最短路径问题专项练习题.docx

B最短路径问题专项练习共13页，全面复习与联系最短路径问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段(之和)最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。(构建“对称模型”实现转化)1.最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求.如图所示，点A,B分别是直线/异侧的两个点，在/上找一个点。，使CA+C6最短，这时点。是直线/与AB的交点.(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求.如图所示，点A,8分别是直线/同侧的两个点，在上找一个点C,使CA+CB最短，这时为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在宜线上另外任取一点C',连接AU,BCf,B,C,证明AC+CBVAC'+C'A如下：证明：由作图可知，点8和"关于直线/对称，所以直线/是线段88'的垂直平分线.因为点。与U在直线/上，所以8C=8'C,BC=B'C：在aA8'C1中，AB'<AC,+B'C,所以AC+5'C<C,+8'C,所以AC+8CVAC'+C'B.【例1】在图中直线/上找到一点M,使它到48两点的距离和最小.分析：先确定其中一个点关于直线/的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线/的交点M即,为所求的点.解：如图所示：(1)作点8关于直线/的对称点次；(2)连接AB'交直线/于点M.(3)则点W即为所求的点.点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.2 .运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点.到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同.警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要。求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，.审题不清导致答非所问.3 .利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决.解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题.【例2】如图，小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向A村与B村供水.EF(1)若要使厂部到A,B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A,B两村的水管最短，应建在什么地方？分析：(1)到A,B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等“，又要在河边，所以作A8的垂直平分线，与E尸的交点即为符合条件的点.(2)要使厂部到A村、8村的距离之和最短，可联想到“两点之一间线段最短”，作A(或8)点关于痔的对称点，连接对称点与8点，与所的交点即为所求.解：(1)如图1,取线段AB的中点G,过中点G画AB的垂线，支EF千P,则尸到4,B的距离相等.也可分别以A、B为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与E户的交点P即为所求.(2)如图2,画出点A关于河岸所的对称点A',连接A'B交EF于P.,则尸到A,B的距离和最短.图1图2【例3】如图，从4地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥,应如何选择桥的位置才能使从4地到B地的路程最短？思路导引：从A到8要走的路线是AfMfN-8,如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM+8N最短即可.此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC,从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥.解：（1）如图2,过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽.（2.）连接BC与河岸的一边交于点N.（3）过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点人.则MN为所建的桥的位置.思维拓展创新应用4 .生活中的距离最短问题由两点之间线段最短（或三角形两边之和大于第三边）可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，40+60=AC的长.所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法.【例4】（实际应用题）茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排（图中的A。，BO）,Ao桌面上摆满了橘子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到。处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？解：如图b.（1）作。点关于。4的对称点G,作O点关于08的对称点O,（2）连接Cf>,分别交04,OB于P,Qy那么小明沿CfPfQf。的路线行走，所走的总路程最短.5 .运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键.先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求.根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值.破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法.【例5】如图所示，A,8两点在直线/的两侧，在/上找一点G使点C到点A、B的距离之差最大.分析：此题的突破点是作点A（或8）关于直线/的对称点A'（或8'）,作直线A'B（AB'）与直线/交于点G把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决.解：如图所示，以直线/为对称轴，作点4关于直线/的对称点A',4'8的连线交/于点C,则点C即为所求.理由：在直线/上任找一点C'（异于点。，连接CA,CfA,CfA,C'B.因为点A,A'关于直线/对称，所以/为线段AA'的垂直平分线，则有CA=CA',所以CA-CB=C,-CB=A'8.又因为点C'在/上，所以C'A=C,A'.在AA'BC'中，C'A-CfB=C,A,-CB<A'B,所以C'A'-C'B<CA-CB.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.三、例题：例1、如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是o如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2,假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是OD.C0B例2、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。李庄张村.如图，直线L同侧有两点A、B,已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3,两点的水平距离为3,要在直线L上找一个点P,使PA+PB的和最小。请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为IKm和3Km,张村与李庄的水平距离为3Km,则所用水管最短长度张村.四、练习题（巩固提高）（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4,假设一只蚂蚁在点A处,它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是o2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm,底面圆周长为16cm,则所缠金丝带长度的最小值为C3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5cm,底面圆的周长为24cm,则蚂蚁爬行的最短路径为。4、正方形ABCD的边长为8,M在DC上，且DM=2,N是AC上的一动点，DN+MN的最小值为O点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为o6、如图，在aABC中，AC=BC=2,ZACB=90o,D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值为。7、AB是。的直径，AB=2,OC是OO的半径，OC_LAB,点D在A0上，A屋2C(f7点P是半径OC上的一个动点，则AP+PD的最小值为o(二)8、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D,连接CD,交OA于M,交OB于N,若CD=I8cm,则APMN的周长为。9、已知，如图DE是AABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E,且AC=5,BC=8,则AAEC的周长为o10、已知，如图，在aABC中，AB<AC,BC边上的垂直平分线DE交BC于点D,交AC于点E,AC=8,ZABE的周长为14,则AB的长。11、如图，在锐角AABC中，AB=42,ZBAG=45o,NBAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是.12、在平面直角坐标系中，有A(3,-2),B(4,2)两点，现另取一点C(1,n),当n=时，AC+BC的值最小.第11题第14题第15题13、AABC中，NC=90。，AB=10,AC=6,BC=8,过AB边上一点P作PE-LAC于E,PF_LBC于F,E、F是垂足，则EF的最小值等于.14、如图，菱形ABCD中，AB=2,NBAD=60°,点E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点，则PE+PF的最小值为.15、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？16、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,O),B(0,4).(1)求该函数的解析式；(2)0为坐标原点，设0A、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.(三)16、如图，已知NAOB内有一点P,试分别在边OA和OB上各找一点E、F,使得APEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。/17、如图，直线I是第一、三象限的角平分线./实脸与探究：°b(1)由图观察易知A(0,2)关于直线I的对称点A，的坐标为(2,0),请在图中分别标明B(5,3)、C(-2,5)关于直线I的对称点夕、C，的位置，并写出他们的坐标：B'、C'归纳与发现：(2)结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线I的对称点，的坐标为;运用与拓广：(3)已知两点D(1,一3)、E(-1,-4),试在直线I上确定一点Q,使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标._一A18、几何模型：F条件：如图，A、B是直线L同旁的两个定点.问题：在直线L上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法：作点4关于直线/的对称点A',连结43交/于点P,则RUPB=AB的值最小(不必证明).模型应用：(1)如图1,正方形ABC。的边长为2