卷积和的分配律证明.docx

卷积和的分配律证明卷积运算在信号处理中应用非常广泛，因此有必要掌握其基本的性质。一、代数性质1.分配律分配律与代数运算分配律一样，卷积分配律如下于火嬴)十二狐；卡am十fga九心卷积分配律卷积分配律证明如下九©“，比出十S二JX夕S).F吊&Z月一二_L：JleZ)%&十晨6&s)(f卢£©S书卷积分配律证明过程实际上，卷积分配律应用到信号系统中，其物理意义可理解为线性时不变系统叠加特性的体现，即假设系统冲激响应为fl,系统对激励f2÷f3的响应为激励f2和激励f3各自响应的叠加。当然也可以理解为两个系统并联，其冲激响应分别是f2和f3,在激励fl的作用下的响应叠加。2 .交换律第一个性质是我们非常熟悉的交换律，特别是乘法运算。当然卷积运算也满足交换律，其表达式如下卷积交换律卷积交换律证明如下3 .结合律卷积结合律表达如下脑M“以斗“但心”中卷积结合律卷积结合律证明如下二晨£（1）（九，【 二h力共存出二卷积结合律证明过程,其中%（X）=匚氏%9Js也二，2（七）犬力（力）卷积结合律证明部分二、微积分性质卷积的代数运算性质与一般乘法的代数运算性质一样，但其微积分性质与乘法不一样。1 .微分特性两个函数做卷积，然后对其求导，结果等于其中一个函数与另外一个函数导数的卷积，即白时呼21刁“留二缪）呼叼Z.卷积微分特性卷积的微分特性证明如下XfJ9由2F-D"f火（之）卷积微分特性证明过程卷积微分特性证明同理可得卷积微分特性2 .积分特性两个函数做卷积，然后再积分，其结果等于其中一个函数与另外一个函数的积分的卷积，即JUlcI）兴强（八）曲二七）式yLo扭入入卷积积分特性卷积的积分特性证明如下JUcU对2（R帆弓J。乐R-幻取二j_:九力PCj血子华）大德&乂»卷积积分特性证明过程卷积积分特性证明同理可得力出碎（Nh二F/冗嬴J引E）卷积积分特性卷积积分特性假设则有卷积微积分特性一般表达尸一Jfc1卷积微积分特性一般表达与冲激函数的卷积6（力大上与产大依此类推，我们不难得出卷积的微积分特性的一般表达式，即假设一般函数与冲激函数的卷积为其本身，这特性在后续系统设计与分析中将经常用到，即二一¼仔二At）任意函数与冲激函数的卷积任意函数与冲激函数的卷积这一性质，在上一篇文章线性时不变系统之零状态响应卷积求解（十一）中，也用到了。这里不再过多介绍。根据冲激函数的特性，这一性质证明也非常简单。进一步，冲激函数做一定延时后，则有冲激函数延时后的卷积进一步，如任意函数做一定延时后，则有J一-J、.”yJ大Jawf(尤为g2)任意函数延时后卷积上述延时，在时不变信号系统中，即为其时不变特性的体现。根据卷积的微积分性质，我们还可以进一步推导出：任意函数与冲激偶函数的卷积为其导数，任意函数与阶跃函数的卷积为其积分，即JCC)大乳±)=f-f(i)子心”:%3心任意函数与冲激偶及阶跃函数的卷积总结卷积的交换律、分配律以及结合律与一般乘法的代数特性一样;卷积的微积分特性满足一般表达式卷积的微积分特性卷积微积分特性一般表达一般任意函数与冲激函数，冲激偶函数以及阶跃函数的卷积具有特别的应用价值。