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106 高斯公式高斯公式 通量与散度通量与散度一、高斯公式一、高斯公式二、通量与散度二、通量与散度高斯公式的物理意义、散度散度的计算、通量、高斯公式的另一形式一、高斯公式一、高斯公式 定理1 设空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在W上具有一阶连续偏导数，则有dvzRyQxPWSRdxdyQdzdxPdydz，或 dvzRyQxPWdSRQP)coscoscos(S这里S是W的整个边界的外侧，cos、cos、cos是S上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦 这两个公式称为高斯公式证明 如图所示，把S看成由S1，S2和S3三部分组成，其中S1和S2的方程分别为zz1(x,y)和 zz2(x,y)，S1 取下侧，S2 取上侧，S3 取外侧设闭区域W在xOy面上的投影区域为D xy简要证明：x y zOWS2：zz2(x,y)S3S1：zz1(x,y)Dxy 根据三重积分的计算法，有dvzRWxyDyxzyxzdzzRdxdy),(),(21xyDdxdyyxzyxRyxzyxR),(,),(,12 另一方面，有S1),(,),(1xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR，S2),(,),(2xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR，S30),(dxdyzyxR，SdxdyzyxR),(xyDdxdyyxzyxRyxzyxR),(,),(,12以上三式相加，得所以有 dvzRWSdxdyzyxR),(类似地有dvxPWSdydzzyxP),(，dvyQWSdzdxzyxQ),(，把以上三式两端分别相加，即得高斯公式 例 1 利用高斯公式计算曲面积分dydzzydxdyyx)()(S，其中S为柱面 x2y21 及平面 z0，z3 所围成的空间闭区域W的整个边界曲面的外侧 解 这里P(yz)x，Q0，Rxy，xPyz，xQ0，xR0由高斯公式，有201030)sin(dzzrrdrd29 Wdzrdrdzr)sin(Wdxdydzzy)(dydzzydxdyyx)()(Sx y zO113 例 2 计算曲面积分S(x2 cos y2 cos z2 cos)dS，其中S为锥面 x2y2z2介于平面 z0 及 zh(h0)之间的部分的下侧，cos、cos、cos是S上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦 解 设S1为zh(x2y2 h 2)的上侧，则S与S1一起构成一个闭曲面，记它们围成的空间闭区域为Wx y zOx2y2 h 2hS1S22yxz:而因此S(x2 cos y2 cos z2 cos)dSSS1(x2 cos y2 cos z2 cos)dS22222)(2hyxhyxdzzyxdxdy222222hyxhyxzdzdxdy222)(222hyxdxdyyxh421h 由高斯公式得x2 cos y2 cos z2 cos)dSWdvzyx)(222222)(2hyxhyxdzzyxdxdy222222hyxhyxzdzdxdyx2 cos y2 cos z2 cos)dS421hh 4421hS1(x2 cos y2 cos z2 cos)dS x2 cos y2 cos z2 cos)dS S1z2 dS2222hyxdxdyhh 4二、通量与散度二、通量与散度 高斯公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域W的流体的总质量，左端可解释为分布在W内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量高斯公式的物理意义：dvzRyQxPWdSSnF 在流速场 F P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)内一定点M(x,y,z)附近任取一包围M点的闭曲面S，设S所围成的区域为W，W的体积为V，则散度：表示单位时间从W的单位体积内所产生的流量，而dSVSnF1MWlimdSVSnF1表示在点M处单位时间内所产生的流量，我们称其为向量场F在点M的散度，记为divF，即 divFMW limdSVSnF1 设P、Q、R具有一阶连续偏导数，则散度的计算：divF zRyQxP 设S是向量场F内的一片有向曲面，n是S上点(x,y,z)处的单位法向量，则通量：dSSnF叫做向量场F通过曲面S向着指定侧的通量（或流量）高斯公式的另一形式：dvdivWF=dSSnF