直角三角形 B锐角三角形锐角三角形 C钝角三角形钝角三角形 D等腰三角形等腰三角形,sincosBA答案：答案：cossin()sin,22AABA B都是锐角，都是锐角，,222AB ABC则则选选训练、在锐角训练、在锐角ABC中，求证：中，求证：CBACBAcoscoscossinsinsin证明：证明：ABC是锐角三角形，是锐角三角形，即即,2AB022ABsinsin()2AB即即 sincosAB同理同理 sincosBCsincosCA，CBACBAcoscoscossinsinsinABCBabsin2A0300600060120 或0015030 或例、在例、在中，若中，若则则等于（等于（）B C D A答案：答案：012 sin,sin2sin sin,sin,302baBBABAA或或 0150选选 D例例3、在、在ABC中，中，则，则 的最大值是的最大值是_。,26AB030C ACBCCAB,sinsinsinsinsinsinACBCABACBCABBACBAC解：解：ACBC2(62)(sinsin)4(62)sincos22A BA BABmax4cos4,()42ABACBC例例4、在、在ABC中，若中，若 则则ABC的形状是什么？的形状是什么？,coscoscosCcBbAa解：解：coscoscos,sin cossin cossin cosaA bB cCAABBCCsin2sin2sin2,2sin()cos()2sin cosABCA BA BCCcos()cos(),2coscos0ABABAB cos0A或或cos0B 得得 或或 2A2B所以所以ABC是直角三角形。是直角三角形。例例5、在、在ABC中，若中，若 ，则求证：则求证：。0120 BA1cabcba分析：分析：要证要证：1cabcba只要证只要证：2221aacbbcabbcacc即即：222abcab而而 0120 BA060C 2222220cos,2cos602abcCabcababab原式成立。原式成立。例例6、在、在ABC中，若中，若 ，则求证：则求证：223coscos222CAbac2acb证明：证明：223coscos222CAbac即即：sinsincossinsincos3sinAACCCAB sinsinsin()3sinACACB即即：sinsin2sinACB 1 cos1 cos3sinsinsin222CABAC2acb即即：例例7、在、在ABC中，若中，若 则则ABC的形状是的形状是_。21(1cos21cos2)cos()1,2ABAB 21(cos 2cos 2)cos()0,2ABAB2cos()cos()cos()0ABABABcoscoscos0ABC 例例8、在、在ABC中，若中，若 ，则，则 的值是的值是_。acb2BBCA2coscos)cos(22,sinsinsin,bacBAC分析：分析：BBCA2coscos)cos(由由得：得：2coscossinsincos1 2sinACACBB cos cossin sincos1 2sin sinACACBAC coscossinsincos1ACACBcos()cos11ACB 例例9、如果、如果ABC内接于半径为的圆，且内接于半径为的圆，且求求ABC的面积的最大值。的面积的最大值。,sin)2()sin(sin222BbaCAR解：解：2 sinsin2 sinsin(2)sin,RAARCCa bB222sinsin(2)sin,2,aA cCa bBacab b 222222022,cos,4522abcabcabCCab122sin2 sin2 sin244SabCabRARB222 sin2 sin2sinsin4RARBRAB222 sin2 sin2sinsin4RARBRAB212cos()cos()2RABAB22122cos()2222(1)22RABR2max212SR 此时此时 取得等号取得等号AB例例10、已知、已知ABC的三边的三边 且且 ，求，求cba2,2CAbca:a b c解：解：sinsin2sin,2sincos4sincos2222A CA CA CA CACB12147sincos,cos,sin2sincos222424224BA CBBBB3337 1sinsin()sincoscossin4444ABBB7 1sinsin()sincoscossin4444CBBB:sin:sin:sina b cABC)77(:7:)77(3,24242BBACACB AC例例11、在、在ABC中，若中，若()()3a b c a b cac 且且 ，边上的高为边上的高为 ，求角求角 的大小与边的大小与边 的长。的长。tantan33AC AB4 3,A B C,a b c解：解：22201()()3,cos,602a b c a b cac acbacBB tantan33tan(),3,1tantan1tantanACACACACtantan23AC tantan33AC 又又 得得 tan1tan23tan1tan23AACC或即：即：000075454575AACC或 当当 时，时，0075,45AC4 34(3 26),8(31),8sinbcaA 当当 时，时，0045,75AC4 34 6,4(3 1),8sinbcaA
