闭区间上连续函数性质的讨论.docx

四、闭区间上连续函数性质的讨论1 .若/(X)在向上连续，且fa)<a,f(b)>b,证明在,句内至少存在一点多使得FC)=：证欲证/)=久即证x)-X以J为零点，设Fa)=(x)-x,显然F(X)在,句上连续，又/(Q)=/3)-。<0,尸S)=”份-b>0,跟据介值定理的推论，至少存在一席(,b),使得F()=O3P()=2 .即(X)在0,2口上连续，且f(0)=(2L),证明方程f(x)=(x+L)在0,内至少有一个根.证构造辅助函数F(X)=F(X+L)-f(X),它在0,L上连续，KF(O)=/(£)-/(0),F(L)=f(2L)-/(L).V/(0)=f(2L),若八L)=/(0)期(2L)=/(I)JJx=0曲二L即为方程的根，若不然，尸(O),77(L)必异号，由连续函数介值定理的推论知，至少存在一个g(0,L),使尸G)=o,BP(<)=f(+个3 .设函数T(X)在(-8,+8)上连续，且Iim/(x)=A(A为常数)，x证明/(X)在(-00,+8)上有界解Iimf(X)=4对任意的£>0,存在X>0,当|刈X时，"(x)-A<g.r÷3o取£=1,则存在X1,使x>X时,"(x)-A<l,即A-l<f(x)<A+./(幻在,+8)上连续/(幻在-X”XJ上有最大、小值，即存在“也使(x)b.取/n=minA-1,M=maxA+1,Z?),则Xa,+)时，机<f(x)<f,BPf(x)有界.4 .设函数f(x)在m,。上连续，且T。一时函知(X)的极限存在，则函数f(x)在3,句上有界.证设Iim/()=A则对于£=1，存在正数3使当0<x-v6时，有xat|/。)一川<£,也就也一1<:/(外<4+1对于闭区间+夕1,由函数%)的连续性必存在常数K,使对任r+5,切有IJfa)IK,W=maxC,l+4-l),5 .即(X)在0,川(为自然数2)上连续，/(0)=/(Z7),证明存在54+1,W)=(+1).解设(x)=(x+l)-(x),X07-l则g(0)=/(D-/(0),g=/(2)-/,g(2)=/(3)-/(2),g(D=/(«)-/(1),一!以上诸式相加得£g(i)=/()-/(0)Z=O.T1,一!而另一方面MVZg(i)即"z-Zg(i)VM=0nZ=O1Pr由闭区间上连续函数的介值定理知m4(o,-l),使g¢)=£g(i)=o,n,=0即：g(i)-e)=o.6 .设/(x)在出向上连续，旬()=/S)=0,r()rs)>,试证在3力上至少有一个C,使(c)=0.证明由于/'()/'S)=ft(a)f'(h)>0故不妨即()>0ES)>0f：(a)=Iim/(')一f(")=Iim生>0(1)a。+X-ax-a/：(/?)=Iim/二=Iim>0(2)SaX-ai'x-a由函数极限保号性知对于式葡>(项)>0对于式有)<0故由零点存在定理知，至少存在一点cG,X2)u(,M¾(c)=0.