高斯公式和斯托克斯公式ppt课件.ppt
第六节Green 公式Gauss 公式推广推广一、高斯公式一、高斯公式*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度三、通量与散度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高斯公式 通量与散度 第十一章 一、高斯一、高斯(Gauss)公式公式定理定理1.设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数,zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRdddyxRdd 下面先证:函数 P,Q,R 在面 所围成,的方向取外侧,则有(Gauss 公式公式)高斯 目录 上页 下页 返回 结束 231zyxyxD),(yxRyxyxRdd),(,),(:11yxzz 证明证明:设yxDyxyxzyxzyxz),(,),(),(),(:21,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRdd yxD2 zyxzRdddyxdd1 3yxRdd为XY型区域,),(:22yxzz 则yxyxRdd),(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd),(),(1yxz定理1 目录 上页 下页 返回 结束 所以zyxzRdddyxRdd 若 不是 XY型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证 zyxyQdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRyQxPdddxzQdd zyxxPdddzyPdd 三式相加,即得所证 Gauss 公式：定理1 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.用Gauss 公式计算zyxzyyxyxdd)(dd)(其中 为柱面122 yx闭域 的整个边界曲面的外侧.解解:这里利用Gauss 公式,得原式=zyxzyddd)(zrrzrddd)sin(用柱坐标)zzrrrd)sin(dd30102029x3oz1y,)(xzyP,0QyxR及平面 z=0,z=3 所围空间思考思考:若 改为内侧,结果有何变化?若 为圆柱侧面(取外侧),如何计算?机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.利用Gauss 公式计算积分SzyxId)coscoscos(222其中 为锥面222zyxhozyx解解:作辅助面,:1hz,:),(222hyxDyxyx取上侧1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21上在介于 z=0 及 z=h 之间部分的下侧.1,记h1所围区域为,则 zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyxzyxIddd)(2利用重心公式,注意0 yxzyxzddd24hyxhyxDdd2421hhz022zzd4hhozyxh1机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI设 为曲面21,222zyxz取上侧,求 解解:作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD)1(20d10dr221drz202dcos103drr12131zoxy211用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标机动 目录 上页 下页 返回 结束 coscoscoszvyvxv),(,),(yxvyxu在闭区域 上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式Sd例例4.设函数uzyxddduzyxdddxuyuyvzuzv其中 是整个 边界面的外侧.uP xvuQ yvuR zv分析分析:zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd xv高斯公式222222zvyvxv机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:令uP,xvuQ,yvuR,zv由高斯公式得222222zvyvxvuzyxdddcoscoscoszvyvxvuSd移项即得所证公式.(见 P171)xuyuyvzuzvxvuyxzvxzyvzyxvdddddd机动 目录 上页 下页 返回 结束*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件1.连通区域的类型连通区域的类型 设有空间区域 G,若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,则称 G 为空间二维单连通域;若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面,则称 G 为空间一维单连通域.例如例如,球面所围区域 环面所围区域 立方体中挖去一个小球所成的区域 不是二维单连通区域.既是一维也是二维单连通区域;是二维但不是一维单连通区域;是一维但机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.闭曲面积分为零的充要条件闭曲面积分为零的充要条件定理定理2.),(),(),(zyxRzyxQzyxP设在空间二维单 连通域G内具有连续一阶偏导数,为G内任一闭曲面,则0ddddddyxRxzQzyPGzyxzRyQxP),(,0证证:“充分性”.根据高斯公式可知是的充分条件.的充要条件是:“必要性”.用反证法.使假设存在,0GM 00MzRyQxP已知成立,机动 目录 上页 下页 返回 结束 因P,Q,R 在G内具有连续一阶偏导数,则存在邻域,)(0GM,)(0上使在M0zRyQxP的边界为设)(0M则由高斯公式得 yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPMddd)(00与矛盾,故假设不真.因此条件是必要的.取外侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、通量与散度三、通量与散度引例引例.设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),(理意义可知,设 为场中任一有向曲面,yxRxzQzyPdddddd单位时间通过曲面 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系,流量还可表示为SRQPdcoscoscosSnvd机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 为方向向外的闭曲面,yxRxzQzyPdddddd当 0 时,说明流入 的流体质量少于 当 0 时,说明流入 的流体质量多于流出的,则单位时间通过 的流量为 当=0 时,说明流入与流出 的流体质量相等.n流出的,表明 内有泉;表明 内有洞;根据高斯公式,流量也可表为zyxzRyQxPdddn机动 目录 上页 下页 返回 结束 方向向外的任一闭曲面,记 所围域为,设 是包含点 M 且为了揭示场内任意点M 处的特性,M在式两边同除以 的体积 V,并令 以任意方式缩小至点 M 则有),(M记作VMlimzyxzRyQxPVMddd1lim),(limzRyQxPMMzRyQxP此式反应了流速场在点M 的特点:其值为正,负或 0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:设有向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(其中P,Q,R 具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向 则称曲面,其单位法向量 n,SnAd为向量场 A 通过有向曲面 的通量(流量).在场中点 M(x,y,z)处 称为向量场 A 在点 M 的散度.记作AdivzRyQxP机动 目录 上页 下页 返回 结束 0divA表明该点处有正源,0divA表明该点处有负源,0divA表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.0divA若向量场 A 处处有,则称 A 为无源场.例如例如,匀速场),(),(为常数其中zyxzyxvvvvvvv 0div v故它是无源场.P16 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且*例例5.5.置于原点,电量为 q 的点电荷产生的场强为rrqE3.divE求解解:3ryy3rzz 3522rxrq5223ryr 5223rzr 03rxx),(3zyxrq)0(r计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.)0(r机动 目录 上页 下页 返回 结束 qEdiv内容小结内容小结1.高斯公式及其应用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:0ddddddyxRxzQzyP0zRyQxP机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.通量与散度 设向量场P,Q,R,在域G内有一阶 连续 偏导数,则 向量场通过有向曲面 的通量为 G 内任意点处的散度为),(RQPA SnAdzRyQxPAdiv机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习,:2222取外侧设Rzyx所围立体,222zyxr判断下列演算是否正确?(1)yxrzxzryzyrxdddddd333333vRd324 R(2)yxrzxzryzyrxdddddd333333vrzzryyrxxd33333331Ryxzxzyzyxdddddd33331Rvzyxd)(3222 为机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P174 1(2),(4),(5);2(2);3;4第七节 目录 上页 下页 返回 结束 00cosrn00rn 备用题备用题 设 是一光滑闭曲面,所围立体 的体 是 外法线向量与点(x,y,z)的向径,222zyxr试证.dcos31VSr证证:设 的单位外法向量为,cos,cos0n,0rzryrxr则coscoscosrzryrxSrdcos31Szyxdcoscoscos31vd331V的夹角,r积为V,cos机动 目录 上页 下页 返回 结束 高斯高斯(1777 1855)德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等.他在学术上十分谨慎,原则:代数、非欧几何、微分几何、超几何 在对天文学、大恪守这样的“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.
