线性代数期末考试试卷-答案合集详解.docx
一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分）1.1一305-12X-2r1+x2+x3=02.若齐次线性方程组+x2+x3=0只有零解,x1÷x2+x3=0则/1应满足3.已知矩阵A,B,C=(Cij)siinf满足AC=C8,阶矩阵。4.矩阵A=qIa2。21。22aia32)的行向量组线性5.阶方阵A满足A2-3A-E=0,则AT=二、判断正误（正确的在括号内填“7”，错误的在括号内填“X每小题2分，共10分）1.若行列式。中每个元素都大于零，则。0。（）2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）3.向量组。1，。2中，如果与4对应的分量成比例，则向量组叩。24线性相关。4.010010000 00 I00,则A05.若;I为可逆矩阵A的特征值，则A-的特征值为4。（）三、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分）1 .设A为阶矩阵，且网=2,贝"AA=（2n2'i 2,+,）。2 .维向量组四,4（3sn）线性无关的充要条件是（1,2,巴中任意两个向量都线性无关a1,a2,巴中存在一个向量不能用其余向量线性表示a1,a2,巴中任一个向量都不能用其余向量线性表示a1,a2,%中不含零向量3 .下列命题中正确的是（）o任意个+1维向量线性相关任意个+1维向量线性无关任意+1个维向量线性相关任意"十1个维向量线性无关4.设4,8均为n阶方阵，下面结论正确的是（）。若4,8均可逆，则A+8可逆若4,8均可逆，则AB可逆若A+8可逆，则A-B可逆若A+B可逆，则A,3均可逆5.若匕，y2,v3,匕是线性方程组AX=O的基础解系，则匕+%+%+匕是AX=O的()解向量基础解系通解A的行向量四、计算题（每小题9分，共63分）x+abCdax+bcd1.计算行列式Oabx+cdabcx+d解.x-abcdx+匕+c+dbcdax+bcdx+a+Z?+c+dx+bcdabx+cdx+a+b+c+dbx+cdahcx+dx+a+b+c+dbcx+d1bcdbcd1x-L?cd0x00=(x+a+b+c+d)=(X+8+c+d)=(x+a+b+c+d)x -1 -12 -2 -1-1 1 11bx+cd00x01bcx+dOOOx301、2.设AB=A+28,且A=110解.(A-2E)3 = A(A-2E)1 =、014,5-2-2B=(A-2E)iA=4-3-2-223a4.问。取何值时，下列向量组线性相关？ =2,火< 2>zI-100)(2134)3.设8=()010-101-1,C=00201231且矩阵X满足关系式X(C-8)'=E,求、°001。002)Xoxx+x1+X3=2-35. /1为何值时，线性方程组x1+r2+x3=-2有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有x1+x2+Ar3=-2无穷多解时求其通解。当义工1且4工一2时，方程组有唯一解;当4=-2时方程组无解当4 = 1时，有无穷多组解，通解为X6.其余向量用该极大无关组线性表示。求此向量组的秩和一个极大无关组，并将00、7.设A=O10,求A的特征值及对应的特征向量。、021,五、证明题(7分)若A是阶方阵，且AAT=/,IH=-L证明a+=o°其中/为单位矩阵。××X大学线性代数期末考试题答案一、填空题1.52.13.s×s，n×n4.相关5.A-3E二、判断正误1.X2.3.4.5<三、单项选择题1.2.3.4.5四、计算题1.x-abcdx+a+b+c+dbcdax+bcdx+b+c+dx+bcdabx+cdx+a+b+c+dbx+cdahcx+dx+a+b+c+dhcx+d1bcd1bCd1x-L?cdOOO=(x+a+b+c+d)1b=(X+b+c+d)A-O=x+a+b+c+d)x'x+cdUU1bcx-dOOO-2.-2-1-f(A-IE)B=A(A-2E),=2-2-1,-111-2-32-2-2 35B=(A-2E)1A=4-21234101232C-B=0D12,(C-B)=300O1_4'1000'(c-4)T=-211-201OOX01-21000100210321ooo-=e(c-b),=-21001-21001-21线性相关。1 a2当;1=1时，有无穷多组解，通解为X =6.312131 2131001-4-201-4-2-70 -3 -4 -100 0 -16 -16-70 -3 -1 -70 0 -13 -13='(2+l)2(2。-2)当4=一,或。=1时，向量组q,a2,825.当几1且4-2时，方程组有唯一解;当4=一2时方程组无解l00-20102'00110000则r(avq)=3,其中q,Cl2f生构成极大无关组，4=-2q+24+% 12E-A= OOA+Z = A÷, = 力。+A)=OOO-O=(2-l)3=021000"1-()特征值4=4=4=1，对于入1=1,A1E-A=000,特征向量为A0+/00-2001五、证明题一、选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1、设A,8为n阶方阵，满足等式AB=0,则必有()（八）A=O或8=0；(B)A+B=O;(C)=O或同=0;(D)A+B=0o2、A和/3均为阶矩阵，fi(A+B)2=A2+2AB+B2,则必有()（八）A=E;(B)B=E;(C)A=B.(D)AB=BA93、设A为2矩阵，齐次方程组Ar=O仅有零解的充要条件是()（八）A的列向量线性无关；(B)A的列向量线性相关；(C)A的行向量线性无关；(D)A的行向量线性相关.4、阶矩阵A为奇异矩阵的充要条件是()（八）A的秩小于n；(B)0;(C)A的特征值都等于零；(D)A的特征值都不等于零；二、填空题(本题共4小题，每题4分，满分16分)5、若4阶矩阵A的行列式同=-5,A”是A的伴随矩阵，则lA=。6、A为X阶矩阵,T7、已知方程组223ari=3无解，贝!“fiA2-A-2E=0,贝()(A+2E)T8、二次型/(x1,x2,x3)=2x12+3%2+txj+2x1x2+2xlx3是正定的，贝!/的取值范围是o三、计算题(本题共2小题，每题8分，满分16分)1+x111、iMrm1I_X119、计算行列式O=11+y11111-y10、计算阶行列式X+3x2O=Xlx2+3XnMX2Xn+3四、证明题(本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程)11、若向量组a1,4，%线性相关，向量组%，%，4线性无关。证明：(1)必能有线性表出；(2) %不能由即%，。；线性表出。12、设A是阶矩方阵，E是阶单位矩阵，A+石可逆，fi（八）=(E-A)(E+A,证明(1) (E+()(E+)=2E;(2) f(f（八）)=Ao五、解答题(本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤)200、13、设4=032,求一个正交矩阵尸使得PTAP为对角矩阵。N23,xl+x2+x3=O14、已知方程组，x1+2x2+axi=0与方程组+2工2+工3=。一1有公共解。X1+4x2+672X3=O求的值。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知名,生,%是它的三个解向量，且求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C；2、D；3、A；4、Ao二、填空题5、-125;6、-；7、-1；8、t>-o25三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：xxOO11-x11D=OOyy1111-yXOoO第二列减第一列，第四列减第三列得：Q=Irl（4分）OOyO101-y按第一行展开得-X10D=xOyO01-V按第三列展开得X O 2 2D = -xy =x y o"1 y（4分）10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子（g>,+3
